带误差项的广义Halpern-Ishikawa型迭代序列的强收敛定理.pdf

DOI：10.13876/J.cnki.ydnse.220067第 42 卷 第 3 期2023 年 9 月延安大学学报（自然科学版）Journal of Yanan University（Natural Science Edition)Vol.42 No.3Sep.2023带误差项的广义Halpern-Ishikawa型迭代序列的强收敛定理王永杰，高兴慧*，房萌凯（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）摘要：在实Banach空间中，为证明-伪压缩映象不动点的迭代强收敛性，引进了带误差项的广义Halpern-Ishikawa型迭代算法，并利用所设计的迭代算法，证明了-伪压缩映象不动点的一个新的强收敛定理。从而完善了带误差项的广义Halpern-Ishikawa型迭代算法的研究。关键词：Banach空间；Ishikawa迭代序列；广义Halpern-Ishikawa型迭代序列；-伪压缩映象中图分类号：O177.91 文献标识码：A 文章编号：1004-602X（2023）03-0069-04近年来，运用各种迭代算法去逼近非线性算子不动点的研究已成为许多学者研究的重要课题1-7。至今为止，许多学者大量研究了非线性算子不动点的迭代算法，为今后构造和改进新的迭代算法打下了坚实的基础。1953年，MANN8引入了下面的迭代序列xn：xn+1=(1-n)xn+nTxn，n 0。（1）1974年，ISHIKAWA9提出了如下更为复杂的迭代序列式（2），且在满足一定条件下，则能得到由其生成的序列xn的强收敛定理。xn+1=(1-n)xn+nTynyn=(1-n)xn+nTxn ，n 1。（2）之后，在1995年LIU10又提出了如下所示带误差项的修正Ishikawa迭代序列：xn+1=anxn+bnTyn+cnunyn=anxn+bnTxn+cnvn ，n 1。（3）1967年，HALPERN11引入了下面称为Halpern的迭代序列：xn+1=nu+(1-n)Txn，n 0。（4）2010年，余静等12提出了带误差项的广义Halpern-Mann型迭代序列式（5），并证明了在-伪压缩映象下的一个新的强收敛定理。xn+1=nu+nxn+nTxn+nT2xn+nun，n 0。（5）2014年，唐永昆等13提出了拟-渐近非扩张映像的修改的Halpern-Mann-型迭代的强收敛定理及应用问题。而在2021年ABEBE等14提出了用于逼近多值非自映射不动点的 Halpern-Ishikawa 型迭代格式。基于上述文献启发，本文引入带误差项的广义Halpern-Ishikawa型迭代序列：xn+1=nu+nyn+nTyn+nT2yn+nunyn=nu+nxn+nTxn+nT2xn+nvn ，n 0，（6）其中，n，n，n，n，n，n，n，n，n，n分别是0，1上满足一定条件的序列，且n+n+n+n+n=n+n+n+n+n=1，x0是给定的任意初始点，u是K中固定一点，un，vn是E中的有界序列，显然式（5）是式（6）的特例。本文通过使用带误差项的广义Halpern-Ishikawa型迭代序列式（6）去逼近-伪压缩算子的不动点，证明了一个新的强收敛定理。所得结果改进、推广了文献 13-15 的相关结果。收稿日期：2022-06-22基金项目：国家自然科学基金资助项目（61866038）；陕西省大学生创新训练计划项目（S202210719022）；延安大学科研计划项目（YDY2019-15）作者简介：王永杰（1997），男，陕西延安人，延安大学硕士研究生。*通信作者延安大学学报（自然科学版）第 42 卷 1预备知识本文中假设E是实Banach空间，E*为E的对偶空 间，正 规 对 偶 映 象J：E 2E*定 义 为J(x)=x*E*：x，x*=x2=x*2，x E。其 中，表示广义对偶对。定 义 116 设E是 实 Banach 空 间，称T：D(T)E E是-伪 压 缩 映 象，如 果x，y D(T)，j(x-y)J(x-y)和一个严格递增函数：0，)0，)，(0)=0使得Tx-Ty，j(x-y)x-y2-(x-y)。（7）引理 1 17 设E是实 Banach 空间，x，y E，j(x+y)J(x+y)有x+y2 x2+2 y，j(x+y)。引理218 设：0，)0，)为严格递增函数，且(0)=0，n，n，n为非负实序列，且满足limn n=0，n=(n)，n=1n=，若有2n+1 2n-2n(n+1)+n，n 1，则limn n=0。2主要结果定理1 设E是实Banach空间，D为E的非空凸子集，映象T：D D为一致连续、值域有界的-伪压缩映象。