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工程光学习题解答
第十一章 光的干涉
1． 双缝间距为1mm,离观察屏1m,用钠光灯做光源，它发出两种波长的单色光和，问两种单色光的第十级亮条纹之间的间距是多少？
解：由题知两种波长光的条纹间距分别为

∴第十级亮纹间距
2． 在杨氏实验中，两小孔距离为1mm,观察屏离小孔的距离为50cm,当用一片折射率为1.58的透明薄片贴住其中一个小孔时（见图11-17），发现屏上的条纹系统移动了0.5场面，试决定试件厚度。

D
P
x

S2
S1
R1
R2
h
P0
图11-47 习题2 图

解：设厚度为，则前后光程差为

3． 一个长30mm的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定的干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了25个条纹，已知照明光波波长，空气折射率。试求注入气室内气体的折射率。
解：设气体折射率为，则光程差改变

4． ** 垂直入射的平面波通过折射率为n的玻璃板，投射光经投射会聚到焦点上。玻璃板的厚度沿着C点且垂直于图面（见图11-18）的直线发生光波波长量级的突变d，问d为多少时，焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。

C
图11-18

解：无突变时焦点光强为，有突变时为，设

又

5． 若光波的波长为，波长宽度为，相应的频率和频率宽度记为和，证明，对于的氦氖激光，波长宽度，求频率宽度和相干长度。

解：
对于

6． 直径为0.1mm的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm，双孔必须与灯相距离多少？
解：设钨灯波长为，则干涉孔径角
又∵横向相干宽度为
∴孔、灯相距 取
7． 在等倾干涉实验中，若照明光波的波长，平板的厚度，折射率，其下表面涂上某种高折射率介质（），问（1）在反射光方向观察到的圆条纹中心是暗还是亮？（2）由中心向外计算，第10个亮纹的半径是多少？（观察望远镜物镜的焦距为20cm）（3）第10个亮环处的条纹间距是多少？
解：（1），∴光在两板反射时均产生半波损失，对应的光程差为

∴中心条纹的干涉级数为

为整数，所以中心为一亮纹
（2）由中心向外，第N个亮纹的角半径为

半径为
（3）第十个亮纹处的条纹角间距为

∴间距为

8． 用氦氖激光照明迈克尔逊干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个暗环且中心是暗斑。然后移动反射镜，看到环条纹收缩，并且一一在中心消失了20环，此刻视场内只有10个暗环，试求（1）移动前中心暗斑的干涉级次（设干涉仪分光板不镀膜）；（2）移动后第5个暗环的角半径。
解：（1）设移动前暗斑的干涉级次为，则移动后中心级次为
移动前边缘暗纹级次为，对应角半径为
移动后边缘暗纹级次为，对应角半径

又∵ （条纹收缩，变小）

∴

（2）移动后

∴角半径

9． 在等倾干涉实验中，若平板的厚度和折射率分别是h=3mm和n=1.5,望远镜的视场角为，光的波长问通过望远镜能够看到几个亮纹？
解：设有N个亮纹，中心级次

最大角半径

∴可看到12条亮纹

10． 用等厚干涉条纹测量玻璃楔板的楔角时，在长达5cm的范围内共有15个亮纹，玻璃楔板的折射率n=1.52,所用光波波长求楔角。
解：
11． 土11-50所示的装置产生的等厚干涉条纹称牛顿环。证明，N和r分别表示第N个暗纹和对应的暗纹半径。为照明光波波长，R为球面
曲率半径。
h
R
C
O
图11-50 习题12图
r

证明：在O点空气层厚度为0，此处为一暗斑，设第N暗斑半径为，由图

又∵第N暗纹对应空气层

12． 试根据干涉条纹清晰度的条件（对应于光源中心和边缘点，观察点的光程差必须小于），证明在楔板表面观察等厚条纹时，光源的许可角度为=，其中h是观察点处楔板厚度，n和是板内外折射率。
证明：如图，扩展光源照明契板W，张角为，设中心点发出的光线在两表面反射交于P，则P点光程差为（为对应厚度），若板极薄时，由发出的光以角入射也交于P点附近，光程差（为折射角）

