2012高三数学一轮复习-阶段性测试题(2)-函数.doc

阶段性测试题二(函数)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．(文)(2011·山东日照调研)函数f(x)＝ln(x＋1)－(x>0)的零点所在的大致区间是(　　)
A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2)
C．(2，e) D．(3,4)
[答案]　B
[解析]　f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，又y＝ln(x＋1)是增函数，y＝－在(0，＋∞)上也是增函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点．
(理)(2011·宁夏银川一中检测)已知a是f(x)＝2x－logx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足(　　)
A．f(x0)＝0　　　　　 B．f(x0)<0
C．f(x0)>0 D．f(x0)的符号不确定
[答案]　B
[解析]　∵函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，且这个函数有零点，∴这个零点是唯一的，根据函数的单调递增性知，在(0，a)上这个函数的函数值小于零，即f(x0)<0.
[点评]　在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零．
2．(文)(2011·辽宁丹东四校联考)若关于x的方程logx＝在区间(0,1)上有解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
[答案]　A
[分析]　要使方程有解，只要在函数y＝logx(0<x<1)的值域内，即>0.
[解析]　∵x∈(0,1)，∴logx>0，
∴>0，∴0<m<1.
(理)(2011·辽宁丹东四校联考)已知函数f(x)＝ln，则f(x)是(　　)
A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，且在R上单调递增
C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．偶函数，且在R上单调递减
[答案]　A
[解析]　由>0得ex>，
∴x>0，故f(x)为非奇非偶函数，
又ex为增函数，e－x为减函数，∴为增函数，
∴f(x)为增函数，故选A.
3．(2011·辽宁丹东四校联考)已知函数f(x)＝2x－1，对于满足0<x1<x2<2的任意x1，x2，给出下列结论：
(1)(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0；
(2)x2f(x1)<x1f(x2)；
(3)f(x2)－f(x1)>x2－x1；
(4)>f.
其中正确结论的序号是(　　)
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(3)(4) D．(2)(4)
[答案]　D
[解析]　∵f(x)＝2x－1为增函数，∴(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，故(1)错，排除A、B.由图知④正确，故选D.
4．(2011·江西南昌调研)若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．存在a∈R，f(x)是偶函数
B．存在a∈R，f(x)是奇函数
C．对于任意的a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．对于任意的a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
[答案]　A
[解析]　显然当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故选A.
5．(2011·安徽百校联考)已知函数f(x)＝若f[f(0)]＝4a，则实数a等于(　　)
A. B.
C．2 D．9
[答案]　C
[解析]　f(0)＝20＋1＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.
6．(2011·北京朝阳区期末)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(　　)
A．y＝logx B．y＝2x－1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
[答案]　B
[解析]　y＝logx是单调减函数；y＝x2－在(－1,1)内先减后增；y＝－x3是减函数；y＝2x－1单调递增，且有零点x＝0.
7．(2011·巢湖质检)实数a＝0.3，b＝log0.3，c＝()0.3的大小关系正确的是(　　)
A．a<c<b B．a<b<c
C．b<a<c D．b<c<a
[答案]　C
[解析]　a＝0.3<0.30＝1，∴0<a<1，b＝log0.3<log1＝0，c＝()0.3>()0＝1，∴b<a<c.
8．(2011·北京学普教育中心联考版)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，若设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010的值为(　　)
A．－log20112010－2 B．－1
C．log20112010－1 D．1
[答案]　B
[解析]　f ′(x)＝(n＋1)xn，k＝f ′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为：y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得，x＝1－＝，即xn＝，∴x1×x2×…×x2010＝×××…×＝，则log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010＝log2011(x1×x2×…×x2010)＝log2011＝－1，故选B.
9．(2011·浙江宁波八校联考)集合P＝{n|n＝lnk，k∈N*}，若a，b∈P，则a⊕b∈P，那么运算⊕可能是实数运算中的(　　)
A．加法 B．减法
C．乘法 D．除法
[答案]　A
[解析]　设a＝lnk1，b＝lnk2，k1，k2∈N*，则a＋b＝lnk1＋lnk2＝ln(k1k2)，∵k1k2∈N*，∴a＋b∈P，故⊕可以是实数运算中的加法．
10．(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知函数y＝f(x)是偶函数，且函数y＝f(x－2)在[0,2]上是单调减函数，则(　　)
A．f(－1)<f(2)<f(0) B．f(－1)<f(0)<f(2)
C．f(0)<f(－1)<f(2) D．f(2)<f(－1)<f(0)
[答案]　C
[解析]　y＝f(x－2)是由函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位得到的，∵y＝f(x－2)在[0,2]上是减函数，∴y＝f(x)在[－2,0]上是减函数，∴f(－2)>f(－1)>f(0)，∵f(x)为偶函数，∴f(0)<f(－1)<f(2)．
11．(2011·甘肃天水一中期末)已知f(x)在定义在R上的奇函数，当x≥0时，值域为[－2,3]，则y＝f(x)(x∈R)的值域为(　　)
A．[－2,2] B．[－2,3]
C．[－3,2] D．[－3,3]
[答案]　D
[解析]　∵f(x)在R上的奇函数，当x≥0时，－2≤y≤3，∴当x≤0时，－3≤y≤2，∴函数f(x)的值域为[－3,3]，故选D.
12．(文)(2011·河北冀州期末)函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－]∪(1，] B．[－，－1)∪[，＋∞)
C．(1，] D．[，＋∞)
[答案]　A
[解析]　若a>0，则f(x)＝ax2＋1在[0，＋∞)上单调增，∴f(x)＝(a2－1)eax在(－∞，0)上单调增，
∴，∴1<a≤.
同理，当a<0时，可求得a≤－，故选A.
(理)(2011·福州市期末)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12)、4m，不考虑树的粗细，现在用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为Sm2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花园内，则函数u＝f(a)的图象大致是(　　)

