全国1997年初中数学联合竞赛试题(含解析).doc

全国1997年初中数学联合竞赛试题（含解析）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1．下述四个命题
(1)一个数的倒数等于自身，那么这个数是1；(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
(3)a2的平方根是±｜a｜ ；(4)大于直角的角一定是钝角
其中错误的命题有（ ）
A．1个 B 2个 C．3个 D．4个
2.已知,则满足上述条件的整数x的个数是（ ）
A．4. B．5 C．6 D．7

3．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2=9，代数式（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2的最大值是（ ）
A．27 B．18 C．15 D．12

4．给定平面上n个点，已知1，2，4，8，16，32都是其中两点之间的距离，那么点数n的最小可能值是（ ）
A．4. B．5. C．6 D．7

5．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF之值为（ ）
A.4 B. C.5 D.6.

6．如图：已知∠A=∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，
AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP＋PB等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
7．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面
积是_______．

8．当a取遍0到5的所有实数值时，满足3b＝a（3a－8）的整数b的个数是______．

9.若a,b满足,则的取值范围是______________.

10．若正整数x，y满足方程x2＋y2＝1997，则x＋y等于______．

第二试

一、（本题满分20分）
设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，
延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC.
试证：BC⊥BD，且BC=BD．

二、（本题满分25分）
已知a，b为整数，且a＞b，方程3x2＋3（a＋b）x＋4ab＝0的两个根α，β满足关系式α（α＋1）＋β（β＋1）＝（α＋1）（β＋1），试求所有的整数点对（a，b）．

三、（本题满分25分）
已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a＋5b＝c，则a＋b＋c是整数n的倍数”．试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．

一、选择题
1．下述四个命题
(1)一个数的倒数等于自身，那么这个数是1；(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
(3)a2的平方根是±｜a｜； (4)大于直角的角一定是钝角。其中错误的命题有（ ）
A．1个 B 2个 C．3个 D．4个

2.已知,则满足上述条件的整数x的个数是（ ）
A．4. B．5 C．6 D．7

3．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2=9，代数式（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2的最大值是（ ）
A．27 B．18 C．15 D．12

4．给定平面上n个点，已知1，2，4，8，16，32都是其中两点之间的距离，那么点数n的最小可能值是（ ）
A．4. B．5. C．6 D．7

5．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，已知B＝7，MN＝3，则EF之值为（ ）
A.4 B. C.5 D.6.

6．如图：已知∠A=∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP＋PB等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15

二、填空题
7．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面
积是_______．

8．当a取遍0到5的所有实数值时，满足3b＝a（3a－8）的整数b的个数是______．

9.若a,b满足,则的取值范围是______________.

10．若正整数x，y满足方程x2＋y2＝1997，则x＋y等于______．
，
29+34=63.

第 二 试
一、设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，
延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC.
试证：BC⊥BD，且BC=BD．

二、已知a，b为整数，且a＞b，方程3x2＋3（a＋b）x＋4ab＝0的两个根α，β满足关系式α（α＋1）
＋β（β＋1）＝（α＋1）（β＋1），试求所有的整数点对（a，b）．

三、已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a＋5b＝c，则a＋b＋c是整数n的倍数”．试
问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．