二次函数图像练习.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.doc

22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
预习要点：
按下面的步骤画出y=x2、y=(x-1)2、y=x2+1、y=(x-1)2+1的图象：
1．列表：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=x2
…

…
y=(x-1)2
…

…
y=x2+1
…

…
y=(x+1)2+1
…

…
2．描点及连线：

3．归纳：
（1）一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状 ， 不同．把抛物线y=ax2向上(下)向左(右) ，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k．平移的方向、距离要根据 的值来决定．抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：①当a＞0时，开口 ；当a＜0时，开口 ；②对称轴是 ；③顶点是 ．
（2）从二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以看出：如果a＞0，当x ＜h时，y随x的增大而 ，当x＞h时，y随x的增大而 ；如果a ＜0,当x＜h时，y随x的增大而 ，当x＞h时，y随x的增大而 ．
（1）相同 位置 平移 h，k 向上 向下 x=h (h, k)
（2）减小 增大 增大 减小
4．抛物线y=x2+1的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
5．函数y＝x2+1与y＝x2的图象的不同之处是（　　）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
6．抛物线y=3（x−2）2的顶点坐标为（　　）
A．（−2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（3，2）
7．与函数y=2（x−2）2形状相同的抛物线解析式是（　　）
A．y=1+ B．y=（2x+1）2 C．y=（x−2）2 D．y=2x2
8．二次函数y=−（x−1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，−2） B．（1，2） C．（−1，2） D．（−1，−2）
9．（2016•奉贤区一模）抛物线y=（x−1）2+2的对称轴是（　　）
A．直线x=2 B．直线x=−2 C．直线x=1 D．直线x=−1
10．二次函数y=（x−4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向上，直线x=4，（4，5） B．向上，直线x=−4，（−4，5）
C．向上，直线x=4，（4，−5） D．向下，直线x=−4，（−4，5）
11．抛物线y=x2−1的顶点坐标是 ．
12．在同一坐标系中，函数y=x2，y=（x−1）2，y=x2+1的图象具有的共同特征是 ．
13．抛物线y=（2x+1）2的顶点坐标是 ．
14．二次函数y=（x−3）2+5的对称轴为 ．

同步小题12道
一．选择题
1．在直角坐标系中，函数y=−3x与y=x2−1的图象大致是（　　）
A．B．C．D．
2．对于抛物线y=（x−2）2，下列说法正确的是（　　）
A．顶点坐标是（2，0） B．顶点坐标是（0，2）
C．顶点坐标是（−2，0） D．顶点坐标是（0，−2）
3．抛物线y=（x−2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（−2，3） B．（2，3） C．（−2，−3） D．（2，−3）
4．（2016•兰州模拟）抛物线y=（x−1）2+2与y轴交点坐标为（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（0，3）
5．（2016•枣庄校级模拟）设A（−2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=−（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
6．（2016•银川校级一模）对于抛物线y=−（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（−1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
7．（2016•曲靖一模）二次函数y=2（x−）2+3，当x 时，y随x的增大而增大．
8．抛物线y=x2+1的顶点坐标是 ．
9．（2016•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x−3）2+2（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线y=−x2−2于点B，则A、B两点间的距离为 ．

10．（2016•松江区一模）若点A（−3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=−2（x−1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是 （填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．
三．解答题
11．已知二次函数y=（x−2）2−4．（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围．

12．根据下列条件求m的取值范围．（1）函数y=（m+3）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；（2）函数y=（2m−1）x2有最小值；（3）抛物线y=（m+2）x2与抛物线y=−x2的形状相同．-

答案：
预习要点：
1．略 2．略
3．（1）相同 位置 平移 h，k 向上 向下 x=h (h, k)
（2）减小 增大 增大 减小
4．【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴，直接判断．
【解答】解：抛物线y=x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．
故选C
5．【分析】根据二次函数的性质得出，a决定开口大小以及方向，再利用顶点坐标位置得出不同．
【解答】解：y＝x2+1与y＝x2的图象顶点坐标为：（0，1），（0，0），故图象的不同之处是顶点坐标位置．
故选C
6．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．
【解答】解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（2，0）．
故选B
7．【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同．
【解答】解：y=2（x−2）2中，a=2．
故选D
8．【分析】根据二次函数的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：二次函数y=−（x−1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选B
9．【分析】利用顶点式直接求得对称轴即可．
【解答】解：抛物线y=（x−1）2+2的对称轴是x=1．故选：C
10．【解答】解：此式为二次函数的顶点式，因为a＞0，所以开口向上；对称轴为x=4，顶点坐标可直接写出为（4，5）．
故选A
11．【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．
【解答】解：抛物线y=x2−1的顶点坐标为（0，−1）．故答案是：（0，−1）．
12．【分析】先画出三个函数图象，利用函数图象可得它们开口都向上，开口大小一样，只是顶点位置不一样，它们相互可以通过平移得到．
【解答】解：如图，函数y=x2，y=（x−1）2，y=x2+1的图象具有的共同特征为：开口都向上，开口大小一样．

