高三数学数列求通项公式的常见题型与解题方法全国通用.doc

数列求通项公式的常见题型与解题方法
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法．
数列这一章的主要章节结构为：

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大．
我仅对数列求通项公式这一部分内容做一个浅显的分析与提炼．
题型1 已知数列前几项求通项公式
在我们的教材中，有这样的题目：
1． 数列的通项．
2．数列的通项．
3．数列的通项．

此题主要通过学生观察、试验、合情推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生数学思维能力．相对于填空题或是选择题只需利用不完全归纳法进行猜想即可；对于解答题，往往还需要我们进一步加以证明．
例如（2003年全国高考）已知数列满足．
(Ⅰ)求：；
(Ⅱ)证明：．
分析：问题（１）主要渗透一般化特殊化，利用已知的递推公式求具体．
问题（２）与问题（１）紧密相连，可以从特殊入手，归纳论证相结合，求一般．当然还可用后面介绍的方法即注意到进行，由特殊化归为等比数列等加以证明．本题贯穿特殊化与一般化的思维方法，实质上是归纳中的综合．
课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能．
例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式：

练习１:写出下面数列的一个通项公式：

练习２．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表． 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内．
年龄（岁）
30 35 40 45 50 55 60 65
收缩压（水银柱 毫米）
110 115 120 125 130 135 （140）145
舒张压（水银柱 毫米）
70 73 75 78 80 83 （ 85）88
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练习３．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有__n2-n+1_个点．

（1） （2） 　 （3） 　　（4） 　　　　　　（5）
相关的高考试题有：
（2004年全国卷）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项
分析：由已知，．
由 生成

两式相减得：，即
为商型的，用累乘法可得
即．

…
（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；
（答案用表示）.

题型2 由an与Sn的关系求通项公式
在我们的教材中，有这样的题目：
１． 已知数列的前项和，则 n ．
２． 已知数列的前项和，则 ．
这类题目主要注意与之间关系的转化．即：
= =．
一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式．
例如：（04年浙江）设数列{an}的前项的和Sn=（an-1） (n)．
(Ⅰ)求a1；a2；
　(Ⅱ)求证数列{an}为等比数列．
解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.
(Ⅱ)当n>1时,
得所以是首项,公比为的等比数列．
课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能．
例3.数列{an}的前n项和 Sn=3·2n-3,求数列的通项公式.
练习1：设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列.
练习2：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an．
相关的高考试题有：
(2004全国卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1．
（Ⅰ）写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的整数m>4，有.
.解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；
当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；
当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；
综上可知a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得：
化简得：
上式可化为：
故数列{}是以为首项, 公比为2的等比数列.
故 ∴
数列{}的通项公式为：.
⑶由已知得：

.
故( m>4).

（2006年湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m．
点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力．
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）.
（2006年安徽卷）数列的前项和为，
已知．
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
解：由得：，即，所以，对成立．
由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立．
（Ⅱ）由，得．
而，
，
．
题型3 已知数列递推公式求通项公式
在我们的教材中，还有这样的类型题：
1． 已知数列的首项，且，则 3n-2 ．
2．已知数列的首项，且，则 ．
3．已知数列的，且，则 1 ．
4． 已知数列的，且,则 n ．
这类问题是通过题目中给定的初始值和递推公式，在熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式的推导方法的基础上，产生的一系列变式．
我们应清楚的意识到：
1．证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或而得．
2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解．
3.等差数列、等比数列求通项公式涉及的迭代、累加、累乘、构造等方法．
我们具体进行如下分析：
一、由等差，等比演化而来的“差型”，“商型”递推关系
题组一：
数列中，，求的通项公式 ．
变式1：数列中，，求的通项公式 ．
变式2：数列中，，求的通项公式 ．
变式3：已知数列满足，，求．
变式4：数列中，，求的通项公式 ．
分析：①等差数列：
生成：，，…，
累加： =
由此推广成差型递推关系：
累加：= ，于是只要可以求和就行．
题组二、
已知数列的首项，且，则 ．
变式1：已知数列的首项，且，则 ．
变式2：数列中，，求的通项公式．
变式3：数列是首项为1的正项数列，
且，求的通项公式．
分析：②等比数列：
生成：，，…，
累乘：=
由此推广成商型递推关系：
累乘：
为了提高，我们还可以引用下列例题：
例1、 若数列满足：．
求证：①； ②是偶数 ．
证明：由已知可得：
又=
而=
所以，而为偶数．

