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核名图像处理Digital Image Processing 1第，、章小波图像编码28.1概述3*售小波变换离散小波变换售多分辨率分析和Mallat算法 Mat lab中常用小波基介绍售小波变换在图像编码中的应用48.2小波变换5一稳逡犊小波定义给定”()e Z2(R)私(%Hd 一“2(号)a.b R,q w 0称为连续小波或分析小波(Analyzing Wavelet)“叫基本小波或母小波(Mother Wavelet)。其中是伸缩因子，为平移因子。6一旗遑犊小波变换7定义.设匕J是连续小波则函数/(%)2(的连续小波变换:7基木波我允许小波定义设(x)e Z2(R)是连续小波且满足容许性条件:、R则(x)为一个基小波或允许小波。8允许小波的做质Ji-1.小波逆变换存在性令夕(X)是允许小波，对所有/(X),g(x)G Z2(/?)有:%/1)此获访当仍=&d且有/a)=gL(/)(,b)Wa,b(x)dadb9允许小波的辘质-JI-2.能量比例性令夕（X）是允许小波，对所有/（X）2 K 有：|/M2dx=-41（与/）3b）dadb上式为能量公式，在允许性条件下，小波变换幅度的平方 的积分与信号能量成正比。10允许小波的辘质3.正则性令(x)是允许小波，要求其前阶原点矩为零，且n 越大越好，即xpi/(x)dx=0R)=1,2,夕=，可直接由允许性条件验证，至于其他情况，能使上式 成立的越大越好.11小波变换的辘质1.线性性如果/(x)。(匕z/X。向，g(x)o(弓g)(a,b)则左 1/(%)+左2g(%)o 左i(%J)(a/)+左2(/J)(。/)12小波变换的辘质2.平移不变性如果 f x O（WJ 9,b 则 f x一1。）O（少/）（凡b-x0 13小波变换的辘质3.伸缩共变性如果则14小波变换的辘质-4.自相似性对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。5.冗余性(1)由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在-对应关系，而Fourier变换与反Fourier变换是一一对应的。(2)小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择(例如，非正交 小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。158.3离散小波变换16*定义尺度离散化：取一个合理的值即，使尺度因子只取。的整数嘉,即0 1 1 2/0 1,0?0 9*5 0 5 *,位移离散化：当尺度取为时，取位移力之0，各位移为距瓦。当。=说 时，取6=左4步0,其中劭1,40固定的。离散小波函数:*能（x）=|劭2-kbo）Kj GZ17离散小波变换j-定义离散小波变换:(4/)&；kb。)=L/(x)-kb(x)dx平 aQ夕底00 JR aQ夕雇00k,j GZ改变。和加勺大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。18离散小波变换-令：o=2,为=1时，尺度为2,，而位移为定义即：尺度为2,，而位移为则：二进离散小波:匕,女(%)=2一 2(2一弓_左)相应的小波变换记:19植架理他定义设%闫存在对/（X）H有:4/TZI_jeJ则%,称为一个框架如果力学，则框架为紧框架有：jeJ20植架理他-如果血.是框架框架算子定义有线性算子:称丁为框架算子/恒等算子AITT-设亍=T(T*T)T对偶框架圾的框架算子对偶框架算子可以得到:jeJ jJ238.4 多分辨率分析和Ma 11 at算法24令辨阜台折定义“R)中一系列嵌套函数子空间序列 匕,/=2,1,0,1,2若下列条件成立:(1)嵌套性：%u/W(2)稠密性：U=L2(R)jsz分立性：口匕=0jez(4)尺度性：/(X)匕=/(2-，X)右(5)Riesz基存在性:0外 且(x-k),k&z构成与的Riesz基则空间集合称为依尺度函数的多分辨率分析25小波台斛和/盘分解一个多分辨分析，%是匕J关于匕萌的补空间 则：2(R)=%=.