[答案]　C
[解析]　设BC＝x，则DC＝16－x，由得a≤x≤12，矩形面积S＝x(16－x)　(a≤x≤12)，显然当a≤8时，矩形面积最大值U＝64，为常数，当a>8时，在x＝a时，矩形面积取最大值u＝a(16－a)，在[a,12]上为减函数，故选C.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2011·四川资阳模拟)函数f(x)＝2x＋b，点P(5,2)在函数f(x)的反函数f－1(x)的图象上，则b＝________.
[答案]　1
[解析]　∵点P在函数f(x)的反函数图象上，∴P′(2,5)在f(x)的图象上，∴22＋b＝5，∴b＝1.
14．(文)(2011·黑龙江哈六中期末)已知f(x)＝logax，(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则f(3a)＝________.
[答案]　3
[解析]　∵f(9)＝2，∴loga9＝2，∴a＝3，∴f(3a)＝log33a＝a＝3.
(理)(2011·山东省实验中学诊断)函数y＝ax－1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx＋n的图像上，其中m，n>0，则＋的最小值为________．
[答案]　4
[解析]　当x＝1时，y＝a1－1＝1，∴A(1,1)，由题意知，m＋n＝1，m>0，n>0，
∴＋＝(m＋n)＝2＋＋
≥2＋2＝4等号在m＝n＝时成立，
∴＋的最小值为4.
15．(文)(2011·山东潍坊诸城)定义：F(x，y)＝yx(x>0，y>0)，已知数列{an}满足：an＝(n∈N*)，若对任意正整数n，都有an≥ak(k∈N*)成立，则ak的值为________．
[答案]　
[解析]　由F(x，y)的定义知，an＝(n∈N*)．∵对任意正整数n，都有an≥ak成立，∴ak为数列{an}中的最小项，由指数函数与幂函数的增大速度及a1＝2，a2＝1，a3＝，a4＝1知，当a>4时，恒有an>1，∴对∀n∈N*，有an≥a3＝成立．
(理)(2011·山东淄博一中期末)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有四个零点，则实数k的取值范围是________．
[答案]　(0，]
[解析]　∵f(x＋1)＝，∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的周期函数，当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，
∴f(－x)＝－x，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x，当x∈[1,2]时，x－2∈[－1,0]，∴f(x－2)＝－x＋2，
∴f(x)＝－x＋2，同理当x∈[2,3]时，f(x)＝x－2，
∴在区间[－1,3]上f(x)的解析式为
f(x)＝，
∵g(x)在[－1,3]内有四个零点，∴f(x)与y＝kx＋k的图象在[－1,3]内有四个交点，∵y＝kx＋k过定点A(－1，0)，又B(3,1)，kAB＝，∴0<k≤.
[点评]　用数形结合法，结合周期性及f(x)为偶函数，可画出图形，借助图形讨论，避免求解析式．
16．(2011·辽宁大连期末联考)定义某种运算S＝a⊗b，运算原理如图所示，则式子：⊗lne＋lg100⊗－1的值是________．

