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合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）
双负媒质宽频电磁散射特性分析
摘 要

近年来，双负媒质材料的研究成为研究合成材料的热点。鉴于其异于传统媒质的典型特性，其应用十分广泛。在信息化的今天，快速计算双负媒质散射体的电磁散射特性，对实现双负媒质的宽频带的电磁散射特性分析很有现实意义和价值。本文首先介绍双负媒质的研究背景与意义。然后介绍PMCHWT方程推导过程和矩量法的基本理论，阐述渐近波形估计技术的基本理论。最后从双负媒质的本构关系出发，应用电磁辐射理论，推导出双负媒质的PMCHWT方程，从而解出单频率入射波下的电流和雷达散射截面。由于双负媒质的阻抗元素是波数的复杂函数，对阻抗元素进行直接求导、而高阶求导却无法实现，因此利用组合以及复合函数的求导思想实现了阻抗元素高阶导数的求导，将渐近波形估计技术应用于双负媒质的宽频电磁计算领域。计算实例结果表明，渐近波形估计技术不仅在感兴趣的频段内能很好逼近矩量法逐点求解的结果，而且在计算效率上也大大提高。
关键词：双负媒质；雷达散射截面；渐近波形估计；Drude模型；PMCHWT方程。

ABSTRACT

In recent years, the research of double negative (DNG) meta-material becomes one of the hottest topics in composition materials. Based on its typical characteristics different from traditional materials, the application of DNG meta-material is very wide. Following the development of information techniques, rapid computing double negative medium scattering the electromagnetism scatter of body characteristic and the realization of double negative medium the electromagnetic scattering of broadband is very practical significance and value. This paper first introduces the research background and significance of double negative medium. Then introduce the process of PMCHWT equation derivation and to explain the basic theory of method of moments and asymptotic waveform evaluation technique. Finally, from the double negative media on the constitutive relation, apply electromagnetic radiation theory to deduce the PMCHWT equation of double negative medium, thus solve the current and the radar cross section under the single-frequency incident wave. Owing to the impedance element of double negative medium is the complex function of wave numberand the higher order derivative of impedance element can not achieve directly, using the ideology of combinational and composite functions to realize it, asymptotic waveform evaluation technique is applied to the broadband electromagnetic computing realm of double negative medium. The results of living examples of calculation show that not only asymptotic waveform evaluation technique is easy to approach the point-by-point solving of method of moment in the interested band of frequency but also the computational efficiency is improved enormously.
Key words: Double-Negative medium; Radar Cross Section; Asymptotic Waveform Evaluation;
Drude model; PMCHWT equation

目 录

1 绪论 1
1.1 课题研究背景及意义 1
1.2 国内外研究现状及趋势 1
1.3 本文主要工作安排 3
2 基本理论知识 4
2.1 雷达及雷达散射截面 4
2.1.1 雷达 4
2.1.2 雷达散射截面 4
2.2 双负媒质材料的电磁特性 5
2.3 PMCHWT方程理论介绍 8
2.4 矩量法的基本理论 10
2.5 渐近波形估计技术的基本理论 12
2.5.1宽频电磁散射的意义 12
2.5.2 渐近波形估计技术基本原理 13
3 双负媒质宽频电磁散射分析 19
3.1 双负煤质的PMCHWT方程 19
3.2 双负媒质AWE 技术的理论推导 20
3.3 二维散射体阻抗矩阵及阻抗元素求导 21
3.4 计算实例与分析 23
4 总结与展望 28
参考文献 29