*%*/斗 ksz对/(x)e2()/(X)=Z g左(%)=.+g_i(x)+g0(x)+gi(x)+.gk%26小波台斛和/盘分解令：fk(x)Tk则：fk(X)=gk-l(x)+g2(X)+fk(%)=gj(x)+i(x)双尺度方程=E PQx-n)nsz(x)=2X0(2x-)nsz27小波台斛和/盘分解由：推广得:0(2x)=Z。-2/(%)+b_2nli/(x-n)nZ0(2x 1)=Z 1-2“0(x )+b_2*(x-n)nZ0(2%-，)=Z(ai-2n/X )+b2Mx 一)zzeZ/=0，l,228小波台斛和/盘*分解由于人（幻腺。（2晨-力,x-7）分别是对应空间的Riesz基：所以 fk(x)=(k)(/)Qk x.y)jeZgk(x)=Z dj(k)wQk X-y)jeZ(a)29小波台斛和/盘分解九(%)二口(左+1)”1)I=，(左+1)为一2。(2比 X )+b2nWQk X-)I n=ai-2nCi(k+1)。(2人 x )+Z bl-2nCl(左+DWQ 无 1-)n I n I将a式代入 fk+i(x)=A(x)+gk(x)得：fk+i(x)=z g。(2 晨-)+WX(后)(2 X-H)=n nX Z*内(k+1)。(2%X )+X bl-2nCl*+1)(2左 x n)nn、小波台斛和9盘分解由于：以线性无关得分解算法:cn(k)=Z/2 72,(I)dn(k)=bl-2n C/(4+1)I分解算法示意图31小波台斛和/盘重建重 _人(x)+gk(X)=Z(左)0(2 无 X /)+Z 4(k)wQk x-l)I I=Z C/E PnOQg X 2/)+4 Z qn2k+lx-2l-n)I n I n=Z E C(k)Pn_2l+4(左)夕一2/)。(2-1 X )fk+i(x)=z。(*+1)0(21 x-n)=fk(x)+gk(x)n32-由于：以线性无关得重构算法:小波台斛和/盘重建cn(4+1)=Zn-2l5(k)+qn-21dl(k)小波重建示意图338.5 Mat lab中常用小波基介绍34停用小设备或介稔41-(7)不加小波1以(x)二 1 T00 x 21 1V x I2其 它尺度函数0 x I其它35停用小设备或介稔（2）OaxMe而a（乃小波系除dbl（Haar小波）,其余的db系列小波函数没有解析的表达式10-1此7小波函数10停用小设备撤介他(3)S什%d()小波系sym小波在保持db小波简单性的基础上提高了小波的对称性-1 石-0 5 10 0 5 10 0 5 10 1537停用小设备撤介他:（7）&疵乙犷小波族具有更长支集长度和更大消失矩,是对称性比较好的小波系疝阳尺度函数coif3小波函数coif3的小波尺度、小波函数和分解重构滤波器38停用小设备或介稔2|_7（7）加伊i成（面勿力 双正父小波系正交基与正交小波变换从数学角度上说是最理想的，但Daubechis 已经证明，除Haar基外，所有正交基都不具有对称性。这在图像编 码这类型失真的应用中，会引入相位失真，是很不理想的，因此希 望有对称性质的小波基。Cohen和Daubechies构造了一类具有紧支撑性和一定正则性的对称 双正交小波基，它的主要特性体现在具有线性相位性，主要应用在 信号与图像重构。39停用小设备或介稔（4）（/声双正交小波系bior2.4分解尺度函数 bior2.4分解小波函数bior2.4分解低逋滤波器bio24重构尺度函数 bior2.4重构小波函数bio24重构低通滤波器0.81-Q0.60.4 八-Q Q0.2bior2.4分解高通滤波器0.51-设匕六z是一个二维可分离的多分辨率分析，vj=VJVJ F其中六Z是(R)上的一个多分辨率 分析;，其7尺度7函数为,小波函数为，那么有相应于二 维的可分离的尺度函数。(兀歹)和三个可分离的方向敏感小波函数(X,7)(x,y)，为：451。(忆 y)=“(2)=(x)0(y)“(x,y)=O(x)(y)沿着不同的方向小波函数会有变化，度量沿着列变化(例如，水平边缘)，广度量沿着行变化(例如，垂直边缘)，“。则对应于 对角线方向。每个小波上的储示水平方向，俵示垂直方向，表示 对角线方向。464-由前的尺度和小波函数，定义一个伸缩和平移的基函数：j,m,n 0,P)=2 2。