设T的不动点集为F(T)，q为T的不动点，对任意给定的x0，u D，xn是由式（6）所定义的带误差项的广义 Halpern-Ishikawa 型迭代序列，这 里n，n，n，n，n，n，n，n，n，n是0，1上的实数列，且满足：1）n+n+n+n+n=n+n+n+n+n=1；2）limn n=0，n=1n=，limn n=0，n=1n=；3）n=(n），n=(n），n=(n），n=(n），n=(n），n=(n）。其中，un和vn是E中的有界序列，则迭代序列xn强收敛于T的唯一不动点q。证明 先证q的唯一性。设T的不动点集为F(T)。假设存在p F(T)，且p q，则有p-q2=p-q，j(p-q)p-q2-(p-q)0(i=1，2，.n)且i=1ni=1，则 有f(i=1nixi)i=1nif(xi)。特别地，对0，)0，)的凸函数f(t)=t2，上式也成立，所以有yn-q2=nu+nxn+nTxn+nT2xn+nvn-q2 (nu-q+nxn-q+nTxn-q+nT2xn-q+nvn-q)2 nxn-q2+(n+n+n+n)M2。（11）因为T是-伪压缩映象，由引理1、式（8）和式（11）得yn-q2=nu+nxn+nTxn+nT2xn+nvn-q2 n2xn-q2+2nu-q，j(yn-q)+2nTxn-q，j(yn-q)+2nT2xn-q，j(yn-q)+2nvn-q，j(yn-q)n2xn-q2+2nM2+2nTxn-Tyn，j(yn-q)+2nTyn-q，j(yn-q)+2nM2+2nM2 n2xn-q2+2nM2+2nMTxn-Tyn+2nyn-q2-(yn-q+2nM2+2nM2=n2xn-q2+2nM2+2nMn+2nyn-q2-2n(yn-q)+2nM2+2nM22nM2+2nMn+2nnxn-q2+(n+n+n+n)M2-2n(yn-q)+2nM2+2nM2=(n2+2nn)xn-q2-2n(yn-q)+2n(n+n+n+n)M2+2nM2+2nMn+2nM2+2nM2，（12）其中，令n=Txn-Tyn。由式（6）可得xn-yn nxn-u+nxn-Txn+nxn-T2xn+nxn-vn nxn+q-q-u+nxn+q-q-Txn+nxn+q-q-T2xn+nxn+q-q-vn n(xn-q+u-q)+n(xn-q+Txn-q)+n(xn-q+T2xn-q)+n(xn-q+vn-q)2M(n+n+n+n)。（13）由条件2）、3）及式（13）可得limn xn-yn=0。由T的一致连续性可得limn n=limn Txn-Tyn=0。故式（11）可以简化为yn-q2(n2+2nn)xn-q2-2n(yn-q)+2n(n+n+n+n)M2+nM2+Mn，（14）其中，n=n+n+nn，由条件3）可知n 0 (n )。因 为n，n，n，n，n，n，n，n，n，n是0，1上满足条件n+n+n+n+n=n+n+n+n+n=1的实数列，所以由 条 件 2）和 3）可 知，N，当n N时，有n2+2nn 1，从而式（14）可简化为yn-q2xn-q2-2n(yn-q)+n，n N。（15）因为xn-q n-1u-q+n-1yn-1-q+n-1Tyn-1-q+n-1T2yn-1-q+n-1un-1-q n-1yn-1-q+(n-1+n-1+n-1+n-1)M yn-1-q+(n-1+n-1+n-1+n-1)M，由条件2）和3）可得71延安大学学报（自然科学版）第 42 卷(n-1+n-1+n-1+n-1)M 0 (n )，所以存在n1使得xn-qyn-1-q，n n1。取N1=maxN，n1，则式（15）可化简为yn-q2yn-1-q2-2n(yn-q)+n，n N1，（16）其中，n=2n(n+n+n+n)M2+nM2+Mn，由条件 2）、3）及limn n=0可知，n=(n）。在式（16）中，令n=yn-1-q，n=n，由条件 2）及引理 2 可 得limn yn-q=0，又 因 为xn+1-qnu-q+nyn-q+nTyn-q+nT2yn-q+nun-q，由条件 2）、3）及limn yn-q=0可得limn xn-q=0，证毕。带误差项的修正 Mann 迭代序列、Ishikawa 迭代序列和Noor迭代序列如果没有特殊条件的限制（除要求是有界序列），则称此类误差为随机误差。一旦给予误差项很强的限制，如误差项是可和的，则迭代程序就会变为一般误差，而一般误差又是随机误差的特殊形式，因此下面给出定理 1 的推论。推论1 设E是实Banach空间，D为E的非空凸子集，映象T：D D为一致连续、值域有界的-伪压缩映象。设T的不动点集为F(T)，q为T的不动点，对任意给定的x0，u D，序列xn定义为xn+1=nu+nyn+nTyn+nT2yn+unyn=nu+nxn+nTxn+nT2xn+vn ，n 0这里n，n，n，n，n，n，n，n是0，1上的实数列，且满足：1）n+n+n+n=n+n+n+n=1；2）limn n=0，n=1n=，limn n=0，n=1n=；3）n=(n），n=(n），n=(n），n=(n）；4）n=1un，n=1vn。