1 绪论
1.1 课题研究背景及意义
随着社会的发展，人们对新型材料的渴求越来越强，近年来,双负材料的研究已成为科研的热点。双负媒质又称为左手材料媒质或负折射率媒质，是介电系数和磁导系数均为负值的介质材料。。双负媒质有极其奇妙的特性，这也是双负媒质备受学术届关注的原因。例如双负媒质的反多普勒效应、反契仑科夫辐射、负折射效应、电磁聚集效应和反Goos-
Hanchen位移等常规材料无法具有的特性【1】。正是这些特性才使得学术届有一大批人对这种新型的人工复合材料产生了极大的兴趣。由于双负媒质材料奇特的物理性质和人们日常生活中碰到的右手材料有很大区别，因此，对双负媒质特性的研究，是一项具有挑战性的研究课题，具有重要的理论意义和广阔的应用前景。
双负媒质非常奇异的电磁特性,在军事和民用领域有着广泛的应用前景。双负媒质材料又称为完美透镜材料，在隐身技术和反隐身技术研究领域及其重要，因此研究双负媒质的电磁散射特性是极有价值和意义的。在信息化今天，快速的计算双负媒质散射体的电磁散射特性，实现双负媒质的宽带电磁散射特性分析很有现实意义和实用价值,为新型宽带带隐身材料的研究提供理论指导。
双负媒质已经成为当今电磁学领域，光电子学领域和材料学等领域研究的热点课题之一。基于双负媒质奇特的性质和研究价值，揭示双负媒质的物理本质和规律是极其有必要和价值的。对双负媒质展开基础性的研究、揭露其基本性质能极大拓展与深化人们对客观世界的认识。双负媒质的应用必将对未来科学技术、经济社会的发展产生极其重大影响。随着技术和经济的发展，在目标探测和目标识别中对信号的信带宽度提出了更高的要求，只有更宽的信带才能携带更多的而且丰富的目标信息，因此宽带计算和快速算法更有必要被提出。利用宽带快速算法对双负媒质散射体快速计算更有必要而且有极其重要的意义。
1.2 国内外研究现状及趋势
前苏联科学家Veselago【1】1968年发表文章指出，介电系数和磁导系数均为负的介质将具有不同寻常的电磁特性，如：反多普勒效应（reversed Doppler effect）、反斯涅耳定律（reversed Snell refraction）以及反契仑科夫辐射（reversed Cherenkov radiation）等。当电磁波在这种介质中传播时，电场、磁场和波矢遵从左手法则，波矢方向和能流密度传播方向相反，由此导致了光的反折射、反Doppler效应、反Cherenkov辐射和反辐射光压等一些反常的物理现象。因在该种物质中电磁波传播时电场、磁场、和波矢量成左手关系，则这种物质又称为左手物质（Left-Hand Material, LHM）。由于自然界并不存在双负媒质，因此Veselago的理论预言在随后的30年里没有得到重视。1999年Pendry【2】等人预言利用人造复合材料和金属线阵列组合起来就能够制造出双负性材料。2001年Smith【3】等人根据Pendry的研究结果，用细金属导线阵列和开路环谐振（Split-RingResonator ,
SRR）阵列构造出了介电系数与磁导系数同时为负的人工介质，这一发现引起了人们极大的关注，特别是2001年世界权威杂志<<Science>>杂志发表了实验证实双负材料存在的文章后，国际学术界关于此问题的理论和实验研究十分活跃。在2003 年，双负媒质<<Science
>> 杂志评为世界上的十大科学技术。2004年，“973”光子晶体项目首席科学家、复旦大学的资剑教授领导的研究小组经过两年的研究与巧妙设计，利用水的表面波散射成功实现了左手介质超平面成像实验，该论文发表于著名的《美国物理评论》杂志上，即刻引起学术界的高度关注，被推荐作为《自然》杂志焦点新闻之一。在2006 年，“超材料隐身斗篷”再一次被评为世界上十大科学技术突破。在2007 年度，双负媒质又被国际材料界权威性综述杂志，<<Materials Today>>评选为材料科学技术领域在过去的50 年间的十大进展。2009年初，美国杜克大学和中国东南大学合作，成功研制出微波段新型“隐形衣”，这一研究成果发表在《科学》杂志上。 2009年11月，东南大学毫米波国家重点实验室以崔铁军和程强为首的研究团队成功地制作出人造电磁学收集器，在微波环境中，它能够像宇宙中的“黑洞”一样去吸收环境中的微波。该成果引起了世界科技界的高度关注，10月15日，《自然》网站也以“科学家研制出可携带黑洞”为题介绍了这项研究成果。目前，电磁波在双负材料中的传播特性已经被许多研究工作者广泛探索并得到了许多新成果[4-6]，为新型材料的探究和应用上开辟了一个全新的领域，双负媒质正推动着新型材料研究的技术革新。
　左手材料的巨大应用前景源于它的制造实现。Pendry在2000年就曾建议制作“超级透镜”（也称理想棱镜）以实现左手材料的应用，这一建议在2004年被变成了现实，科学家利用左手材料已经成功制造出平板微波透镜。2004年2月，俄罗斯莫斯科理论与应用电磁学研究所的物理学家宣布他们研制成功一种具有超级分辨率的镜片，但是他们的技术要求被观察的物体几乎接触到镜片，这一前提使其在实际应用中难以操作。同年，加拿大多伦多大学的科学家制造出一种左手镜片，其工作原理与具有微波波长的射线有关，这种射线在电磁波频谱中的位置紧邻无线电波。两国科学家的研究成果获得科学界的高度赞赏，被美国物理学会评为2004年度国际物理学会最具影响的研究进展。根据双负媒质材料不同凡响的特性，科学家已预言可以应用于通讯系统以及资料储存媒介的设计上，用来制造更小的移动电话或者是容量更大的储存媒体；等效的负折射媒质电路可以有效减少器件的尺寸，拓宽频带，改善器件的性能。未来，左手材料将会在无线通信等方面中起到不可忽略的作用。

