安徽省芜湖市2012-2013学年高二数学上学期期中考试试题-理-新人教A版.doc

芜湖一中2012—2013学年第一学期期中考试
高二数学（理科）试卷
一、选择题（每小题3分，满分36分。）
1．已知平面和直线，则在平面内至少有一条直线与直线（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上都有可能
2．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有（ ）
A．k1<k3<k2
B．k3<k1<k2
C．k1<k2<k3
D．k3<k2<k1
3．若l、m、n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若∥β，，则∥n B．若⊥β，，则⊥β
C．若⊥n，m⊥n，则∥m D．若⊥， ∥β，则⊥β
4．将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为（ ）

5．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1
C． D．
7．抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是的概率依次是，则（ ）
A． B.
C. D.
8．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
9．在棱长为a的正方体内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，点在平面外，，，
、分别是和的中点，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
11．如图，是正方体的棱的中点，给出
下列四个命题：
①过点有且只有一条直线与直线都相交；
②过点有且只有一条直线与直线都垂直；
③过点有且只有一个平面与直线都相交；
④过点有且只有一个平面与直线都平行．
其中真命题是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D． ①②③

12．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可折叠），那么包装纸的最小边长为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题（每题4分，共16分）
13．已知球内接正方体的表面积为S，那么球的半径是 。
14．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为 。
15．如图，二面角的大小是60°，线段.，
与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .

第15题 第16题
16．如图，正方体，则下列四个命题：
①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；
②在直线上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③在直线上运动时，二面角的大小不变；
④M是平面上到点D和距离相等的点，则M点必在直线
上
其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）
芜湖一中2012—2013学年第一学期期中考试
高二数学（理科）答题卷
一、选择题（每小题3分，满分36分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

二、填空题（每题4分，共16分）
13． 14．
15． 16．
三、解答题（每题6分，共48分）

18．（8分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=120°，AC=CB=A1A=1，D1是A1B1上一动点(可
以与A1或B1重合），过D1和C1C的平面与AB交于D.
（Ⅰ）证明BC∥平面AB1C1；
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（Ⅱ）若D1为A1B1的中点，求三棱锥B1-C1AD1的体积；

19．（8分）如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点
（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M

20．（8分）四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形且。
D
C
B
A

（1）求证：；
（2）求二面角P－AB－D的大小。

21．（8分）如图，平面，，，，分别为的中点．
（I）证明：平面；
（II）求与平面所成角的正弦值．

22．（10分）如图，已知平行六面体的底面为正方形,,分别为上、下底面中心，且在底面ABCD上的射影为．
（1）求证：；
（2）若点E、F分别在棱、上，且，问F在何处时，？
（3）若,求二面角的正切值．

高二（理）答案
i. 选择题
ACDDA DADCB DA
二、填空题
①③④
三、 解答题
17、解答：（1）三类客车分别记为上、中、下．则有如下的基本事件：
①上-中-下；②上-下-中；③中-上-下；
④中-下-上；⑤下-上-中；⑥下-中-上．因此，基本事件总数为6个．
（2）小曹能乘上上等车的事件记为A，则A中包含上述事件中的：
③中-上-下；④中-下-上；⑤下-上-中，故P(A)=．

B
C
A1
B1
C1
D1
18、（Ⅰ）证明：依条件有CB∥C1B1，
又C1B1平面A B1C1，
CB平面A B1C1，
所以CB∥平面A B1C1.
（Ⅱ）解：
因为D为AB的中点，
依条件可知C1D⊥A1B1.
所以=
=×C1D1×(×A1A×D1B1)
= ××(×1×)=
19、（Ⅰ）解：∵C1D1∥A1B1
∴∠B1A1M即为直线A1M和C1D1所成的角
∴
(Ⅱ）证明:在四边形CC1B1B中，经计算：
B1M=,BM=;而B1B=2
∴MB⊥B1M;又∵A1B1⊥平面CC1B1B，MB平面CC1B1B
∴A1B1⊥MB,又∵B1M∩A1B1= B1
∴MB⊥平面A1B1M
又∵MB平面ABM；∴平面ABM⊥平面A1B1M。
21、解：（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD
（Ⅱ）在中，，所以
而DC平面ABC，，所以平面ABC
而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以
所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，
所以直线AD与平面ABE所成角是
在中， ，
所以
22、解．(1)平行六面体底面为正方形，∴//，∴ //，
又,分别为上下底面中心, //，//.
在底面ABCD射影为O，∴，，
又，．
(2)过E作AC垂线,垂足为G,则，∴，
若要,即,则需，底面ABCD图形为正方形,∴，
由,则，∴，∴F为BC的三等分点,靠近B．
(3) ,,过O作，连接BM，则， 是二面角的平面角
由得，∴为正三角形，
设，，，
在中，，
所以所求的二面角的正切值为．

10
用心 爱心 专心