由干涉条纹许可清晰度条件，对于在P点光程差小于

∴许可角度 证毕。

13． 在图11-51中，长度为10cm的柱面透镜一端与平面玻璃相接触。另一端与平面玻璃相间隔0.1mm，透镜的曲率半径为1m。问：（1）在单色光垂直照射下看到的条纹形状怎样？（2）在透镜长度方向及于之垂直的方向上，由接触点向外计算，第N个暗条纹到接触点的距离是多少？设照明广博波长。
10cm
R=1m
高0.1mm

图11-51 习题14图

解：（1）沿轴方向为平行条纹，沿半径方向为间距增加的圆条纹，如图
（2）∵接触点光程差为 ∴为暗纹
沿轴方向，第N个暗纹有
∴距离
沿半径方向
14． 假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为和的两个单色光波，=+，且，这样，当平面镜M移动时，干涉条纹呈周期性地消失和再现，从而使条纹可见度作周期性变化，（1）试求条纹可见度随光程差的变化规律；（2）相继两次条纹消失时，平面镜M移动的距离h；（3）对于钠灯，设=589.0nm和=589.6nm均为单色光，求h的值。
解：（1）当的亮纹与的 亮纹重合时，太欧文可见度最好，与的亮暗纹重合时条纹消失，此时光程差相当于的整数倍和的半整数倍（反之亦然），即

式中假设，为附加光程差（未镀膜时为）
∴
当移动时干涉差增加1，所以

（1）（2）式相减，得到

（2）

15． 图11-52是用泰曼干涉仪测量气体折射率的示意图，其中D和D是两个长度为10cm的真空气室，端面分别与光束垂直。在观察到单色光照明（=589.3nm）产生的干涉条纹后，缓慢向气室D充氧气，最后发现条纹移动了92个，（1）计算氧气的折射率；（2）若测量条纹精度为条纹，求折射率的测量精度。

D1
I
M1
D2
II
图11-52 习题16图

解：（1）条纹移动92个，相当于光程差变化
设氧气折射率为， =1.000271
（2）若条纹测量误差为，周围折射率误差有

16． 红宝石激光棒两端面平行差为10，将其置于泰曼干涉仪的一支光路中，光波的波长为632.8nm,棒放入前，仪器调整为无干涉条纹，问应该看到间距多大的条纹？设红宝石棒的折射率n=1.76.
解：契角为，光经激光棒后偏转
∴两光波产生的条纹间距为

17． 将一个波长稍小于的光波与一个波长为的光波在F-P干涉上比较，当F-P干涉仪两镜面间距改变时，两光波的条纹就重合一次，试求未知光波的波长。
解：设附加相位变化，当两条纹重合时，光程差为，的整数倍，

在移动前
移动后

由上两式得
∴未知波长为
18． F-P标准具的间隔为，问对于的光，条纹系中心的干涉级是多少？如果照明光波包含波长和稍少于的两种光波，它们的环条纹距离为条纹间距，问未知光波的波长是多少？
解：若不考虑附加相位，则有

∴未知波长为
19． F-P标准具两镜面的间隔为，它产生的谱线的干涉环系中的第2环和第5环的半径分别是和，谱系的干涉环系中的第2环和第5环的半径分别是和。两谱线的平均波长为，求两谱线波长差。
解：设反射相位产生附加光程差，则对于有

若，（为整数），则第N个亮纹的干涉级数为
其角半径为
由（1）（2）得

又∵
∴第五环与第二环半径平方比为

同理
又
∴
20． 如图11-53所示，F-P标准具两镜面的间隔为，在其两侧各放一个焦距为的准直透镜和会聚透镜。直径为的光源（中心在光轴上）置于的焦平面上，光源为的单色光；空气折射率为1。（1）计算焦点处的干涉级次，在的焦面上能看到多少个亮条纹？其中半径最大条纹的干涉级和半径是多少？（2）若将一片折射率为1.5，厚为的透明薄片插入其间至一半位置，干涉环条纹应怎样变化？
透明薄片
观察屏
L2
L1
S
图11-53 习题21图

