高中一年级《等差数列的概念》教学设计.doc

高中一年级《等差数列的概念》教学设计
一、教材分析
高中数学（必修）第一册第三章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
二、学情分析
学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性还有待加强。
三、设计思想
数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，数学教学倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。让学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，从而激发学生的学习兴趣，提高他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养他们的创造力。
本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
四、教学目标
1．知识目标：理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系。
2．能力目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。
3．情感目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高数学猜想、归纳的能力。
五、重点、难点
教学重点：等差数列的概念及通项公式的推导。
教学难点：对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。
六、教学策略
在实例的基础上，采用从特殊到一般，再从一般到特殊的思想，以探究式教学思想为主导，充分发挥学生的主体作用，让学生自己去讨论、分析、探索、感悟，从而发现等差数列的定义及通项公式，进一步调动学生的主观能动性，使其体验到成功的乐趣，不只看表面，更要看到实质。四个量之间的一个等量关系，以便于以后运用方程思想灵活解决有关问题。
七、教学过程
（一）创设情景，引入概念（设计意图：通过对实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程）
情景1：把班上学生学号从小到大排成一列：
如：1，2，3，4，…，63，64.
问题1：请学生归纳出上一个数列的通项公式
。
问题2：把上面的数列各项依次记为，
学生填空：
问题3：上面的数列有什么特点，你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？
(教师引导，学生完成）（），或者写成 （）.
注：强调，原因在于有意义。
问题4：提问学生，能用普通语言概括上面的规律吗？
数列后一项等于前一项加“1”，或者 数列后一项与前一项的差为“1”.
上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。
情景2：看幻灯片上的实例
（1）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）： 48，53，58，63.
（2）水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5.
（3）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）。如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是：
10072， 10144， 10216， 10288， 10360.
（4）全国统一鞋号中，成年女鞋的尺码最小的是21码，相邻两个鞋号间隔0.5码，最大的是25码，组成的数列：
21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25.
问题5：请学生写出上面的数列，观察这些数列的特点，并用数学语言（符号）描述这些特点:
（1），，；（2），，
（3），，；（4），，
问题6：观察并归纳上面这些数列的共同特征，用数学语言（符号）描述这些特点:（d是常数），（，）
满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？）--等差数列。
板书课题——《等差数列》
（二）抽象分析，理解概念
等差数列的定义（学生叙述，教师板书）：
一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首项。
对定义进行分析，强调：①同一个常数；②从第二项起。
问题7：这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？观察下列数列是否为等差数列？
（1）1，2，4，6，8，10，12，……，（2）0，1，2，3，4，5，6，……
（3） 3，3，3，3，3，3，……，（4）2，4，7，11，16，……
（5）-8，-6，-4，0，2， ……，（6）3，0，-3，-6，-9，……
注：常数列也是等差数列，公差是0.
（三）推进概念，发现性质（设计意图：概括等差中项的概念.总结等差中项公式，用于发现等差数列的性质）
问题8：一个等差数列最少有几项？它们之间有什么关系？
学生思考后回答，至少三项，然后老师引导学生概括等差中项的概念。
设三个数成等差数列，则A叫a与b的等差中项。同时有
A-a=b-A,
说明：（1）上面式子反过来也成立。（2）等差数列中的任意连续三项都构成等差数列，反之亦成立。
（四）归纳猜想 探究通项（设计意图：通过具体数列的通项公式，总结一般等差数列的通项公式，体会特殊到一般的数学思想方法.）
对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差数列的通项公式。
问题9：先写出情景2的例题中等差数列的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。
问题10：若一个数列是等差数列，它的公差是d，那么数列 的通项公式是什么？启发学生：可用首项与公差表示数列中任意一项。（设计意图：培养学生归纳、猜想能力）
即：，
即：，
即：
……
归纳猜想：
问题11：从第几项开始归纳的？n=1时呢？
引导学生发现：从第二项开始，所以n≥2,当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式:
（）
问题12：提问学生还有没有其他的推导方法？（设计意图：培养学生合理的推理能力），教师引导学生用下面的方法归纳：

当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式
（）
我们把这种方法称为迭代法。
问题13：还有其他的推导方法吗？（估计学生较难回答）启发学生：看方法一的第一种表达形式

……

有何规律？（左边累加后得，右边累加的d+d+d+……+d共n-1个即=d+d+d+……+d=（n-1）d，所以

这种方法叫累加法，总结通项公式的推导方法：递推归纳法；迭代归纳法；累加法。
注意：（1）通项公式中含有四个量，其中为基本量，当确定后，通项公式就确定了。
（2）从函数的角度理解数列的通项公式。
通项公式为an=3n-5的数列的图像，并观察图像有什么特点？用几何画板作
图显示为下图：

该数列的图象是一群孤立的点。且都落在直线的图象上。由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
注：当p=0时，an=q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行x轴（或x轴上）的均匀分布的一群孤立点。
(五)掌握公式，灵活应用（设计意图：通过具体问题，分析等差数列通项公式中的四个量，灵活应用）
例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项？
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
（3）已知等差数列中，，求该数列的通项公式。
分析：（1）中求第20项，需要知道什么呢？（首项和公差）
（2）中怎样判断-401是不是数列中的项呢？（先求通项公式，再判断是否存在正整数n，使得-401=成立.）
（3）中已知两项，求通项公式的关键还是先求首项和公差。这里可以通过列方程组求解。
答案：(1)；(2)-401是这个数列的第100项；(3)。
学生—与一次函数内容类似，即an与n之间的关系是一次函数的关系；
（六）认真归纳，小结知识
提出问题：这节课你学到了什么？（教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳展示出来.）
①等差数列定义和通项公式: （n∈）
②等差中项：A叫a与b的等差中项
③等差中项及性质：

④等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀的一群孤立的点.
（七）精心安排，设计板书
等差数列
一．概念
1.等差数列
2.等差中项
二．通项公式
3.
公式推导过程
三．等差数列与一次函数的关系
四．例题

五．小结

（八）巩固练习，布置作业
（一）阅读作业：通读教材，复习巩固，等差数列的通项公式的求法。
（二）书面作业：教材习题2.2A组1，2，3，4题。
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