1.3 本文主要工作安排
研究双负媒质宽频电磁散射特性是本文的重点，其主要工作安排如下：
首先，主要阐述本文研究背景、意义，国内外研究现状及趋势；其次，介绍雷达及雷达散射截面，推导PMCHWT方程 ，阐述矩量法的基本概念及其相关的知识，介绍渐近波形估计（AWE）技术的基本原理及理论推导过程；最后，推导双负媒质体的PMCHWT方程，由于双负媒质的求导过程比较复杂，通过数学处理，将AWE 技术应用于双负媒质散射体的宽频散射特性分析；对全文进行总结指出不足之处和今后将要继续努力研究的方向。

2 基本理论知识
2.1 雷达及雷达散射截面
2.1.1 雷达
雷达（Radio Detection And Ranging，简写为RADAR）为无线电监测和测距的电子设备，形成于20世纪初。各种雷达的具体用途和结构不尽相同，但基本形式是一致的，包括:发射机、发射天线、接收机、接收天线，处理部分以及显示器，还有电源设备、数据录取设备、抗干扰设备等辅助设备。雷达的工作原理是发射机通过天线把电磁波能量射向空间某一方向，处在此方向上的物体反射碰到的电磁波，雷达天线接收此反射波，送至接收设备进行处理，提取有关该物体的某些信息，从而确定目标物体的大小、位置、运动速度等。
雷达的优点是白天黑夜均能探测远距离的目标，且不受云、雾、雨的阻挡，具有全天候的特点，并有一定的穿透能力。因此，它不仅成为军事上必不可少的电子装备，而且广泛应用于社会经济发展(如气象预报、资源探测、环境监测等)和科学研究(如天体研究、大气物理、电离层结构研究等)。星载和机载合成孔径雷达已经成为当今遥感中十分重要的传感器。以地面为目标的雷达可以探测地面的精确形状，其空间分辨力可达几米到几十米，且与距离无关。雷达在洪水监测、海水监测、土壤湿度调查、森林资源清查、地质调查等方面显示了很好的应用潜力。
2.1.2 雷达散射截面
从某种意义上说雷达目标散射特性是雷达系统中很重要的环节。为了定量描述散射体目标的电磁散射的强弱，人们定义了雷达散射截面（Radar Cross Section，简写为RCS），用符号表示。
σ的定义[7]是:
（2-1-1）
式中、分别为接收天线处散射波的电场强度和磁场强度，、分别为入射雷达波在目标处的电场强度和磁场强度,是具有面积的量纲(㎡)。
RCS是表征散射目标对入射电磁波散射能力的一个物理量。在现在战争中，隐身技术和反隐身技术最重要的技术之一。尽可能降低散射的RCS是各种隐身技术的最终目的，使目标被发现的可能性尽可能低，以增强武器的突防能力、战场生存能力和确保战争中先敌发现、先敌攻击的能力；另一方面，为了应对隐身武器的威慑力，各国都积极参与研究探测隐身目标的能力，对隐身目标的探测是新型雷达研制的重要指标。连接隐身技术与反隐身技术的桥梁就是研究目标的电磁散射特性。双负媒质就是一种具有隐身性能的人工复合材料。
复杂目标电磁散射特性研究是一项重要的雷达共性技术基础研究，它是隐身、反隐身，雷达系统设计与雷达目标识别以及作战仿真等的基础。由于雷达工作在微波频段，常见的军用目标如导弹、飞机等除外形复杂之外，电大尺寸所导致的未知量数目的增多也加大了分析的复杂度。所以，如何高效求解这类复杂目标的电磁散射特性是从事雷达总体设计和隐身与反隐身研究者们所关心的共同问题。复杂目标电磁散射的高效求解包含两方面的含义。一，能够在有限的计算机资源条件下实现目标散射特性的精确建模与计算，计算结果应与测量值吻合，具有较高的精度。二，在上述条件下，实现较快速的分析与计算。
综上所述，研究双负媒质的电磁散射特性以及分析双负媒质目标在宽带带的RCS回应具有重要的现实意义。
2.2 双负媒质材料的电磁特性

