全等三角形5.doc

初中数学专项训练：全等三角形
一、选择题
1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是

A．AB=AD B．AC平分∠BCD
C．AB=BD D．△BEC≌△DEC
2．如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是

A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
3．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=，CP，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是

A． B． C． D．
4．如图，在四边形中，对角线AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有【 】

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为【 】

A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
6．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是

A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
7．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1 , l2，l3之间的距离为2 ,则AC的长是（ ）

A． B． C． D．7

二、填空题
8．如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段　　　　．

9．如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是　 　。

10．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为　 　．（答案不唯一，只需填一个）

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．

12．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为　 　．

13．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线）

14．如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝118°，则∠A的大小是　 　。

15．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　 　（添加一个条件即可）．

16．如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是　 　（只写一个条件即可）．

17．（2013年浙江义乌4分）如图，已知∠B=∠C．添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是 ；

18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件　 　，使△ABC≌△DEF．

19．如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE=　 　．w W w . x K b 1.c o M

20．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=　 　．

21．如图，△ABD、△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=__________．

22．如图,四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，则S四边形ABCD＝　　　　　。

三、解答题
23．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．
求证：AB=CD．

24．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；
求证：BC=DC．

26．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．

（1）求证：△ABE≌DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数。
27．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．

28．如图，与关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE。
求证：FD=BE。

29．如图，已知线段AB。

（1）用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
（2）在（1）中所作的直线l上任意取两点M、N（线段AB的上方），连接AM、AN。BM、BN。
求证：∠MAN=∠MBN。
30．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建
一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要
求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.）

31．两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）

32．如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．
求证：∠A=∠B．

33．如图，在△ABC中，∠ACB=900， ∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．

（1）求证：DE=EF；
（2）连接CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A＋∠DGC．
34．如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．

35．如图，∠AOB=90°，OA=0B，直线经过点O,分别过A、B两点作AC⊥交于点C，BD⊥交于点D.
求证：AD=OD.

36．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 　，QE与QF的数量关系式　 　；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
37．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，
求证：AC=DF．

38．如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．

39．如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．

40．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3

（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
41．如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．

42．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D
在同一条直线上．求证：BD=CE．

43．如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求证：△ABC≌△AED．

44．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．

（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG的度数．
45．已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC=45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边上时，如图1所示，易证MF+FN=BE新| 课 |标 |第 |一 | 网

（1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．
（2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明）
46．如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是　 　．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．

47．如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．

48．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等. 那么在什么情况下，它们会全等?
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）.
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.
求证：△ABC≌△A1B1C1. （请你将下列证明过程补充完整）
证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1.
则∠BDC＝∠B1D1C1＝90°，
∵BC＝B1C1，∠C＝∠C1，
∴△BCD≌△B1C1D1，
∴BD＝B1D1.
______________________________。
（2）归纳与叙述：
由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.

49．有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A、B的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由.
方案一：小明想出了这样一个方法，如图①所示，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，测得DE的长就是AB的长. 你能说明一下这是为什么吗？
方案二：小军想出了这样一个方法，如图②所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A、B的点C，连结AC并延长到点D，使CD＝CA，连结BC并延长到E，使CE＝CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离. 你能说明一下这是为什么吗？

50．MN、PQ是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C等距离的B、E两处，这时他们分别从B、E两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A、D两点，他们的行走路线AB、DE平行吗？请说明你的理由.