其中，un和vn是E中的有界序列，则序列xn强收敛于T的唯一不动点q。证明 由定理1可得序列xn强收敛于T的唯一不动点q。注由于 Mann迭代、Ishikawa 型迭代、带误差项的 Ishikawa 型迭代、Halpern 迭代序列和广义Halpern-Mann 迭 代 序 列 都 是 带 误 差 项 的 广 义Halpern-Ishikawa型迭代序列的特殊情况。在式（6）中取n=n=n=n=0，n=1时，则成为式（5），因 此 本 文 结 果 对 于 带 误 差 项 的 广 义 Halpern-Ishikawa型迭代格式成立。可见本文结果统一、改进了现有文献的一些相关结果。参考文献：1 李丹，张树义，赵美娜.-伪压缩映象迭代序列的收敛性与稳定性 J.烟台大学学报（自然科学与工程版），2017，30（2）：79-88.2 王学武.渐近-半压缩型映象对的Mann型迭代序列的收敛性 J.数学进展，2015，44（6）：882-888.3 王元恒，李参参.Banach空间中渐近非扩张映射的广义粘性隐式双中点法则 J.数学学报（中文版），2021，64（4）：601-612.4 荆平，唐艳.Banach空间中伪压缩映射和增生映射的强收敛定理 J.河北师范大学学报（自然科学版），2021，45（4）：336-343.5 刘涌泉，饶永生.渐近半伪压缩映射合成隐迭代序列的强收敛性 J.西南大学学报（自然科学版），2018，40（12）：112-119.6 张树义，张芯语，聂辉.相对强伪压缩算子不动点的迭代逼近 J.数学的实践与认识，2020，50（6）：283-287.7 XU H K，NAJLA A，SOUHAIL C.Strong convergence of Mann s iteration process in Banach spaces J.Mathematics，2020，8（6）：954.8 MANN W R.Mean value method in iteration J.Proceeding of the American Mathematical Society，1953（4）：506-510.9 ISHIKAWA S.Fixed point by a new iteration methodJ.Proceeding of the American Mathematical Society，1974，44（1）：147-150.10 LIU L S.Ishikawa and Mann iterative process with errors for nonlionear strongly accretive mappings in Banach spaces J.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1995，194（1）：114-125.11 HALPERN B.Fixed points of nonexpanding mapsJ.Bulletin of the American Mathematical Society，1967，73（6）：957-961.12 余静，谷峰.带误差项的广义Halpern-Mann型迭代序列的强收敛定理 J.杭州师范大学学报（自然科学版），2010，9（3）：200-203.13 唐永昆，张石生，王林，等.拟-渐近非扩张映像的修改的Halpern-Mann-型迭代的强收敛定理及应用 J.数学物理学报，2014，34（5）：1151-1160.（下转第77页）72第 3 期任瑛 等：基于BP神经网络的延安市冬季PM2.5浓度预测12 张珺，宋晓辉.河北南部空气污染气象扩散条件研究 J.湖北农业科学，2017，56（2）：254-258.13 甘蕾，周脚根，石锦，等.点源时间序列数据缺失值的估值方法比较以小流域气象和水文数据为例 J.中国农业气象，2018，39（3）：195.14 米子川.基于图形分析方法的函数型数据异常值检验实证研究 J.统计与信息论坛，2014，29（6）：18-24.