解：（1）忽略金属反射时相位变化，则

∴干涉级次为33938
光源经成像在观察屏上直径为，相应的张角，中心亮纹干涉级为，设可看到N个亮纹，则最亮纹干涉级次为，其入射角有

∴最外层亮纹级数为33920
∴可看到18个亮纹
（2）上下不同，所以有两套条纹，不同处即
上：
下： （以上对应中心条纹）
21． 在玻璃基片上（）涂镀硫化锌薄膜，入射光波长为，求正入射时给出最大反射比和最小反射比的膜厚及相应的反射比。
解：正入射时，反射比为

当时，反射率最大

对应
当时，反射率最小，
对应
22． 在玻璃基片上镀两层光学厚度为的介质薄膜，如果第一层的折射率为1.35，问为达到在正入射下膜系对全增透的目的，第二层薄膜的折射率应为多少？（玻璃基片折射率）
解：镀双层膜时，正入射
其中
令，则
23． 在玻璃基片（）上镀单层增透膜，膜层材料是氟化镁（），控制膜厚使得在正入射时对于波长的光给出最小反射比。试求这个单层膜在下列条件下的反射比：（1）波长，入射角；（2）波长，入射角。
解：（1）时，
代入式（11-67）有
（2）斜入射时，对分量有

可见对分量若令
分量令
则其形式与正入射时类似，因此可用于计算斜入射情形
当时，可求得

∴对分量
在角入射下，
将上述值代入（11-67）式有，
同理
因入射为自然光，所以反射率为
24. 图示为检测平板平行性的装置。已知光源有：白炽灯，钠灯
（ ，氦灯（　 ），透镜L1、L2的焦距均为100mm，待测平板Q的最大厚度为4mm， 折射率为1.5，平板到透镜L2的距离为300mm.
问：1）该检测装置应选择何种光源？
2）S到L1的距离？
3）光阑S的许可宽度？
（注：此问写出算式即可。）

1） 小，相干性好，故选氦灯。
2） 检测平板平行性的装置应为等厚干涉系统，故S到L1的距离为100mm，以使出射光成平行光，产生等厚干涉条纹。
3）光源角半径：

另一方面，由光源中心点与边缘点发出的光在P点产生的程差之差：

由此得：
所以光阑S的许可宽度为：

25. 法布里—珀罗（F-P）干涉仪两工作板的振幅反射系数，假设不考虑光在干涉仪两板内表面反射时的相位变化，问：
（1） 该干涉仪的最小分辨本领是多大？
（2）要能分辨开氢红线的双线，即 ，则F-P干涉仪的间隔h最小应为多大？
解（1） F-P干涉仪的分辨本领为

当r=0.9时，最小分辨本领（对应m=1)为

（2）要能分辨开氢红线的双线 ，即要求分辨本领为

由于A正比于m，所以相应的级次为

F-P干涉仪的间距应为：

26. 一个用于检验平板厚度均匀性的装置如图所示，光阑D用于限制平板上的受光面积，通过望远镜可以观察平板不同部位产生的干涉条纹（平板可相对光阑平移）。试讨论：
（1）平板从B处移到A处时，可看到有10个暗纹从中心冒出，问A、B两处对应的平板厚度差是多少？并决定哪端厚或薄？
（2）所用光源的光谱宽度为0.06nm，平均波长为600nm，问能检验多厚的平板（n=1.52）？

（1）由所给装置知这是一等倾干涉系统，因此条纹外冒，表明厚度h增加，故 ，厚度差：

2）当光程差 （相干长度）时，不能检测。

而

即

从而