例2、已知数列，且, 其中k=1,2,3,…….
（I） 求；
（II）求{ an}的通项公式.
解（Ⅰ）（略）
(II)
所以 ，为差型
故

=．
．
所以{an}的通项公式为：
当n为奇数时，；
当n为偶数时， ．
二．由差型，商型类比出来的和型，积型：即
例如：数列中相邻两项，是方程的两根，已知，求的值．
分析： 由题意：+ 　　①
生成： + ②
②—①：．
所以该数列的所有的奇数项成等差，所有的偶数项也成等差．
其基本思路是，生成，相减；与“差型”的生成，相加的思路刚好相呼应．到这里本题的解决就不在话下了．
特别的，若+，则．
即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等．
若 ①
则 ②
②÷①：．
所以该数列的所有的奇数项成等比，所有的偶数项也成等比．
其基本思路是，生成，相除；与“商型”的生成，相乘的思路刚好相呼应．
特别地，若，则．
即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等．

三．可以一次变形后转化为差型，商型的
1．
例如：设是常数，且，（）．
证明：．
分析：这道题目是证明型的，最简单的方法当然要数数学归纳法，现在我们考虑用推导的方法来处理的三种方法：
方法（1）：构造公比为—2的等比数列，用待定系数法可知．
方法（2）：构造差型数列，即两边同时除以 得：，从而可以用累加的方法处理．
方法（3）：直接用迭代的方法处理：

．
说明：①当时，上述三种方法都可以用；
②当时，若用方法1，构造的等比数列应该是 而用其他两种方法做则都比较难．
③用迭代法关键是找出规律，除含外的其它式子，常常是一个等比数列的求和问题．
2．型
例如：已知，首项为，求．（2003年江苏卷22题改编）
方法1：两端取常用对数，得，
令，则，转化如上面类型的．
特别的，a=1，则转化为一个等比数列．
方法2：直接用迭代法：

四．型的
利用转化为型，或型
即混合型的转化为纯粹型的．
例如： 已知数列的前n项和Sn满足
(Ⅰ)写出数列的前3项
(Ⅱ)求数列的通项公式．
分析： -①
由得 -②
由得，，得 -③
由得，，得 -④
用代得 -⑤
①—⑤：
即 --⑥
-⑦
又如：数列的前n项和记为，已知
证明：数列是等比数列
方法1∵
∴ 整理得
所以 故是以2为公比的等比数列.
方法2：事实上，我们也可以转化为，为一个商型的递推关系，
由=．
当然，还有一些转化的方法和技巧，如基本的式的变换，象因式分解，取倒数等还是要求掌握的．
生成与迭代是递推关系的最重要特征．递推关系一般说来，是对任意自然数或大于等于2的自然数总成立的一个等式，自然数n可以取1，2，3…n，n+1等等，这样就可以衍生出很多的等式．这就是所谓的生成性．对于生成出来的等式，我们往往选一些有用的进行处理．比如相加，相减，相乘，相除等，但用的最多的还是由后往前一次又一次的代入，直到已知项．这种方法就叫迭代．上面的很多例题都可以体现这一点．这种很朴素的思想，对于相关的其他数列问题也是非常有效的．
这类的高考试题也比比皆是，如：
（2004年全国卷）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项
分析：由已知，
由 生成

两式相减得，即
为商型的，用累乘法可得
即．
2.已知数列中，是其前项和，并且，
(Ⅰ)设数列，求证：数列是等比数列；
(Ⅱ)设数列，求证：数列是等差数列；
（Ⅲ）求数列的通项公式及前项和．
分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．
解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ①
已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ②
由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．

当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和．解决本题的关键在于由条件得出递推公式．
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
3.（04年重庆）设a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)．
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项的和．
解：（I）因
故{bn}是公比为的等比数列，且
（II）由

注意到可得
记数列的前n项和为Tn，则
．

4.（04年全国）已知数列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，…．
（I）求a3,a5；
（II）求{an}的通项公式．
解：（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,
同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1, a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)
=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],
于是a2k+1=a2k= a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1.
{an}的通项公式为：
当n为奇数时，an=
当n为偶数时，
5.（2004年全国）已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
（I）求a3, a5；
（II）求{ an}的通项公式．
6.(2004年天津理)已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：
，
，其中a为常数，k为非零常数．
（I）令，证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）当时，求．
7.(2006年重庆卷)在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________．
解析：在数列中，若，∴ ，即{}是以为首项，2为公比的等比数列，，所以该数列的通项.
8.（2006年福建卷）已知数列｛a｝满足a=1,a=2a+1(n∈N)
（Ⅰ）求数列｛a｝的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列；
（Ⅲ）证明:(n∈N*)．
解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力．
（I）解：

是以为首项，2为公比的等比数列．

即　
（II）证法一：

　　　　　　　　　　　　　①
　　　　　　②
②－①，得
即

　 ③－④，得　
即　

是等差数列．
证法二：同证法一，得

令得
设下面用数学归纳法证明　
（1）当时，等式成立．
（2）假设当时，等式成立，那么

这就是说，当时，等式也成立．
根据（1）和（2），可知对任何都成立．
是等差数列．
（III）证明：

．