七年级数学下册-《二元一次方程组》考点例析-华东师大版.doc

第七章《二一元一次方程组》考点例析
二元一次方程组是一元一次方程的继续和发展,从用一元一次方程解决含有未知量的实际问题发展为用方程组解决有多个未知量的问题.了能帮助同学们搞好数学复习，现就二元一次方程组中常见题型与考点举例说明如下，希望大家能有所斩获.
考点一 考查二元一次方程(组)以及它们的解的定义：
例1．(1)在下列方程中：①②③④,其中是二元一次方程的有（　　）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
（2）下列方程组中,是二元一次方程组的有( )个
①② ③④ ⑤
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
（3）若是方程组的解,则
（4）二元一次方程组的解对于二元一次方程来是（　　）
Ａ．是这个方程的唯一解 Ｂ．不是这个方程的解
Ｃ．是这个方程的一个解 Ｄ．以上结论都不对
（5）已知关于的方程组和的解相同,求的值
（6）已知二元一次方程组 的解是,则a+b的值为________。
解析：
(1)二元一次方程的定义是:含有两个未知数,并且未知项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.①和②符合定义, ③中的的次数是2,④中的的次数也是2,均不符合定义,故选B.
(2)二元一次方程组的定义是:方程组中含有两个未知数,方程组未知项的次数是1. ①和③符合定义, ②中的两项的次数不是1, ④中的次数不是1, ⑤中含有3个未知数,均不符合定义,故选B.
(3)根据方程组解的定义可知:,由此可得
（4）方程组的解是方程组里几个方程的公共解,所以方程组的解一定是方程的解,但方程的解有无数个,所以方程组的解不是方程的唯一解.故选C.
(5) 关于的方程组和的解相同表明两个方程组中的4个方程有一个公共解,这个解可由解方程组得出为,再把代入可得到关于的方程组,解之可得.
（6）解：把x=2，y=1代入原方程组，得
(1)+(2)得3(a+b)=9，∴a+b=3

点评：利用概念解题是初中数学的重要方面，因此要注意对概念的内涵和外延全面理解.
练习：
1、下列是二元一次方程的是--------------------------------------（ ）
A、3x—6=x B、 C、x—y2=0 D、

2、下列数① ② ③④是方程的解的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、二元一次方程的正整数解有（ ）组。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4、如果方程组的解是的一个解，则m的值为（ ）。
A 1 B 2 C 3 D 4
5、如果是方程组的解，则（a+b）(a-b)的值为（ ）.
A B C -16 D 16
6、当x=3时，在二元一次方程3x+2y=8中，y=　　 　
7、已知是方程的解，则__ ______
8、已知是方程组的解，求的值。

考点二 考查二一元一次方程组的解法：
例2.(1)解方程组：
解：将①代入②，得．
化归思想的充分体现!
解之，得．
将代入①，得．
所以，原方程的解为
(2)解方程
要注意符号噢!
解：②①，得 ，
．
把代入①，解得 ．
所以原方程组的解为
点评：解二元一次方程组有代入消元法和加减消元法,一般是当可以比较容易的把一个未知数用含有另一个未知数的式子表示的时候,用代入消元法;否则可用加减消元法.用加减消元法时,当两个方程相减时,要特别注意符号问题,这都是容易出错的地方.另外,解二元一次方程组是“化归”思想的充分体现,要注意体会这种数学思想.
练习：
解下列方程组：
（1） （2）

（3）（10内江） （4）（09内江）

考点三 整体思想：
例3．（1）若，则________．
（2）已知方程组则的值是（　　）
Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
（3）已知方程组的解是，则方程组的解是( )
(A) (B) (C) (D)
解析：（1）.
（2）方程组中的上下两个方程相减可得:
(3)运用把当做两个整体,可知:,解之可得
点评：把一个代数式当做一个整体有时可以给解决问题带来很大的方便,这是一种高超的数学思想,在学习中要注意多体会.
练习：
1、已知 3－x＋2y＝0，则 2x－4y－3 的值为------------（ 　　）
A、－3 B、3 C、1 D、0
2、满足方程组解的与之和为2，则a的值为（ ）。
A、一4 B、4 C、0 D、任意数
3、在方程组中，若未知数x,y满足x＋y>0, 则m的取值范围是 ( )
A、m<1 B、 C、m<3 D、
4、方程组的解满足，则的值是（　　）
Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
5、（09内江）已知方程组的解满足。则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

考点四 构造二元一次方程组解决问题：
例4.(1)如果为有理数,且满足,则________________.
(2).若与的和仍是单项式,则有( )
A B C D
解析:(1)根据非负数的性质可知:,又,所以有, ,即,解之可得,故.
(2) 与的和仍是单项式表明是同类项,根据同类项的定义可知:,解之可得
点评: 本例中两个小题分别利用同类项的概念和非负数的性质构造二一元一次方程组,从而达到解决问题的目的，此类题目是中考的一个重点题型.
练习：
1. 已知那么和的值分别是（ ）
A、， B、， C、， D、，
2、，那么与的值分别为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、和是同类项，那么、的值为（ ）
……
A、 B、 C、 D、
4、若，则的值等于______．
5、如下图，正方形是由k个相同的矩形组成，
上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= .