第二象限
第一象限
第三象限
第四象限
普通材料
等离子体及金属
双负媒质
铁氧体材料
（磁性材料）
图2-1 物质材料分布示意图

根据介电常数和磁导率取值不同，从理论上可把物质世界的材料划分为四类，如图2-1所示。

物质世界中绝大部分材料都分布在第一象限，其中ε>0，μ>0；而位于第二象限的则是等离子体及金属，这类材料ε<0，μ>0；第四象限是铁氧体材料，在其铁磁谐振频率附近ε>0，μ<0；第二象限、第四象限材料的折射率是一个虚数，其中、分别是相对介电系数和磁导率。由于折射率小于零，所以电磁波不能在这类材料中传播。第三象限材料折射率为实数，与普通材料相似，因此电磁波可以在这类材料中传播并表现出与第一象限材料不同的奇特的物理特性。
普通物理和电动力学课程中对第一象限、第二象限、第四象限中的材料都有相关说明，现从麦克斯韦方程及媒质的本构关系出发研究第三象限材料的电磁回应现象。首先考虑平面波入射到双负媒质上，因平面单色波满足各向同性媒质传播的无源麦克斯韦方程组和媒质的本构关系方程：
（2-2-1）
其中、为媒质在真空中的介电常数和磁导率，、为相对介电常数和相对磁导率。
单频率的平面波电场和磁场方程为：
（2-2-2）
把式（2-3）代入式（2-2），可以得出
（2-2-3）当波数满足色散方程：
（2-2-4）
此时式（2-2-3）有非零解。
时变电磁场中能量传播方向由坡印廷矢量的方向来确定，由坡印廷定理[8]得
（2-2-5）
均匀平面波，波数k为实数，若媒质中能传输电磁波，必须满足,因此处于第一象限的材料（即普通材料）可以传输电磁波。、电场强度、磁场强度 、电磁波的波数 三者构成右手螺旋关系，即右手关系，如图2-2所示，所以普通材料又称为右手材料。 而处于第三项限的双负媒质材料，其，同样满足色散关系式（2-2-4），在这种情况下也能传播电磁波。此时，电场强度、磁场强度 、电磁波的波数 三者构成左手螺旋关系，即左手关系，则称双负媒质材料为左手材料，如图2-3所示。左手媒质材料中的波数与坡印廷矢量的方向相反，也就是相速度和群速度相反。依据这一性质，左手材料媒质又称为后向传输媒质。