13．【分析】首先把抛物线解析式变形，然后利用顶点坐标公式即可求解．
【解答】解：∵y=（2x+1）2=4（x+）2，∴抛物线的顶点坐标为（−，0）．
答案：（−，0）．
14．【分析】根据顶点式的特点可直接写出对称轴．
【解答】解：因为y=（x−3）2+5是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，对称轴是直线x=3．答案：x=3．

同步小题12道
1．【分析】已知一次函数、二次函数解析式，可根据图象的基本性质，直接判断．
【解答】解：∵一次函数y=−3x的比例系数k=−3＜0，∴y随x的增大而减小，排除B、D；因为二次函数y=x2−1的图象的顶点坐标应该为（0，−1），故可排除A；正确答案是C
故选C
2．【分析】直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．
【解答】解：抛物线y=（x−2）2的顶点坐标为（2，0），故选A．
3．【分析】由抛物线的顶点式y=（x−h）2+k直接看出顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线为y=（x−2）2+3，∴顶点坐标是（2，3）．故选B
4．【分析】将x=0代入y=（x−1）2+2，计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：将x=0代入y=（x−1）2+2，得y=3，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，3）．
故选D
5．【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
【解答】解：∵函数的解析式是y=−（x+1）2+3，如右图，∴对称轴是x=−1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．
故选A

6．【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①∵a=−＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x=−1，故本小题错误；③顶点坐标为（−1，3），正确；④∵x＞−1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选：C
7．【分析】根据二次函数的顶点式方程可得出其对称轴及增减性，可得出答案．
【解答】解：∵y=2（x−）2+3，∴二次函数开口向上，对称轴为x=，∴当x＞时，y随x的增大而增大．
答案：＞
8．【分析】依据二次函数的顶点坐标公式求解即可．
【解答】解：∵a=1，b=0，c=1．∴x=−=−=0．将x=0代入得到y=1．∴抛物线的顶点坐标为：（0，1）．
答案：（0，1）．
9．【分析】先求得顶点A的坐标，然后根据题意得出B的横坐标，把横坐标代入抛物线y=−x2−2，得出纵坐标，从而求得A、B间的距离．
【解答】解：∵抛物线y=a（x−3）2+2（a＞0）的顶点为A，∴A（3，2），∵过点A作y轴的平行线交抛物线y=−x2−2于点B，∴B的横坐标为3，把x=3代入y=−x2−2得y=−5，∴B（3，−5），∴AB=2+5=7．
答案：7．
10．【分析】分别计算自变量为−2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当x=−3时，y1=−2（x−1）2+3=−29；当x=0时，y2=−2（x−1）2+3=1；∵−29＜1，∴y1＜y2．
答案：y1＜y2
11．【分析】（1）利用列表，描点，连线作出图形即可；（2）写出函数图象在x轴下方的部分的x的取值范围即可．
解：（1）列表：
 x…012 34…
 y… 0−3−4−30…
描点、连线如图；

（2）由图象可知：当y＜0时x的取值范围是0＜x＜4．
12．【分析】（1）由当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大，可知m+3＜0，进一步求得m的取值范围即可；（2）二次函数有最小值，说明抛物线开口向上，即2m−1＞0，进一步求得m的取值范围即可；（3）两个抛物线的形状相同，说明二次项系数相同，即m+2=−，求得m的数值即可．
解：（1）∵函数y=（m+3）x2，
当x＞0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴m+3＜0，解得m＜−3；
（2）∵函数y=（2m−1）x2有最小值，
∴2m−1＞0，解得：m＞；
（3）∵抛物线y=（m+2）x2与抛物线y=−x2的形状相同，
∴m+2=−，解得：m=−．