考点五 列二一元一次方程组解应用题：
例5、鸡兔同笼：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四只足，问鸡兔各几何？
思路分析：首先要读懂这首诗，问题问的是鸡兔各有多少只，再分析题目，一只鸡一个头，一只兔子一个头，那么35个头说明鸡和兔子的总数是35只，一只鸡2条腿，一只兔子4条腿，那么94条腿说明鸡和兔子的腿的总数时94条，从而确定等量关系建立方程求解。
解：设鸡有x只，兔子有y只，根据题意列方程有
解得
答：鸡有23只，兔子有12只。
点评：分析问题读懂题意是解决问题的关键。
例6：出租车收费标准为行程不超过3千米受起步价若干元，超过部分每千米多收若干元，某天老李第一次乘坐了8千米，花去12元，第二天乘坐了11千米，花去15.6元，问出租车的起步价是多少元？超过3千米后每千米多少元？
思路分析：等量关系是起步价+超过后的费用=总费用
解： 设出租车的起步价为x元，超过3千米后每千米y元。根据题意列出方程组，得 解得这个方程组，得
答：出租车的起步价是6元？超过3千米后每千米1.2元。
点评：不能认为老李第一次乘了8千米花去12元就是起步价。而应该两次都按上面的等量关系来列方程。也就是两个方程都用同一个等量关系来列方程组。
例7 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获得利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际出售时，顾客要求，两件衣服均9折出售，这样商店共获利157元。求服装的成本各是多少元？
思路分析：题中隐含两个等量关系，第一个等量关系是：两件衣服的成本共为500元，等二个等量关系为：售价=成本+利润。
解： 设甲、乙两件衣服的成本分别是x元、y元。根据题意，得

解得这个方程组，得
答：甲、乙两件衣服的成本分别是300元、200元。
点评：题中利用的等量关系有两个。售价=成本+利润；实际售价=售价X（打折数X10%）。
例8：小华到银行以两种形式分别存了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息后所得税后可得到利息43.92元，已知这两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：利息所得税=利息全额×20%）。
分析：利率问题：利息=本金×利率×时间。
解：设2000元、1000元的年利率分别为x%和y%，则根据题意，得方程组。

解方程组，得
答：2000元的年利率为2.25%，1000元的年利率为0.99%。
点评：强调如果是教育储蓄不扣利息税.
例9 某公司有A、B、C三种型号的电脑，其价格为：A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元。某中学计划将100500元全部用于从该公司购买其中两种型号的电脑共36台。请你设计几种不同的方案供学校参考选择，并说明理由.
思路分析：本题是因为三选二，所以要考虑分类思考。只能选其中的两种。而这两种的台数之和为36台，并且走售价为100500，从而确定等量关系建立方程。
解：方案一 ：可设A型电脑x台，B型电脑y台。根据题意，得
解得 （舍去）
方案二： 设A型电脑m台，C型电脑n台，根据题意可得
解得
方案三： 设B型电脑为p台，C型电脑为q台，根据题意有
解得
所以：不能买A、B型电脑，可以购买A、C两种型号的电脑：A型3台，C型33台；可以购买B、C两种型号的电脑：B型7台，C型29台。
点评：共有三种不同的购买方案可供选择，即购买A、B型号，可购买A、C型号，B、C型号，然后逐一进行分析，得出与实际问题相符的结论。

点评:用二元一次方程组解答含有多个未知量实际问题,是中考考查的热点.大部分列二元一次方程组解决的问题都可以列一元一次方程来解决,但总的来说,设两未知数会更容易列出方程. 因为当题目中有多个未知量时,列一元一次方程需要将其中的一个未知量用另一个未知量表示出来,这需要更高的思维层次.列二元一次方程组解决实际问题一般需要般要遵循如下步骤:
解决实际问题的过程：
（1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量之间的关系；
（2）设：设未知数（一般求什么，就设什么为x、y，设未知数要带好单位名称）；
（3）找：找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系；
（4）列：根据这两个相等关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组；
（5）解：解所列方程组，得未知数的值；
（6）答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）。
归纳为6个字：审，设，找，列，解，答。
练习：
1、一台微波炉的成本是a元，销售价比成本多20%，因库存积压严重，按销售价的80%出售，则每台的实际售价为（ ）
A a(1+22%)(1+80%)元 B 80%a(1+22%)元
C a(1+22%)(1-80%)元 D a(1+22%+80%)元
2、西部山区某县响应国家“退耕还林”号召，将该县一部分耕地改还为林地。改还后，林地面积和耕地面积共有180km2, 耕地面积是林地面积的25%。设改还后耕地面积为x km2 ，林地面积为ykm2,则下列方程组中，正确的是 （ ）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、（2） 某工厂年产值为150万元，，如果每增加100万元的投资，一年可增加产值250万元，设总产值为y万元，新增加的投资为x万元，则x、y之间的关系为________。
3、某商场购进甲、乙两种服装，都加价40%的标价出售，春节期间商场搞优惠活动促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的8折合9折出售。某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，两种服装的标价之和为210元。问这两种服装的进价和标价各是多少元？

4、七年级新生有若干人，准备安排若干间宿舍：如果每间宿舍住4人，那么余200人没地方住；如果每间宿舍住8人，那么还有一间宿舍空出来。求学生人数和宿舍间数？

5、初三（2）班的一个综合实践活动小组去A，B两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学交流的情况.根据他们的对话，请你分别求出A，B两个超市今年“五一节” 期间的销售额.

6、某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数
(千克)
不超过
20千克
20千克以上但不超过40千克
40千克以上
每千克价格
6元
5元
4元
张强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克?