2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷-含答案).doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
文科数学
注意事项:
1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.
2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(共50分)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设全集为R, 函数的定义域为M，则为
(A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (D)

2. 已知向量，若a//b，则实数m等于
(A) (B)
(C) 或 (D) 0

3. 设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)

输入x
If x≤50 Then
y = 0.5 * x
Else
y = 25 + 0.6*(x-50)
End If
输出y
4. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为
(A) 25
(B) 30
(C) 31
(D) 61

4. 对一批产品的长度(单位: 毫米)进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取1件, 则其为二等品的概率为

(A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45
6. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是
(A) 若, 则z是实数 (B) 若, 则z是虚数
(C) 若z是虚数, 则 (D) 若z是纯虚数, 则
7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为
(A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 2
8. 已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是
(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定
9 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为
(A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x,有
(A) [－x] =－[x] (B) [x + ] = [x]
(C) [2x] = 2[x] (D)

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 双曲线的离心率为 .
12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .
13. 观察下列等式:

…
照此规律, 第n个等式可为 .
14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m).

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题评分)
A. (不等式选做题) 设a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式的解集是 .

B. (几何证明选做题) 如图, AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知, PD = 2DA = 2, 则PE = .

C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标是 .
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16. (本小题满分12分)
已知向量, 设函数.
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.

17. (本小题满分12分)
设Sn表示数列的前n项和.
(Ⅰ) 若为等差数列, 推导Sn的计算公式;
(Ⅱ) 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列.

18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.

19. (本小题满分12分)
有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数

6

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.

20. (本小题满分13分)
已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

21. (本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.
(Ⅲ) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.

答案：
1.B 2. C 3. B 4. C 5. D 6. C 7. A 8. B 9. A 10. D
11.
12.
13.
14. 20
15. (－∞,﹢∞)
B
C (1, 0)
16【解】=。
最小正周期。
所以最小正周期为。
(Ⅱ) .
.
所以，f (x) 在上的最大值和最小值分别为.
17【解】(Ⅰ) 设公差为d,则
.
(Ⅱ) 。

.
所以,是首项,公比的等比数列。

18【解】 (Ⅰ) 设.
.

.(证毕)
(Ⅱ) .
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
所以，.
19【解】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。
从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。
(Ⅱ) A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·
B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·
现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率.
所以，从A,B两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为.
20.【解】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则
.
所以，动点M的轨迹为 椭圆，方程为
(Ⅱ) P(0, 3), 设
椭圆经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。.联立椭圆和直线方程，整理得：

所以，直线m的斜率
21. 【答案】(Ⅰ) y = x+ 1.
当m 时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m 有2个公共点；
(Ⅲ) >
(Ⅱ) (Ⅰ) f (x)的反函数,则y=g(x)过点（1,0）的切线斜率k=.
.过点（1,0）的切线方程为：y = x+ 1
(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点，过程如下。

因此，
所以，曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕）
(Ⅲ) 设

令。
，且
。

6