2014届江西省赣州市六校高三上学期期末联考理科数学试题及答案.doc

赣州市六校2014届高三上学期期末联考
数学（理）试题
（试卷满分150分 ）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则A∩B＝(　 　)
A．[－2，2] B．[0，2] C．(0，2] D．[0，＋∞)
2．函数f(x)＝的定义域是(　 　)
A．(0，2) B．(0，1)∪(1，2) C．(0，2] D．(0，1)∪(1，2]
3．已知数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若，则这9个数的和为(　 　)
A．16 B．32 C．36 D．72
4
1
4
4
4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　 　)
A. B． C.40 D.80
5．已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是(　 　)
A．28 B．48 C．28或48 D．1或28
6.由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为( 　)
A. B．4 C. D.6
7.某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分) 的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，已知130～140分数段的人数为90，90～100分数段的人数为a，则下图所示程序框图的运算结果为(注：n！＝1×2×3×…×n，如5！＝1×2×3×4×5)(　 　)
A．800! B．810! C．811! D．812!

开始
n=1
s=1
n≤a
n=n+1
s=s﹒n
是
否
输出s
结束

8.下列命题正确的个数是（ ）
①已知复数，在复平面内对应的点位于第四象限；
②若是实数，则“”的充要条件是“”；
③命题P：“”的否定P：“”；
A．3 B．2 C．1 D．0
9.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是（ ）
A． B．
C． D．
10.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为，原点O到弦AP的长为d，则函数d＝f()的图像大致是(　 　)

第Ⅱ卷（共100分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
11．若点在直线上，其中则的最小值为 .
12．如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则·＝ .
13．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为 .
14．设函数在其图像上任意一点处的切线方程为，且,则不等式的解集为 ．
15．选作题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按第一题评阅计分。本题共5分。
A:（坐标系与参数方程）已知圆C的极坐标方程为，则圆心C的一个极坐标为 .
B:（不等式选讲）不等式的解集是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，A、B、C分别为三边所对的角，若，求的最大值.

17.（本小题满分12分）
甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制(先胜四局者获胜).若每一局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,现已赛完两局,乙暂时以2∶0领先.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；
(2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量X，求随机变量X的概率分布和数学期望EX.

18.（本小题满分12分）
在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD；
(2)求平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值.

19.（本小题满分12分）
已知数列满足：，且。
（1）求通项公式；
（2）求数列的前n项的和

20.（本小题满分13分）
已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，点G在椭圆C上，且，的面积为3.
（1）求椭圆C的方程：
（2）设椭圆的左、右顶点为A，B，过的直线与椭圆交于不同的两点M，N（不同于点A，B），探索直线AM，BN的交点能否在一条垂直于轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由。

21．（本小题满分14分）
已知函数，．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：．
2013-2014学年度第一学期期末联考
高三数学（理科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
A
C
C
B
C
B
D
二、填空题
11、 12、10 13、 4 14、
15、A: B:
三、解答题
16.解：（1）
，………………………………………………………………………3分
所以函数的最小正周期为.…………………………………………4分
由得
所以函数的单调递增区间为.……………………6分
（2）由可得，又，所以。…8分
由余弦定理可得，即又，所以，故，当且仅当，即时等号成立
因此的最大值为。………………………………………………………12分
17. (1)设甲获胜为事件A,则甲获胜包括甲以4∶2获胜和甲以4∶3获胜两种情况.
设甲以4∶2获胜为事件A1,则………………………………2分
设甲以4∶3获胜为事件A2,则………………5分
P(A)=. ………………………………………… 6分
(2)随机变量X可能的取值为4,5,6,7,
=.
.
.
.
X的概率分布为：
X
4
5
6
7
P

…………………………………12分
18.解:
(1)连接AB1交A1B与点E,连接DE,则B1C∥DE，则B1C∥平面A1BD……4分
(2)取A1C1中点F,D为AC中点,则DF⊥平面ABC,
又AB=BC,∴BD⊥AC,∴DF、DC、DB两两垂直,
建立如图所示空间直线坐标系D-xyz,则D(0,0,0), B(0,,0),A1(-1,0,3)
设平面A1BD的一个法向量为,

取，则，………………………8分
设平面A1DB与平面DBB1夹角的夹角为θ，平面DBB1的一个法向量为，………………………………………………10分
则
∴平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值为。…………………12分
19. 解：（1）当是奇数时，，所以，所以是首项为，公差为2的等差数列，因此。……………2分
当为偶数时，，所以，所以是首项为，公比为3的等比数列，因此。………………………………4分
综上…………………………………………………………………6分
（2）由（1）得…8分
……………………………………10分
所以……………………………………………………12分
20.解：（1）设，由于，所以，
根据，得，即，
因为的面积为３，，所以，
所以有，解得，所以，
所以椭圆才Ｃ的方程为。…………………………………………………5分
（２）由（１）知。
①当直线的斜率不存在时，直线：，直线与椭圆Ｃ的交点坐标，，此时直线，联立两直线方程，解得两直线的交点坐标（４，３）。它在垂直于轴的直线上。………………………………………7分
②当直线的斜率存在时，
设直线，代入椭圆Ｃ的方程，整理得，设直线与椭圆Ｃ的交点，则。
直线AM的方程为，即，
直线BN的方程为，即
由直线AM与直线BN的方程消去，得

所以直线AM与直线BN的交点在直线上。………………………………………12分
综上所述，直线AM，BN的交点必在一条垂直于轴的定直线上，这条直线的方程是。……………………………………………………………………………………13分
21.解(1)当时，函数，
则．
当时，，当时，1，
则函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，．……………………4分
(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．
设，则，令，得．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，取得最大值1，因而．…………………………………………8分
(3)，．
因为对任意的总存在，使得成立，
所以， 即，
即
．………………………………………………………………………12分
设，其中，则，因而在区间(0，1)上单调递增，，又．
所以，即．……………………………………………… 14分
·11·