七年级数学相交线、平行线华东师大版知识精讲.doc

初一数学相交线、平行线华东师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
相交线、平行线

学习要求：
1. 理解垂线段的概念，点到直线的距离，垂线的性质；
2. 会过一点作已知直线的垂线；
3. 掌握对顶角的概念和性质，并会应用；
4. 理解同位角、内错角、同旁内角的概念与区别；
5. 会识别三线八角；
6. 掌握平行线的概念，平行线的画法；
7. 理解经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
8. 掌握平行线的特征，掌握识别平行线的方法。

知识内容：
一. 相交线部分
1. 相交线的定义
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，如图，AB与CD相交于点P。

2. 对顶角的定义
若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角。如图：

和，和都是对顶角
由此可见，对顶角具有三个特征：
（1）有两个角
（2）有一个公共顶点
（3）角的两边互为反向延长线，所以两条直线相交，就构成了两对对顶角
3. 对顶角的性质
对顶角相等
4. 关于垂线
在垂线定义中，两条直线相交成四个角中哪一个角是直角，都可以判定两条直线垂直。反之，已知两直线垂直，那么它们的四个交角中无论哪个角都是直角。
5. 垂线的性质
（1）过直线上或过直线外一点，可以作这条直线的一条垂线，并且只能作一条；
（2）垂线段最短。
6. 点到直线的距离
这里的距离是指垂线段的长度，而不能说垂线段是距离。
7. 同位角、内错角、同旁内角

同位角：在两条直线的上方（与下方），在另一条直线的同侧的角是同位角，如图1中，同位角有和，和，和，和
内错角：在两条直线的内侧，在另一条直线的两旁的角是内错角，如图1中，和，和都是内错角。
同旁内角：在两条直线的内侧，在另一条直线的同旁的角是同旁内角，如图1中，和，和是同旁内角。
图1就是三线八角。

二. 平行线部分
1. 平行线定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如图2：

图2
理解此概念关键有两点：
（1）在同一平面内；
（2）不相交。
在同一平面内，两条不重合的直线有两种位置关系：
（1）相交；
（2）平行。
2. 平行线的画法
按“一落”、“二靠”、“三移”、“四画”的过程进行
一落：用三角板的一边落在已知直线上
二靠：用直尺紧靠三角形的另一边
三移：沿直尺移动三角板，使三角板与已知直线重合的边过已知点
四画：沿三角板过已知点的边画直线
3. 平行公理（即平行线的基本性质）
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
由平行公理还可以得到一个推论––––即平行线的基本性质二。
定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
4. 平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行；
（4）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
5. 平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补；
（4）垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一直线。

【典型例题】
例1. 已知，如图，直线AB和CD相交于O，于O，于O，，求和的度数。

分析：由图形和已知条件知和互余，和互余，且和是对顶角。
解：
（垂直定义）
（对顶角相等）

（垂直定义）
小结：垂线概念为重点。若已知两条直线垂直，则四个交角均为直角，根据题目的需要选用一个即可，这是常用的证题方法。

例2. 已知，如图，于O，OD平分，OE平分，求的度数。

分析：根据角平分线的概念及垂直的概念，即可求出的度数。
解：（已知）
（垂直定义）
OD平分，OE平分（已知）
（角平分线定义）

例3. 已知，如图，中，同位角有哪些，内错角有哪些及同旁内角有哪些？

分析：注意区分这三种角，严格按定义去找。
解：同位角有和，和
内错角有：和，和
同旁内角：和，和，和，和，和

例4. 读下列语句，并画出图形
（1）直线AB、CD是相交直线，点P是直线AB、CD外的一点，直线EF经过点P与直线AB平行，与直线CD相交于E
（2）点P是直线AB外的一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行
分析：画平行线是几何画图的基本技能之一，在以后的画图中，常常会遇到画平行线的问题。我们可以采用直尺和三角板来画，固定直尺不动，按要求移动三角板画出平行线。如图1、2。