图 2-3 左手关系

图 2-2 右手关系

假设一束单色的平面波照射到双负媒质的界面上，如图2-4 所示：

煤质一
煤质二

图2-4 双负媒质材料和右手材料的反射和折射

已知双负媒质的介电常数和磁导率的值时，可由斯涅尔定律[9]得：
（2-2-6）
当光波1从媒质一入射到媒质一和媒质二的交接面处时，如果都是常规材料（媒质一和媒质二都满足），则反射光线为2，折射光线为3，入射光线和折射光线在法线的两侧，这种情况称为正折射。现研究双负媒质材料的折射率，分析如下：
媒质一为右手媒质（），而媒质二为双负媒质（），由麦克斯韦方程可以得到电磁场在媒质边界的连续性边界条件[8]：
（2-2-7）
由上式可知电场强度和磁场强度在边界面的切线方向连续，对于各向同性媒质材料，电位移矢量，磁感应强度，电位移矢量和磁感应强度在法线方向连续。当媒质二为双负媒质时，由斯涅尔定律可知，电场强度和磁场强度的x 和y 的分量将保持不变，但z 方向分量的符号要改变。相对于媒质二为右手媒质材料的情况，左手媒质材料电场强度和磁场强度的分量将按下面的关系式进行变换。
（2-2-8）
那么能流密度的方向也可得出，如图2-4所示，波矢的方向与能流密度方向相反。此时折射光线4与入射光线1在法线同侧，相当于折射角为负值，我们把这种材料称为负折射率材料。
2.3 PMCHWT方程理论介绍
PMCHWT方程法是把内部的电场和磁场边界条件同外部电场和磁场边界条件相结合，实质上是利用外算子无谐振点的特性，阻止了内谐振的产生。PMCHWT方程，一般用于介质体和非均匀物体的散射问题。
以下对任意一个目标散射体，介绍PMCHWT方程。

图 2-5 任意目标散射问题模型

Ex

LKinner

Sinner

LKouter Souter
Hy

x

考虑平面波入射到任意散射体的问题,式（2-3-1）-（2-3-3）给出了一个简化的Stratton-Chu积分方程。
（2-3-1）
式中

（2-3-2）
（2-3-3） 式(2-3-1)中，tan 代表切向分量，inc 代表入射场，i 代表源边界区域，j代表场区域，是真空中波阻抗，是目标散射体场媒质中波阻抗，和为电流和磁流源。式(2-3-2)中，是目标散射体场媒质中波数，G是格林函数，二维和三维散射问题分别为和。式（2-3-3)中，P.V.是柯西（Cauchy）主值积分，是源边界。在散射模型中，问题被分为内外区域。外算子和外部源边界记为和，内算子和内部源边界记为和。在内部问题中，入射场为零。
引入连接边界条件，
（2-3-4）
和分别代表内、外部的总电流或磁流。考虑到内外边界法线方向相反，因此有负号。
将式(2-3-1)-(2-3-3)代入式(2-3-4)，采用迦略金方法得到目标散射体的三维PMCHWT方程
（2-3-5)
此处是定义在目标散射体边界的矢量基函数，为未知电流和磁流展开系数。在二维问题中，展开函数一般选用脉冲基函数，测试函数选迪拉克δ函数。
2.4 矩量法的基本理论
矩量法（Moment of Method,简写为MOM）是求解微分方程或积分方程的一种重要的数值计算方法。以下介绍矩量法的基本原理，对于线性非齐次方程：
（2-4-1）
式中L为微分算子或积分算子，f 为待求响应函数，g 为激励函数或已知函数,矩量法就是将式（2-4-1）所描述的连续方程离散化为代数方程组，用数值法求出近似解。具体如下：
（1）设空间为线性的，在算子L的定义域内选择一组函数,首先把f 在L 定义域中展开为:
（2-4-2）
其中为待求系数，为在定义域L 上展开函数或基函数。如果要求f 的精确解，式(2-4-2)级数通常是无穷项之和，且形成一个基函数的完备解。对于近似解，式(2-4-2)通常是有限项之和。将式(2-4-2)代入式(2-4-1)，再应用算子L 的线性便可以得到
（2-4-3）
（2）在L域内选择一组加权函数（或检验函数)，并以每个取式（2-4-3）的内积，则有
（2-4-4）
式中。此方程组可以写成以下的矩阵形式