初中数学专项训练：全等三角形参考答案
1．C
【解析】
试题分析：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，
∴AC平分∠BCD，平分∠BCD，BE=DE。∴∠BCE=∠DCE。
在Rt△BCE和Rt△DCE中，∵BE=DE，BC=DC，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）。
∴选项ABD都一定成立。故选C。
2．C
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定：
A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意。
故选C。
3．C
【解析】
试题分析：∵OP平分∠AOB，∠AOB=，∴∠AOP=∠POB=。
∵CP∥OA，∴∠OPC=∠AOP=。
又∵PE⊥OB，∴∠OPE=。∴∠CPE=∠OPC=。
∵CP=2，∴PE=。
又∵PD⊥OA，∴PD= PE=。∴OP=。
又∵点M是OP的中点，∴DM= OP=。
故选C。
4．C。
【解析】∵AB=AD，CB=CD，AC公用，∴△ABC≌△ADC（SSS）。
∴BAO=DAO，BCO=DCO。
∴△BAO≌△DAO（SAS），△BCO≌△DCO（SAS）。
∴全等三角形共有3对。故选C。
5．C。
【解析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项解析判断后利用排除法求解：
A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误；
B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误；
C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确；
D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误。
故选C。
6．B
【解析】
试题分析：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF。∴AF=CE。
A．∵在△ADF和△CBE中， ，∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误。
B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确。
C．∵在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误。
D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C。由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误。
故选B。
7．A
【解析】本题考查的是两平行线间的距离
过A作AE⊥于E，过C作CF⊥于F，求出∠AEB=∠CFB，∠EAB=∠CBF，根据AAS证△AEB≌△BFC，推出AE=BF=2，BE=CF=3，由勾股定理求出AB和BC，再由勾股定理求出AC即可．
过A作AE⊥于E，过C作CF⊥于F，

则∠AEF=∠CFB=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，
∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∵在△AEB和△BFC中

∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE=BF=2，BE=CF=2+1=3，
由勾股定理得：，
由勾股定理得：，
故选A.
8．AC=BD（答案不唯一）
【解析】
试题分析：利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可：
∵在△ABC和△BAD中，，
∴△ABC≌△BAD（AAS）。
∴AC=BD，AD=BC。
由此还可推出：OD=OC，AO=BO等（答案不唯一）。
9．。
【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E，则

∵∠A=Rt∠，BD是∠ABC的平分线，AD=3，
∴根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，得DE=3。
又∵BC=10，∴△BDC的面积是。
10．AC=CD（答案不唯一）。
【解析】∵∠BCE=∠ACD，∴∠ACB=∠DCE。
又∵BC=EC，
∴根据全等三角形的判定，若添加条件：AC=CD，则由SAS可判定△ABC≌△DEC；若添加条件：∠B=∠E，则由ASA可判定△ABC≌△DEC；若添加条件：∠A=∠D，则由AAS可判定△ABC≌△DEC。答案不唯一。
11．2
【解析】∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°。
∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）。
又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°。
∴Rt△DBE中，BE=2DE=2。
12．
【解析】
试题分析：如图，延长CF交AB于点G，

∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，
∴△AFG≌△AFC（ASA）。∴AC=AG，GF=CF。
又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线。
∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=。
13．AC=DF（答案不唯一）
【解析】
试题分析：由BF = CE，根据等量加等量，和相等，得BF＋FC = CE＋FC，即BC=EF；由AC∥DF，根据平行线的内错角相等的性质，得∠ACB=∠DFE，△ABC和△DEF中有一角一边对应相等，
∴根据全等三角形的判定，添加AC=DF，可由SAS得△ABC≌△DEF；添加∠B=∠E，可由ASA得△ABC≌△DEF；添加∠A=∠D，可由AAS得△ABC≌△DEF。
14．56°
【解析】
试题分析：∵∠BOC＝118°，∴∠OBC+∠OCB=62°。
又∵点O是△ABC的两条角平分线的交点，∴∠ABC+∠ACB=124°。
∴∠A=56°。
15．AE=AD（答案不唯一）。
【解析】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，则可以添加AE=AD，利用SAS来判定其全等；或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等；或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等。等（答案不唯一）。
16．∠B=∠C（答案不唯一）。
【解析】由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS、ASA进行全等的判定，答案不唯一：
添加，可由AAS判定△ABE≌△ACD；
添加AB=AC或DB=EC可由SAS判定△ABE≌△ACD；
添加∠ADC=∠AEB或∠BDC=∠CEB，可由ASA判定△ABE≌△ACD。　
17．AB=AC（答案不唯一）。
【解析】已知∠B=∠C．加上公共角∠A=∠A．要使△ABD≌△ACE，只要添加一条对应边相等即可。故可添加
AB=AC或AD=AE或BD=CE或BE=CD等，答案不唯一。
考点：开放型，全等三角形的判定。
18．AB=DE（答案不唯一）
【解析】
试题分析：可选择利用AAS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可：
∵BE=CF，∴BC=EF。
∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF。
∴在△ABC和△DEF中，已有一边一角对应相等。
∴添加AB=DE，可由SAS证明△ABC≌△DEF；添加∠BCA=∠F，可由ASA证明△ABC≌△DEF；添加∠A=∠D，可由AAS证明△ABC≌△DEF；等等。
19．2
【解析】
试题分析：如图，连接FD，

∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB=6，∠A=60°。
∵点D、E、F分别是等边△ABC三边的中点，AB=6，PB=1，
∴AD=BD=AF=3，DP=DB﹣PB=3﹣1=2，EF为△ABC的中位线。
∴EF∥AB，EF=AB=3，△ADF为等边三角形。∴∠FDA=60°，∴∠1+∠3=60°。
∵△PQF为等边三角形，∴∠2+∠3=60°，FP=FQ。∴∠1=∠2。
∵在△FDP和△FEQ中，FP=FQ，∠1=∠2，FD=FE，∴△FDP≌△FEQ（SAS）。∴DF=QE。
∵DF=2，∴QE=2。　
20．20
【解析】
试题分析：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，
∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=20，即x=20。
21．120°
【解析】本题主要考查全等三角形的判定(SAS)与性质:全等三角形的对应角相等.
∵△ABD、△ACE都是正三角形
∴AD=AB,AC=AE ∠DAB=∠CAE=60°
∴∠DAC=∠BAE
∴△ADC≌△ABE(SAS)
∴∠ADC=∠ABE
∴∠DAB=∠BOD=60°∠BOC=180-∠BOD=60°
22．25
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C=90°可得四边形AECF为矩形，则∠2+∠3=90°，而∠BAD=90°，根据等角的余角相等得∠1=∠2，加上∠AEB=∠AFD=90°和AB=AD，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的性质有AE=AF=5，S△ABE=S△ADF，则S四边形ABCD=S正方形AECF，然后根据正方形的面积公式计算即可．X| k |B| 1 . c| O |m
解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，
∵AE⊥BC，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠CFA=90°，
而∠C=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△ADF中
∠1=∠2，∠AEB=∠AFD，AB=AD
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF=5，S△ABE=S△ADF，
∴四边形AECF是边长为5的正方形，
∴S四边形ABCD=S正方形AECF=52=25．
故答案为25．
23．证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D。
∵在△AOB和△DOC中，∠B=∠C，OA=OD，∠A=∠D，
∴△AOB≌△DOC（SSA）。
∴AB=CD。
【解析】
试题分析：首先根据AB∥CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，结合OA=OD，可证明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD。
24．证明：∵∠BCE=∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即∠ACB=∠ECD。
在△ABC和△EDC中，
∵，
∴△ABC≌△EDC（ASA）。∴BC=DC
【解析】
试题分析：先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可。
25．解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。
（2）已知：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF。
求证：△ABC≌△DEF。
证明：如图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），
∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代换）。
又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），
∴∠B=∠E。
∴在△ABC与△DEF中，。
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
【解析】
试题分析：（1）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。
（2）根据三角形内角和定理和全等三角形的判断定理ASA来证明。
26．解（1）证明：∵在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（AAS）。
（2）∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC。
∴∠EBC=∠ECB。
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°。
【解析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等。
（2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可。
27．证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE。
∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD。
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS）。
∴BD=AE。
【解析】根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“SAS”证明△ACE和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明。
28．证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC。
∵AF=CE，∴OF=OE。
∵在△DOF和△BOE中，，
∴△DOF≌△BOE（SAS）。∴FD=BE。
【解析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可。
29．解：（1）作图如下：