例5. 已知，如图，直线AB、CD被EF所截，，求证：AB//CD

分析：欲证AB//CD，根据平行线判定公理和定理，只需证明或或或即可
证明：（对顶角相等）
（已知）
（等量代换）
AB//CD（同位角相等，两直线平行）
小结：本题也可先证明，利用“内错角相等，两直线平行”来证，还可先证明，利用“同旁内角互补，两直线平行”来证。

例6. 已知，如图，BE平分，，求证：BC//DE

证明：BE平分（已知）
（角平分线定义）
又（已知）
（等量代换）
BC//DE（内错角相等，两直线平行）

例7. 已知，如图，DE//BC，，，求

分析：图形中DE//BC，BD与BE都可以是平行线的截线，根据平行线的性质，有
，
再结合已知条件可求
解：DE//BC（已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
又（已知）
（等量代换）
（已知）
（等量代换）
又（已知）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
总结：平行线有3个性质，其基本图形都是两条平行线被第三条直线所截，在本例求解过程中，关键是在复杂图形中辨认出应用性质的基本图形，利用性质和已知条件求解。

例8. 已知，如图于E，，求证：

分析：证明两条直线互相垂直的方法有两种。即：由垂直的定义证或者由判定定理；“垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一直线。”证出。
证法1：（已知）
AE//DC（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
又（已知）
（垂直定义）
（等量代换）
（垂直定义）
证法2：（已知）
AE//DC（内错角相等，两直线平行）
又（已知）
（垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一条直线）
小结：比较两种方法。

例9. 已知，如图AB//CD，直线EF分别截AB、CD于点M、N，MG、NH分别是与的平分线，求证：MG//NH

分析：要证明MG//NH，只需证
证明：AB//CD（已知）
（两直线平行，同位角相等）
又MG、NH分别是与的平分线（已知）

（角平分线定义）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
小结：本例题说明：“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角的平分线互相平行。”

例10. 已知，如图，直线EF过的顶点A，且EF//BC，求证：

分析：要证，只需证
证明：EF//BC（已知）

（两直线平行，内错角相等）
又EAF是一直线（已知）
（平角定义）
（等量代换）

【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一. 选择
1. 下列说法错误的是（ ）
A. 垂线段最短
B. 垂线段不是最短的
C. 两直线相交成四个角中，有一个角是直角，其它三个角也都是直角
D. 点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度
2. 如图，图中与是内错角关系的角有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如图，（ ）是内错角

A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
4. 如图，（ ）是同位角

A. 和，和
B. 和，和
C. 和，和
D. 和，和
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 经过一点有一条直线与某一直线平行
B. 经过一点有无数条直线与已知直线平行
C. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
6. 已知直线AB//CD，直线EF交AB、CD于G、H，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，AB//CD，若是的2倍，则（ ）

A. B. C. D.
8. 已知，如图，直线，于O，BC交于E，若，则（ ）

A. B. C. D.
9. 已知，如图，点A、O、B在一条直线上，OC为一射线，OD、OE分别平分、，则OD和OE的位置关系（ ）

A. 互相平行 B. 相交 C. 互相垂直 D. 无法确定
10. 如图，图中小于平角的角有（ ）

A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个

二. 填空
1. 如图，于O，和的度数之比是1：5，则_____，的补角＝_______

2. 如图，于O，于O，，则_____，_____

3. 如图，AB//EF//DC，EG//BD，则图中与相等的角（除外）共有____个

4. 如图，于O，且，，则______

5. 如图，已知AB//CD，EG平分，若，则_______，_____

三. 解答题
1. 已知，如图，BF和DE分别平分和，，求证：DE//FB

2. 已知，如图于B，于C，，求证：DC//EF

3. 已知：，，求证：

【试题答案】
一. 选择
1. B 2. B 3. D 4. A 5. C 6. B 7. C
8. D 9. C 10. A
二. 填空
1. ， 2. 3. 5 4.
5.
三. 解答题
1. 证：BF和DE分别平分和

又

又，

2. 证明：

又，
，
3. ，
，

又

用心 爱心 专心