（2-4-5）
其中
，

函数与的内积定义为：

（3）现已把（2-4-1）的连续方程离散化为（2-4-5)的代数方程组了。如果矩阵是非奇异的（即），则存在逆矩阵【10】，记为，f 的解由式(2-4-2)得出。则待求系数可由下式解得
（2-4-6）
解出后，可由式（2-4-2）解得所需的。
用矩量法求解电磁场问题的关键是如何选择好基函数和检验函数。必须是线性无关的，并且使得它们的某种叠加式（2-4-2）能很好地逼进f 。也必须是线性无关的，并且也应该使得内积取决于g 的独立性。基函数和检验函数的选择一般应考虑如下几个因素【11,12】：
（1） 计算矩阵元素的难易程度；
（2） 矩阵是否良态；
（3） 收敛的快慢；
（4） 解的精确度。
基函数可分为整域基与分域基两大类，整域基是指基函数在整个算子的定义域内都是确定的，通常采用的整域基函数有傅里叶级数、切比雪夫多项式、麦克劳林级数、勒让德多项式等；分域基是指在算子定域的各个分段上有确定值，分域之外为零。通常采用的分域基函数有脉冲函数、三角函数等。
以上是矩量法的基本理论，在具体利用矩量法求解电磁散射问题时相当复杂的，要视具体情况而定。
2.5 渐近波形估计技术的基本理论
2.5.1宽频电磁散射的意义
随着电磁场理论与应用的发展，很多电磁应用问题都需要获得宽频电磁散射特性，以获得更多，更丰富的目标信息，如在雷达目标识别中，需要目标的宽带雷达散射截面（RCS）以产生一维距离像和合成孔径雷达（SAR）像，在天线分析与设计中，需要在一个很宽的频带内计算输入阻抗。随着电磁频谱的拥挤以及高性能雷达的战备要求，雷达工作频率不断的提高，工作波长的不断缩小，被研究的雷达目标将变为电大尺寸目标。应用面积分方程（SIE）可以精确地预估计目标的RCS,但每次计算只能得到一个频率点的RCS。研究问题的不断变化，要求研究雷达电磁散射的方法也应该不断的更新，以适应新的问题。为了获得目标的宽带RCS,应用矩量法就必须在给定频带内的每个频率点上逐点计算，当目标的RCS随着频率变化剧烈，必须以很小的频率间隔计算才能得到精确的频率响应。这意味着在整个频带内矩阵方程求解次数的增加，占用大量的CPU时间，这是非常耗时的，不具有可行性。
矩量法是通过求解电场积分方程(EFIE)或磁场积分方程(MFIE)，得到散射体目标表面电流密度分布，进而计算出远区散射场和目标的雷达散射截面(RCS)。但传统的矩量法得到的是一个稠密矩阵，计算矩阵元素和矩阵求逆需要消耗大量的CPU时间，是一项非常繁琐与耗时的工作。更重要的是，如果我们要获得宽频带的频率响应时，必须重复求解这个矩阵方程。当目标的RCS随频率变化剧烈时，必须以很小的频率间隔计算才能得到精确的频率响应。这些都意味着在整个频带内矩阵方程求解次数的增加，从而导致计算时间的大幅度增加。
为了克服这个缺点，国内外学者开展了大量的研究工作，其中以渐近波形估计（AWE）技术与模基参数估计（MBPE）最为突出。在文献[13]中，C.J.Reddy等人成功将渐近波形估计技术应用于矩量法，求解了三维导体目标的宽带雷达散射截面，随后其又在文献[14]中应用MBPE方法分析了天线的宽带特性并将该方法与AWE进行了比较。文献[15]将AWE与有限差分法相结合求解电磁场问题，文献[16-18]将AWE引入到有限元中分析了电磁散射与辐射问题，文献[19]提出一种基于小波变换的AWE技术和MBPE。由此可见，AWE技术得到了国内外学者的广泛关注。
2.5.2 渐近波形估计技术基本原理
渐近波形估计(AWE)技术是适用于解决频域积分方程的一个数值计算方法。部分频域电磁计算问题最本质的工作是求解一个矩阵方程，求出的解只是一个单频率点上的电磁信息。在AWE 技术中，首先在感兴趣的频率点附近展开为泰勒（Taylor）级数[20]，然后把Taylor 展开与矩阵方程相联系。泰勒展开系数通过求导在展开频率点由矩阵方程元素获得。一旦获得了Taylor 展开系数，就可以近似获得感兴趣频段内的频率响应。
应用矩量法可将电磁场积分方程离散化成：
（2-5-1）
式中为对应于波数的维阻抗矩阵，为特定频率下的激励向量和待求解未知向量。此时的k 是对应于任意频率f 的波数。如果想获得一个宽频带的频率响应，AWE技术首先确定在这个感兴趣频率段内一个频率点， 对应的波数为，把未知函数展开为关于的泰勒级数，以此获得频率响应的近似解，即
（2-5-2）
式中为在处的n阶导数值。
将式（2-5-2）简写并将有限项截断后可得：
（2-5-3）
其中
（2-5-4）
为截断误差（也称拉拉格朗日型余项），，为与之间某点。由式（2-5-4）、（2-5-1）可得：
（2-5-5）对式（2-5-1）两边对参量求导可得：
(2-5-6)
将代入式（2-5-5）并由（2-5-3）得：
（2-5-7）
（2-5-8）
对式（2-5-6）两边对求导得：
（2-5-9）
依次类推得：
（2-5-10）
式中为的逆矩阵，表示的阶导数，表示的阶导数。所以由式（2-5-4）、（2-5-10）并代入得：
（2-5-11）
求出系数之后，任意频率下的未知向量可以根据式（2-5-2）求解得到。由前面的理论介绍和理论推导过程可以看出：阻抗矩阵的逆只需求解一次，便可被用来重计算系数。实际计算时，可通过对矩阵进行分解来求它的逆。
任何近似计算方法都存在计算误差,泰勒展开也不例外，以下讨论使用泰勒级数展开时的误差情[21]。一般泰勒展开可表示为：
（2-5-12）
记它的前n项部分和为，则有
（2-5-13) （在与之间） (2-5-14)
以为例，在上在 处四次泰勒展开可以得到

