浙江省温州市瓯海区实验中学九年级数学上册-《3.2.1圆的轴对称性》教案(1)-浙教版.doc

浙江省温州市瓯海区实验中学九年级数学上册 《3.2.1圆的轴对称性》教案（1） 浙教版
【教学目标】
１．使学生理解圆的轴对称性．
２．掌握垂径定理．
３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．
【教学重点】
垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依
据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．
【教学难点】
垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．
【教学过程】
一、复习提问，创设情境
1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；
A
B
C
D
O
E
２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作）
二、引入新课，揭示课题
1．在第一个环节的基础上，引导学
生归纳得出结论：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线
都是对称轴．
强调：
（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；
（2）圆的对称轴有无数条．
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备．
三、讲解新课，探求新知
先按课本进行合作学习
1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；
2．作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E．
提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？

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在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念）
①EA=EB；② AC=BC，AD=BD．
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，
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∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
然后把此结论归纳成命题的形式：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
垂径定理的几何语言
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∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
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四、应用新知，体验成功
例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念)
作法：
⒈连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，　交弧AB于点E.
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点E就是所求弧AB的中点．
变式一： 求弧AB的四等分点．
思路：先将弧AB平分，再用同样方法将弧
AE、弧BE平分．
（图略）
有一位同学这样画，错在哪里？
1．作AB的垂直平分线CD
2．作AT、BT的垂直平分线EF、GH（图略）
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教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？
方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．
O
A
B
C
例2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC ．
思路：
先作出圆心O到水面的距离OC，即画 OC⊥AB，
∴AC=BC=8，在Rt△OCB中，

∴圆心O到水面的距离OC为6．
补充例题 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
思路：
作OM⊥AB，垂足为M， ∴CM=DM
∵OA=OB ， ∴AM=BM ， ∴AC=BD．
概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
小结：
1．画弦心距是圆中常见的辅助线；
2．半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦
长．
注：弦长、半径、弦心距三个量中已知
两个，就可以求出第三个．
五、目标训练,及时反馈

1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．
答案：24
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⌒
2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C． OE=BE D．BD=BC

答案：C
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ）
A．3 B．6cm C． cm D．9cm
答案：A
注：圆内过定点M的弦中，最长的弦是过定点M的直径，最短的弦是过定点M与OM垂
直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围
是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3<OM<5 D．4<OM<5
答案：A
5． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ．
答案：2或24
注：要分两种情况讨论：（1）弦AB、CD在圆心O的两侧；（2）弦AB、CD在圆心O的同
侧．

六、总结回顾，反思内化
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；
（2）半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，
它们之间的关系：弦长．
七、布置作业， 巩固新知
P65作业题1~6，第7题选做．
板书设计：
垂径定理 例1 例2
解： 解：
练习 练习

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