[答案]　4
[解析]　由框图知S＝
∵2tan＝2，lne＝1,2>1，
∴⊗lne＝2⊗1＝＝3，
又∵lg100＝2，－1＝3，
∴lg100⊗－1＝2⊗3＝＝1，∴原式＝3＋1＝4.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2011·湖南长沙月考)工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p＝，(c为常数， 且0<c<6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．
(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝×100%)
[解析]　(1)当x>c时，p＝，y＝·x·3－·x·＝0；
当0<x≤c时，p＝，
∴y＝·x·3－·x·＝.
∴日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为
y＝
(2)由(1)知，当x>c时，日盈利额为0.
当0<x≤c时，
∵y＝，
∴y′＝·
＝，
令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)．
∴①当0<c<3时，∵y′>0，∴y在区间(0，c]上单调递增，∴y最大值＝f(c)＝.
②当3≤c<6时，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上y′<0，
∴y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减．
∴y最大值＝f(3)＝.
综上，若0<c<3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；
若3≤c<6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大．
18．(本小题满分12分)(文)(2010·广东佛山顺德区质检)已知函数f(x)＝ex－k－x，(x∈R)
(1)当k＝0时，若函数g(x)＝的定义域是R，求实数m的取值范围；
(2)试判断当k>1时，函数f(x)在(k,2k)内是否存在零点．
[解析]　(1)当k＝0时，f(x)＝ex－x，f ′(x)＝ex－1，
令f ′(x)＝0得，x＝0，当x<0时f ′(x)<0，当x>0时，f ′(x)>0，
∴f(x)在(－∞，0)上单调减，在[0，＋∞)上单调增．
∴f(x)min＝f(0)＝1，
∵对∀x∈R，f(x)≥1，∴f(x)－1≥0恒成立，
∴欲使g(x)定义域为R，应有m>－1.
∴实数m的取值范围是(－1，＋∞)．
(2)当k>1时，f(x)＝ex－k－x，f ′(x)＝ex－k－1>0在(k,2k)上恒成立．
∴f(x)在(k,2k)上单调增．
又f(k)＝ek－k－k＝1－k<0，
f(2k)＝e2k－k－2k＝ek－2k，令h(k)＝ek－2k，
∵h′(k)＝ek－2>0，∴h(k)在k>1时单调增，
∴h(k)>e－2>0，即f(2k)>0，
∴由零点存在定理知，函数f(x)在(k,2k)内存在零点．
(理)(2010·厦门三中阶段测试)已知f(x)＝lnx＋x2－bx.
(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
(2)当b＝－1时，设g(x)＝f(x)－2x2，求证函数g(x)只有一个零点．
[解析]　(1)∵f(x)在(0，＋∞)上递增，
∴f ′(x)＝＋2x－b≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，
即b≤＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴只需b≤min　(x>0)，
∵x>0，∴＋2x≥2，当且仅当x＝时取“＝”，
∴b≤2，
∴b的取值范围为(－∞，2]．
(2)当b＝－1时，g(x)＝f(x)－2x2＝lnx－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，
∴g′(x)＝－2x＋1
＝－＝－，
令g′(x)＝0，即－＝0，
∵x>0，∴x＝1，
当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0，
∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，
∴当x≠1时，g(x)<g(1)，即g(x)<0，当x＝1时，g(x)＝0.
∴函数g(x)只有一个零点．
19．(本小题满分12分)(文)(2011·安徽滁州期末)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.
(1)已知集合P＝{－1,1,2,3,4,5}，Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)在区域内随机任取一点(a，b)．
求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
[解析]　(1)∵a∈P，∴a≠0.
∴函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，
要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，
当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，则b＝－2，－1；
若a＝2，则b＝－2，－1,1；
若a＝3，则b＝－2，－1,1；
若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；
若a＝5，则b＝－2，－1,1,2.
所求事件包含基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16.
∴所求事件的概率为＝.
(2)由条件知a>0，∴同(1)可知当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域
，为△OAB，所求事件构成区域为如图阴影部分．