责任编辑 毕伟Prediction of PM2.5 concentration in winter in Yan an city based on BP neural networkREN Ying，WANG Siyuan，XIA Bisheng*（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）Abstract：A prediction model of PM2.5 concentration based on BP neural network was proposed to predict the PM2.5 concentration in Yan an City.Mean square error（EMS），mean absolute error（EMA），root mean square error（ERMS）and coefficient of determination（R2）were used to evaluate the predictive performance of the model.Taking the prediction of PM2.5 concentration in winter of 2021 as an example，ten experiments were conducted，and the mean values of EMS，EMA，ERMS and R2 between the predicted value of model and the true value were 29.45，4.40，5.41 and 0.85，respectively.It shows that BP neural network model is feasible to predict PM2.5 concentration in Yan an City.Key words：BP；neural network；PM2.5；prediction；Yan an city（上接第72页）14 ABEBE R，TUFA M，THUTO M.Halpern-Ishikawa type iterative schemes for approximating fixed points of multi-valued non-self mappings J.Arabian Journal of Mathematics，2021，10：239-252.15 许霞，崔艳兰，冯媛.一致-伪压缩映像具误差项的广义Mann迭代序列的收敛定理 J.延安大学学报（自然科学版），2010，29（3）：24-26.16 王学武.非线性算子的迭代序列的收敛性 M.北京：清华大学出版社，2013.17 PETRYSHYN W V.Acharacterization of strict convexity of Banach spaces and other use of duality mappingsJ.Journal of functional analysis，1970，6（2）：282-291.18 MOORE C，NNOLIB V C.Iterative solution of nonlinear equations involving set-valued uniformly accretive operators J.Applied Mathematics and Computation，2001，42（1）：131-140.责任编辑 毕 伟Generalized Halpern-Ishikawa type iterative sequences with error term strong convergence theoremWANG Yongjie，GAO Xinghui*，FANG Mengkai（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）Abstract：In the real Banach space，in order to prove the iterative convergence of the fixed point of-pseudo-compression map，a generalized Halpern-Ishikawa type iterative algorithm with error term is introduced.Using this designed iterative algorithm，a new strong convergence theorem for points of the fixed point of -pseudo-compression map is proved and generalized，thus optimizing the research on generalized Halpern-Ishikana type iterative algorithm with error term.Key words：Banach space；Ishikawa iterative sequence；generalized Halpern-Ishikawa type iterative sequence；-pseudo-compression map77