根据误差理论分析，得出误差分布情况见图2-6,从图中可以清楚的看到它在附近误差较小，但在区间两端误差很大，误差分布很不均匀，在精度要求较高的时候不适合作为逼近的方法。

图2-6 的误差曲线

从以上分析可以看出，泰勒级数展开的精度受收敛半径的限制比较大，为了克服泰勒展开的这种缺点，扩大收敛范围，可通过帕德（Padé)逼近将展开成有理函数,即
（2-5-15）
其中，。将式（2-5-15）代入式（2-5-3），等式两边同乘以有理函数的分母得
（2-5-16）
根据同幂项系数相等得到
（2-5-17）
（2-5-18）
求解矩阵方程(2-5-17)和(2-5-18)，可确定待定系，并将其代入式（2-5-15）可以求得感兴趣给定频带内任意频率点的未知向量解。求解过程中只需要一次矩阵求逆运算，便可以求得整个频带内的频率响应，这正是AWE 方法提高计算效率的原因所在。
当然,Padé逼近也是存在误差，下面我们简单分析一下Padé逼近的误差问题以及阶数选取问题。根据一致逼近理论和Padé 逼近唯一性定理，当矩阵方程组(2-5-17)和(2-5-18)的解存在时，则求得的满足方程组(2-5-17)和(2-5-18)的解所构成的有理分式都是所要求的Padé 逼近[L/M] , 通常可用被称为“Padé表”的图表来表示[L/M]的位置。

表2-1 Padé表

L

M

0

1

2

3

0

1

2

3

通过大量算例表明，在为一确定常数时，各种可能的Padé逼近中，以L 和M 相等或接近相等者最精确。如，当时，应采用Padé逼近；当时，应采用或者Padé逼近。由此可得，应采用Padé逼近表主对角或主对角线附近的Padé逼近。3 双负媒质宽频电磁散射分析
3.1 双负煤质的PMCHWT方程
人们对双负媒质探索之路并不是一帆风顺的，其探索研究分为实验计算和理论分析两个方面。实验计算和理论分析是相辅相成的，一般来说理论分析仅限于一些经典的，有解析解的情况。随着计算机技术的飞速发展,以计算机为载体的电磁场数值模拟技术在科学研究和生产工作中发挥着巨大作用。
自然界中并不存在双负煤质，以下利用等离子体电磁理论的Drude 色散模型来模拟双负媒质。基于Drude 色散模型下的双负媒质的电磁参数描述为
（3-1-1）
（3-1-2）
其中是真空中的介电常数和磁导率，是双负媒质的电介电常数和磁介电常数，分别为电等离子体和磁等离子体的振荡频