二次根式知识点及习题.pdf

二次根式二次根式知识点一：知识点一：二次根式的概念二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意义。知识点三：二次根式知识点三：二次根式（）的非负性）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。知识点四：二次根式（知识点四：二次根式（）的性质的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：知识点六：与与的异同点的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：知识点七：二二次次根根式式的的性性质质和和最最简简二二次次根根式式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a0）、x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2 等（3）最终结果分母不含根号。知知识识点点八八：二二次次根根式式的的乘乘法法和和除除法法1.积的算数平方根的性质 ab=ab（a0，b0）2.乘法法则 ab=ab（a0，b0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。3.除法法则 ab=ab（a0，b0）二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。4.有理化根式。如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。知知识识点点九九：二二次次根根式式的的加加法法和和减减法法1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。知知识识点点十十：二二次次根根式式的的混混合合运运算算1 确定运算顺序 2 灵活运用运算定律 3 正确使用乘法公式 4 大多数分母有理化要及时 5 在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 知知识识点点十十一一：分分母母有有理理化化分母有理化有两种方法I.分母是单项式 如:a/b=ab/bb=ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式 如 1/ab=ab/(ab)(ab)=ab/ab 如图 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。“二次根式二次根式”经经典典练习题练习题【典型例题】一一.利用二次根式的双重非负性来解题利用二次根式的双重非负性来解题（a0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。0a）1.下列各式中一定是二次根式的是（）。A、；B、；C、；D、3x12x1x2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。（1）（2）（3）（4）（5）;2x121xxx2145xx1213xx（6）若，则 x 的取值范围是 （7）若，则 x 的取值范1)1(xxxx1313xxxx围是 。（7）注：（书写格式（4）由 5+x0 且 x+40 得 x5 且 x4当 x5 且 x4 时代数式在实数范围内有意义）45xx3.若有意义，则 m 能取的最小整数值是 13m4.若是一个正整数，则正整数 m 的最小值是_20m5.当 x 为何整数时，有最小整数值，这个最小整数值为 。1110 x6.若若，则，则=_=_20042005aaa22004a7若，则 433xxy yx8.设设 m、n 满足满足，则，则=。329922mmmnmn9.若适合关系式，求的值m35223199199xymxymxyxym10.若三角形的三边 a、b、c 满足=0，则第三边 c 的取值范围是 3442baa11.方程，当时，m 的取值范围是（）0|84|myxx0y A、B、C、D、10 m2m2m2m二利用二次根式的性质利用二次根式的性质=|a|=(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来来2a)0()0(0)(aaabaa解题解题1.已知x，则（）233xx 3xA.x0B.x3.x3D.3x02.已知 ab，化简二次根式的正确结果是（）ba3A B C Daba abaabaaba 3.若化简|1-x|-的结果为 2x-5 则 x 的取值范围是（）1682 xxA、x 为任意实数 B、1x4 C、x1 D、x4 4.已知 a，b，c 为三角形的三边，则=222)()()(acbacbcba5.当-3x5 时，化简=。25109622xxxx6、化简的结果是（）)0(|2yxxyxA B C Dxy2yyx 2y7、已知：=1，则的取值范围是（）。221aaaa A、；B、；C、或 1；D、0a1a0a1a8、把根号外的因式移入根号内，化简结果是（）。21)2(xxA、；B、；C、D、x22x2xx2三二次根式的化简与计算（三二次根式的化简与计算（二次根式的化简是二次根式运算中的基本要求，其主要依据是二次根式的积商算术 平 方根的性质及二次根式的性质：（）2=a（a0），即。）a|2aa1.把下列各式化成最简二次根式：（1）（2）（3）（4）833224041 2255m224yxx 2.下列各式中哪些是同类二次根式：（1），；（2），a752711225013101,533cba323cba4cabbca3.计算：（1）6 （2）；（3）)33(2749123aab accbba53654 （4）（5）（6）24182545321)(23522cabcba4.计算（1）2 （2）5051122183133)254414()3191(3323yyxxyyxx5已知，则 x 等于（）1018222xxxxA4 B2 C2 D46.已知，求的值。12,12yxxyxyxyyx33四二次根式的分母有理化四二次根式的分母有理化1 已知：，求的值。132x12 xx2.2.已知:x=，求代数式 3x25xy+3y2的值。2323,2323y3.2113214311009914.已知，试求的值。21915xxxx1519五关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题五关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1.估算2 的值（）31A在 1 和 2 之间 B在 2 和 3 之间 C在 3 和 4 之间 D在 4 和 5 之间2若的整数部分是 a，小数部分是 b，则 3ba33.已知 9+的小数部分分别是 a 和 b，求 ab3a+4b+8 的值13913与4.若 a，b 为有理数，且+=a+b，则 b=.818812a六二次根式的比较大小六二次根式的比较大小（1）（2）5 （3）（倒数法）3220051和566和13151517和二次根式提高测试题二次根式提高测试题一、选择题一、选择题1使有意义的的取值范围是（）131xxx2一个自然数的算术平方根为，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（0a a）（A）（B）（C）（D）1,1aa1,1aa221,1aa221,1aa3若，则等于（）0 x 2xx（A）0 （B）（C）（D）0 或2x2x2x4若，则化简得（）0,0ab3a b（A）（B）（C）（D）aaba abaabaab5若，则的结果为（）1ymy21yy（A）（B）（C）（D）22m 22m 2m 2m 6已知是实数，且，则与的大小关系是（）,a b222aabbbaab（A）（B）（C）（D）abababab7已知下列命题：；225252336；22333aaa 22abab其中正确的有（）（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个8若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则的值为（）246m234mm（A）（B）（C）（D）20351261381589当时，化简等于（）12a 21 4421aaa（A）2 （B）（C）（D）024aa10化简得（）2244123xxx（A）2 （B）（C）（D）44x244x二、填空题二、填空题11若的平方根是，则21x541_x12当时，式子有意义_x534xx13已知：最简二次根式与的被开方数相同，则4ab23a b_ab14若是的整数部分，是的小数部分，则，x8y8_x _y 15已知，且，则满足上式的整数对有_2009xy0 xy,x y16若，则11x 211_xx17若，且成立的条件是_ 0 xy 32x yxy x 18若，则等于_ 01x221144xxxx三、解答题三、解答题1 9计算下列各题：（1）；311520653 （2）32134273108.333aaaaaa20已知，求的值 200620070225522522a 24aa21已知是实数，且，求的值.yx,329922xxxyyx65 22若与互为相反数，求代数式的值.42 yx212 yx32341yyxx23若满足，求的最大值和最小值.abS、357,23abSabS