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根与系数关系经典习题

一。 填空题
1。 如果是方程的两个根,那么____________。
2. 已知一元二次方程的两根分别为，那么的值是_________。
3。 若方程的两根的倒数和是，则____________。
二. 选择题
1. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ）
A. B。 C。 D。
2。 如果一元二次方程的两个根为,那么与的值分别为（ )
A。 3，2 B。 C. D.
3。 如果方程的两个实数根分别为，那么的值是( )
A。 3 B. C。 D.
4。 如果是方程的两个根,那么的值等于( )
A. B. 3 C。 D。
5. 已知关于x的方程有两个相等的正实数根，则k的值是（ )
A。 B. C。 2或 D。
6。 若方程两实数根的平方差为16，则m的值等于（ ）
A. 3 B. 5 C。 15 D。
7. 如果是两个不相等的实数，且满足，，那么等于（ ）
A。 2 B。 C。 1 D。
8. 对于任意实数m,关于x的方程一定（ ）
A。 有两个正的实数根B. 有两个负的实数根 C。 有一个正实数根、一个负实数根D. 没有实数根
三. 解答题
1。 已知关于x的方程的两上实数根的平方和等于4,求实数k的值。
2。 已知一元二次方程
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设是方程的两个实数根，且满足,求m的值.
3。 已知关于x的方程
（1）k取什么值时,方程有两个实数根？
(2)如果方程的两个实数根满足，求k的值。
4。 已知关于x的一元二次方程
(1)求证：对于任意非零实数a,该方程恒有两个异号的实数根;
（2）设是方程的两个实数根,若，求a的值。
一元二次方程根与系数的关系
知识考点：
掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。
精典例题:
【例1】关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ;
＝ 。
分析：设另一根为，由根与系数的关系可建立关于和的方程组，解之即得。
答案:,－1
【例2】、是方程的两个根,不解方程,求下列代数式的值：
（1） （2） (3)
略解：（1）＝＝
（2）＝＝
(3)原式＝＝＝
【例3】已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值。
分析：有实数根，则△≥0,且，联立解得的值。
略解:依题意有：
由①②③解得：或，又由④可知≥
∴舍去，故
探索与创新：
【问题一】已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问:与能否同号？若能同号请求出相应的的取值范围;若不能同号，请说明理由.
略解:由≥0得≤.，≥0
∴与可能同号，分两种情况讨论：
（1)若＞0，＞0，则，解得＜1且≠0
∴≤且≠0
（2)若＜0，＜0，则，解得＞1与≤相矛盾
综上所述:当≤且≠0时，方程的两根同号。
【问题二】已知、是一元二次方程的两个实数根。
（1)是否存在实数，使成立？若存在,求出的值；若不存在，请说明理由.
(2）求使的值为整数的实数的整数值。
略解：（1）由≠0和△≥0＜0
∵，
∴
∴，而＜0
∴不存在。
（2)＝＝，要使的值为整数，而为整数,只能取±1、±2、±4，又＜0
∴存在整数的值为－2、－3、－5
【课后作业】
1．一元二次方程的根的情况为（　　）
Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根
Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根
2。 若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
3．设x1、x2是方程3x2＋4x－5＝0的两根，则 ,。x12＋x22＝ .
4．关于x的方程2x2＋(m2－9）x＋m＋1＝0,当m＝ 时，两根互为倒数；当m＝ 时，两根互为相反数.
5．若x1 =是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根，则a＝ ，该方程的另一个根x2 = 。
6．设x1,x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1）(x2＋1)= __________,x12＋x22＝_____, ＝__________，(x1－x2)2＝_______。
7．当__________时，关于的方程有实数根．（填一个符合要求的数即可）
8。 已知关于的方程的判别式等于0,且是方程的根，则的值为 ．
9。 已知是关于的方程的两个实数根，则的最小值是 ．
10．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则的值是(　　）
Ａ．3或 Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．或1
11．一元二次方程的两个根分别是,则的值是（　　）
Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．（泸州）若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（　　)
A．m<l 　　 B．m〉－1 　　 C．m〉l 　 D．m<－1
跟踪训练：
一、填空题：
1、设、是方程的两根,则①＝ ；② ＝ ；③＝ 。
2、以方程的两根的倒数为根的一元二次方程是 .
3、已知方程的两实根差的平方为144,则＝ 。
4、已知方程的一个根是1，则它的另一个根是 ,的值是 。
6、已知、是方程的两根,则的值为 。
二、选择题:
1、如果方程的两个实根互为相反数,那么的值为( ）
A、0 B、－1 C、1 D、±1
2、已知≠0，方程的系数满足，则方程的两根之比为( ）
A、0∶1 B、1∶1 C、1∶2 D、2∶3
4、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点,且AO、BO的长分别是关于的方程:的根，则的值为( ）
A、－3 B、5 C、5或－3 D、－5或3
三、解答题：
1、证明：方程无整数根。
2、已知关于的方程的两个实数根的倒数和等于3,关于的方程有实根，且为正整数，求代数式的值。
3、已知关于的方程……①有两个不相等的实数根，且关于的方程……②没有实数根，问：取什么整数时，方程①有整数解？
4、已知关于的方程
（1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设、是方程的两根,且，求的值。
5、已知关于的方程只有整数根，且关于的一元二次方程的两个实数根为、。
(1）当为整数时，确定的值。
(2)在(1)的条件下，若＝2，求的值。
6、已知、是关于的一元二次方程的两个非零实根，问：、能否同号？若能同号，请求出相应的取值范围；若不能同号，请说明理由。
7．设关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＝0的两实数根为x1、x2，，若求k的值。
8．已知关于的一元二次方程．
(1）若方程有两个相等的实数根，求的值;
(2)若方程的两实数根之积等于，求的值．
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