(27 X 一血,2,一)=%.(X)%,”()y/H j,m,n(x,y)=22/H Qj x-m,2Jy-n)=i/Jm(x)心(y)j.m,n(x,y)=2 2/(2/x 一 m,2J y-n)=(/)jm(x)匕,(j)甲 D j,m,n(x,y)=2J/2 I/D(2JX 一 利,2。一)=y/jm(x)(y)47-同一维一样，可得到分解算法：C k;m,nd晨l-2m,j-2nk+l;m,nIJ=Sb【c/.ul-2mJ-2nk+l;m,nIJ48*-令分解序列为上。_刀和电。数字图像小波分解数据流示意图49原始图像LHLL1HL1_、LL2HL2HL1LH2HH2LH1HH1ALH1HH1数字图像小波分解流程图50照生图像的，构同样，则重构算族:3k+l,m,n 2 Pm-2l,n-2 jCk;l,j+9加一2/,一2左;/,/IJ 2TCA2C%。以1C吸1T2数字图像小波分解数据流示意图令重构序列为LOR和工R51照生图像的台斛例-邺ISiab程序如下：I=imreaameraman.tif/tif);%读入并显示原始图像figure(l)；subplot(l 2 l);imshow(I);cal,chl,cvl,cdl=dwt2(I；db2,);%用,此2小波对图像进行一层小波解I2=cal,chl*4;cvl*4,cdl*4;%组成变换后的矩阵%图像不能反映实际情况，要作一些处理。min=min(I2(:);max=max(I2(:);subplot(l 22);imshow(I2,min,max);%显示变换后近似和细节图像X=idwt2(cal,chl,cvl,cdl；db2);%用 idwt2 作反变换rmes=compare(I,X)%反变换结果与原始图像比较52照生图像的台斛例二维小波一层分解图53照生图像的台斛例二维小波一层分解图54照生图像的台斛例多级二维小波变换结果55不同于Fourier分析，小波基不是唯一，显然选择最优的小 波基用于图像编码是一个非常困难的事，一般情况下需考虑以 下几个因素：小波基的正则性和消失矩；小波基的线性相位；要处理图像与小波基的相似性；小波函数的能量集中性；综合考虑压缩效率和计算复杂度。56*图像压缩中几种常用小波基双正交样条小波bior2.4N01334hn14145/6419/64-1/8-3/643/128/亚1/21/457双正交样条小波，接近正交性的N01334hn/410.6029490.266864-0.078223-0.0168640.026749hn/410.5575430.295636-0.028772-0.0456360584-双正交样条小波，接近正交性的bior4.4N01334hn1410.60.25-0.0500hn/yl17/2873/280-3/56-3/280059双正交样条小波(jpeg9.7)N01334hn/410.6029490.266864-0.078223-0.0168640.026749hn/y21.11510.59127-0.057544-0.091272060小波变换域小波东熬台折L小波变换的能量紧致性分析子图（M*N个像素）的能量定义为:61、小波变换减小波东熬台折Lena图小波系数统计分析表2.小波变换系数分析图号最大值最小值均值力主能量比层能量合计LL4213.40.8696.9272141.886.3192.01/4.36)2.561.07HL4109.0-113.94-0.142281.32.10LH4129.9-114.13-0.085374.92.81HH483.6-67.590.074105.80.79HL3167.3-131.52-0.191260.11.95LH3102.2-148.53-0.095248.51.86HH369.0-88.400.051474.030.55HL2139.2-117.460.097151.91.14LH2136.7-170.36-0.024138.31.04HH277.3-113.20-0.00151.30.38HL175.7-92.010.03757.80.43LH167.2-92.61-0.06158.30.43HH158.3-59.27-0.01127.90.2162小波变换域小波东熬台折2.