由得交点D，
∴所求事件的概率为P＝＝.
(理)(2011·高青一中月考)已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}．
(1)若a，b∈N，求A∩B≠∅的概率；
(2)若a，b∈R，求A∩B＝∅的概率．
[分析]　令f(x)＝ax＋b·2x－1，A∩B≠∅，即存在x∈[－1,0]，使f(x)<0，只须f(x)在x∈[－1,0]上的最小值f(x)min<0；
A∩B＝∅即对任意x∈[－1,0]都有f(x)≥0，只须f(x)在x∈[－1,0]上的最小值f(x)min≥0.
[解析]　(1)因为a、b∈N，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．

令函数f(x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，则
f ′(x)＝a＋bln2·2x.
因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f ′(x)>0，
即f(x)在[－1,0]在上是单调增函数．
f(x)在[－1,0]上的最小值为－a＋－1.
要使A∩B≠∅，只须－a＋－1<0，即2a－b＋2>0.
所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7组．
所以A∩B≠∅的概率为.
(2)因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a，b)对应的区域是边长为2的正方形(如图)，面积为4.
由(1)可知，要使A∩B＝∅，只须f(x)min＝－a＋－1≥0⇒2a－b＋2≤0，
所以满足A∩B＝∅的(a，b)对应的区域是如图阴影部分．
所以S阴影＝2×2－×1×＝.
所以A∩B＝∅的概率为P＝＝.
20．(本小题满分12分)(2010·广东省中山市四校联考)“5·12”汶川大地震是华人心中永远的痛！在灾后重建中拟在矩形区域ABCD内建一矩形(与原方位一样)的汶川人民纪念广场(如图)，另外AEF内部有一废墟作为文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，如何设计才能使广场面积最大？

[解析]　建立如图所示的直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，
∴线段EF的方程是＋＝1(0≤x≤30)

在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)
又∵＋＝1(0≤m≤30)，∴n＝20，
∴S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)
∴当m＝5m时，S有最大值，此时＝＝.
故当矩形广场的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成51时，广场的面积最大．
21．(本小题满分12分)(2011·吉林省实验中学模拟)2010年11月在广州召开亚运会，某小商品公司开发一种亚运会纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y(元)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．
[解析]　(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润
y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，
∴y与x的函数关系式为
y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1)．
(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0得x1＝，x2＝－(舍)，
∴当0<x<时，y′>0；当<x<1时，y′<0.
∴函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1)在x＝处取得最大值．
故改进工艺后，纪念品的销售价为20＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．
22．(本小题满分12分)(文)(2011·山东济南一中)设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a、b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，比较f(a)与f(b)的大小；
(2)解不等式f<f；
(3)记P＝{x|y＝f(x－c)}，Q＝{x|y＝f(x－c2)}，且P∩Q＝∅，求c的取值范围．
[解析]　设－1≤x1<x2≤1，则x1－x2≠0，
∴>0.
∵x1－x2<0，∴f(x1)＋f(－x2)<0.
∴f(x1)<－f(－x2)．
又f(x)是奇函数，∴f(－x2)＝－f(x2)．
∴f(x1)<f(x2)．
∴f(x)是增函数．
(1)∵a>b，∴f(a)>f(b)．
(2)由f<f，得
∴－≤x≤.
∴不等式的解集为{x|－≤x≤}．
(3)由－1≤x－c≤1，得－1＋c≤x≤1＋c，
∴P＝{x|－1＋c≤x≤1＋c}．
由－1≤x－c2≤1，得－1＋c2≤x≤1＋c2，
∴Q＝{x|－1＋c2≤x≤1＋c2}．
∵P∩Q＝∅，
∴1＋c<－1＋c2或－1＋c>1＋c2，
解得c>2或c<－1.
∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
(理)(2011·吉林省实验中学模拟、湖北荆门市调研)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．
[解析]　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1，
故f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)
∵f(1)>0，∴a－>0，又a>0且a≠1，∴a>1.
f′(x)＝axlna＋＝lna
∵a>1，∴lna>0，
而ax＋>0，∴f′(x)>0
故f(x)在R上单调递增
原不等式化为：f(x2＋2x)>f(4－x)
∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0
∴x>1或x<－4，
∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．
(2)∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0，
∴a＝2或a＝－(舍去)．
∴g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.
令t＝f(x)＝2x－2－x，
由(1)可知f(x)＝2x－2－x为增函数
∵x≥1，∴t≥f(1)＝，
令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2　(t≥)
若m≥，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2
若m<，当t＝时，h(t)min＝－3m＝－2，
解得m＝>，舍去
综上可知m＝2.
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