（2）证明：根据题意作出图形如图，

∵点M、N在线段AB的垂直平分线l上，
∴AM=BM，AN=BN。
又 ∵MN=MN，∴△AMN≌△BMN（SSS）。
∴∠MAN=∠MBN。
【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质作图。
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，可得AM=BM，AN=BN。MN是公共边，从而SSS可证得△AMN≌△BMN，进而得到∠MAN=∠MBN的结论。
30．解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求。

【解析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P。
31．解：作出线段AB的垂直平分线；作出l1 l2和夹角的角的平分线。它们的交点即为所求作的点C（2个）。

【解析】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C。由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个。
32．证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC。
在△ACD和△BCE中，∵AD=BE，CD=CE．AC=BC，
∴△ACD≌△BCE（SSS）。
∴∠A=∠B。
【解析】
试题分析：根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可。
33．证明：（1）∵在△ABC中，∠ACB=900，点D为边AB的中点，
∴DC=DA（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）。
∵DE∥BC，∴AE=CE（平行线等分线段的性质），∠A=∠FCE（平行线的内错角相等）。
又∵∠AED=∠CEF（对顶角相等），∴△AED≌△CEF（ASA）。
∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。
（2）如图，∵在△ABC中，∠ACB=900，点D为边AB的中点，新 -课- 标-第 -一 -网

∴DC=DB（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）。
∴∠B=∠4（等边对等角）。
又∵DE∥BC，∴∠4=∠3，∠B=∠ADE。
∵DG⊥DC，∴∠2＋∠3=900，即∠2＋∠D=900。
∵∠ACB=900，∴∠A＋∠D=900。∴∠2=∠A。
∵CF∥AB，∴∠DGC=∠1。
∴∠B=∠ADE=∠2＋∠1=∠A＋∠DGC。
【解析】
试题分析：（1）通过由ASA证明△AED≌△CEF得出结论。
（2）如图，经过转换，将∠B转换成∠ADE，从而通过证明∠DGC=∠1和∠2=∠A得出结论。
34．证明：在△ABE和△ACD中，
∵，∴△ABE≌△ACD（AAS）。
∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）。
【解析】要证明BE=CD，把BE与CD分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用AAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等可得证。
35．证明： ∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°。
∵AC⊥，BD⊥， ∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠A+∠AOC=90°。∴∠A=∠BOD。
又∵OA=OB ， ∴△AOC≌△OBD（AAS）。
∴AC=OD。
【解析】由AAS证明△AOC≌△OBD即可得到AC=OD。
36．解：（1）AE∥BF，QE=QF。
（2）QE=QF，证明如下：
如图，延长FQ交AE于D，

∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ。
在△FBQ和△DAQ中，∵，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA）。∴QF=QD。
∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线。
∴QE=QF=QD，即QE=QF。
（3）（2）中的结论仍然成立。证明如下：
如图，延长EQ、FB交于D，