小波变换系数分析第二层的高频系数分布情况第一层的高频系数分布情况第三层的高频系数分布情况各层小波系数分布图63小波变换域小波东熬台折小波系数规律：(1)随着分层数的增加，小波系数的范围越来越大，说明越往后 层次的小波系数越重要。(2)除LL4外，其他子带方差和能量明显减少，充分说明低频系数 在图像编码中的重要性。(3)对同一方向子带，按从高层到低层(从低频到高频)子带，有：HL4HL3-HL2fHL1,LH4一LH3-LH2LH1,HH4-HH3-HH2-HH1,大部分情况下其方差从大到小，有一定的 变换规则。(4)第一层中有90%的系数绝对值集中在0零附近。以上规律对图像压缩编码算法有很重要的指导意义64小波变换域小波东熬台折例无第一层小波系数重构图无第一，第二层小波系数重构图65直族闽值编码该对小波系数ZA在图像压缩中常用的阈值法为:8C(i,j)=0|c(512b 亿力3阈值化处理的关键问题是选择合适的阈值的选 取，如果阈值太小，压缩效果不明显，阈值太大，压缩图像重构就是丢失很多细节，产生模糊66直族闽值编码该-小波变换系数的二种阈值方法:对所有子带用一个全局阈值；卷 对各子带分别用不同的阈值；67直横闽值编鸠法例原始图像全局化阈值压缩图像，阈值=9.55010015020025050 100 150 200 250能量成分99.9533%零系数成分46.4874%(b)分层阈值化压缩图像5010015020025050 100 150 200 250能量成分94 8538%零系数成分93.7287%(d)68基寸小波树辂构的兵重量也依人眼视觉系统是对高频分量不敏感，而对低频分量反应很敏感。根据这一特点，在压缩时应尽量降低低频分量的失真，即在量化编码的码率分配时，低频区码率相对高，高频区码率相对低,8bpp 标准量化2bpp N=256 大小4X4 矢量量化水平方向 0.5bpp 从=25 6 大小4X4 矢量量化2bpp 2256 大小2X2 矢量量化0.5bpp由25 6 大小2X2 矢量量化垂直方向 0.5bpp 用256 大小4X4 矢量量化对角方向 Obpp二级小波分解和矢量量化位率分配图69基孑小波树辂构的泰羹重也任前面章节已经指出若对图像进行L层分解，其变换系数有以下几个特点：(1)图像的能量主要集中在低频的LL子带上。(2)子带LH,HL,HH表现出明显的方向性，它们分别代表水平、垂直和对 角方向的边沿或纹理信号。(3)各子带的相应位置的系数有明显的相关性。70基寸小波树错相的次量量也位*例矢量量化结果71城八式小波察树编鸠*二(1)零树表示小波系数分三种情形:零树根；孤立零；重要系数。72城八式小波察树编鸠系数编码时的扫描顺序图73输入小波系数-是重要系数吗-数是正的？31yt POS NEG IZn（延逆二可预物要系数数的崭 重要口*ZTR系数编码的流程图74城八式小波察树编鸠（2）逐次逼近量化逐次逼近量化是逐次使用阈值序列,T,心以决定 重要系数，其中阈值序列的选取是后/2,而最初的阈值7；的 选择使得对所有系数4有I芍|v27；,且72。75城八式小波察树编鸠*简单例子考虑8 X 8图像的3尺度小波变换63-344910713-127-312314-13346-115143-125-739-9-7-1484-232-59-14746-2230-323-2042-36-436365115603-4476城八式小波察树编鸠简单例子01=32的编码过程子带系数值重构值子带系数值重构值LL363POS48LH2-9ZTR0HL3-34NEG-48LH2-7ZTR0LH3-31IZ0HL17Z0HH323ZTR0HL113Z0HL249POS48HL13Z0HL210ZTR0HL14Z0HL214ZTR0LH1-1Z0HL2-13ZTR0LH147POS48LH215ZTR0LH1-3Z0LH214IZ0LH12Z077城八式小波察树编鸠*简单例子副表与重构值系数值重构值63116034003649105247014478城八式小波察树编鸠_ 简单例子经一次扫描后,数据剩余图，可继续进行第二次扫描32-310713-127-312314-13346-115143-125-739-9-7-1484-232-59-1346-2230-323-2042-36-436365115603-4479