∵AE∥BF，∴∠1=∠D。
在△AQE和△BQD中，，
∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD。
∵BF⊥CP，∴FQ是斜边DE上的中线。∴QE=QF。
【解析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可。理由是：
如图，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ。
∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ。
在△BFQ和△AEQ中，，∴△BFQ≌△AEQ（AAS）。∴QE=QF。
（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可。
（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可。
37．证明：∵AB∥ED，∴∠B=∠E。
∵AC∥FD，∴∠ACB=∠DFE。
∵FB=CE，∴BC=EF。
∴△ABC≌△DEF（ASA）。∴AC=DF。
【解析】由已知和平行线的性质易根据ASA证明△ABC≌△DEF，从而根据全等三角形对应边相等的性质得出结论。
38．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+ECA=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE。
在△ABC和△DEC中，∵CD=CA，∠ACB=∠DCE，BC=EC，
∴△ABC≌△DEC（SAS）。∴DE=AB。
【解析】
试题分析：由已知证得∠ACB=∠DCE，从而根据三角形全等SAS的判定，证明△ABC≌△DEC，继而可得出结论。
39．解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM。
选择△AEM≌△ACN证明如下：
∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB。∴∠EAM=∠CAN。
∵在△AEM和△ACN中，∠E=∠C，AE=AC，∠EAM=∠CAN，
∴△AEM≌△CAN（ASA）。
【解析】
试题分析：找到两三角形全等的条件，三角形全等就写出来，选择一组证明即可。　
40．解：（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，
∴△ABN≌△ADN（ASA）。
∴BN=DN。
（2）∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB。
又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线。
∴CD=2MN=6。
∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41。
【解析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论。
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可。　
41．解：△ACE≌△BCD。理由如下：
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD=∠ACB=90°。
∴∠ACE=∠BCD（都是∠ACD的余角）。
在△ACE和△BCD中，∵CE=CD，∠ACE=∠BCD，CA=CB，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
【解析】
试题分析：根据等角的余角相等可得出∠ACE=∠BCD，结合CA=CB，CD=CE，可证明△ACE≌△BCD。　
42．证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD=AE，AB=AC。
又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC。w W w .x K b 1.c o M
∵在△ADB和△AEC中，，
∴△ADB≌△AEC（SAS）。∴BD=CE。
【解析】
试题分析：求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可。　
43．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD。
∵在△ABC和△AED中，∠C=∠D，∠BAC=∠EAD，AB=AE，
∴△ABC≌△AED（AAS）。
【解析】
试题分析：根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AB=AE，∠C=∠D可证明△ABC≌△AED。　
44．解：（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，
∴△CBF≌△DBG（SAS）。
∴CF=DG。
（2）∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG。
又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°。
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°。
【解析】
试题分析：（1）在△CBF和△DBG中，根据SAS即可证得两个三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可证得。
（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解。　
45．（1）不成立。猜想：FN﹣MF=BE。理由见解析
（2）MF﹣FN=BE。
【解析】
试题分析：（1）对结论作出否定，猜想FN﹣MF=BE，连接AD，根据M、N分别是DE、AE的中点，可得MN=AD，再根据题干条件证明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，结合MN=FN﹣MF，于是证明出猜想。
（1）不成立。猜想：FN﹣MF=BE。理由如下：
如图，连接AD，.

∵M、N分别是DE、AE的中点，∴MN=AD。
∵在△ACD与△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）。∴AD=BE。
∵MN=FN﹣MF，∴FN﹣MF=BE。
（2）结论：MF﹣FN=BE，证明如下：
连接AD，

∵M、N分别是DE、AE的中点，∴MN=AD。
∵在△ACD与△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）。∴AD=BE。∴MN=BE。
∵MN=FM﹣FN，∴MF﹣FN=BE。
46．解：（1）∠C=∠E。
（2）选∠C=∠E为条件，理由如下：
在△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠C=∠E，AB=AD，∴△ABC≌△ADE（AAS）。
【解析】
试题分析：（1）可以根据全等三角形的不同的判定方法选择添加不同的条件：
∵AB=AD，∠A=∠A，
∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，
若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，
若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC。
综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）。
（2）根据全等三角形的判定方法证明即可．
47． 证明：在△ADB和△BCA中，AD=BC，AC=BD，AB=BA，
∴△ADB≌△BCA（SSS）．
∴∠DBA=∠CAB．
∴AE=BE．
∴△EAB是等腰三角形．04869

【解析】 先用SSS证△ADB≌△BCA，得到∠DBA=∠CAB，利用等角对等边知AE=BE，从而证得△EAB是等腰三角形．

48．见解析
【解析】考查三角形全等的判定
本题考查的是全等三角形的判定，首先易证得△ADB≌△A1B1C1然后易证出△ABC≌△A1B1C1．
又∵AB＝A1B1，∠ADB＝∠A1D1B1＝90°，
∴△ADB≌△A1D1B1，
∴∠A＝∠A1，
又∵∠C＝∠C1，BC＝B1C1，
∴△ABC≌△A1B1C1
若△ABC、△A1B1C1