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电磁感应中的导轨问题

　　解决电磁感应中的导轨问题时，常常要综合应用电磁学中的有关规律和力学中的有关
规律，比如电磁学中的楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定则等，力学中的牛顿运
动定律、动量定理、动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等，因此解决好此类问题
是提高综合应用知识能力的有效措施。
　　[例1] 光滑的U型金属导轨宽度为d，导轨平面与水平面夹角为θ，底端接一只阻值为
R的电阻（如图1所示），放在垂直导轨平面向上的磁感应强度为B的匀强磁场中，一根质
量为m的金属杆从图中ab位置滑下时，先作加速运动，再作匀速运动，然后到达底端，现
用沿轨道平面垂直于杆的恒力F将金属杆从底端无初速推过距离S到达ab位置，立即撤去此
恒力。假如金属杆运动时始终与导轨垂直，不计其余部分电阻，问金属杆从开始上推到滑
回底端的全过程中，在回路里产生的电能是多少？

　　[解析] 金属杆下滑时，由于切割磁感应线在回路里产生感应电流，金属杆便受磁场
力的作用。此外，金属杆还受到重力和导轨对它的支持力（见图2）。当F磁较小时，杆作
加速运动，随着V增大，ε感也增大，I也增大，从而F磁也增大，当F磁＝mgsinθ时，金属
杆便作匀速运动，此时杆有最大速度Vm。
　　据F磁＝mgsinθ得
　　则
　　现用外力F推金属杆到ab位置，撤消F后，金属杆可能继续上滑一定高度再回滑经过ab
位置，继续下滑到底端，在底端处的速度当为Vm，对金属杆从起动到回至底端的全过程用
动能定理：

得：
　　而磁场力做功的数值便是转化成电能的数值，故题中要求的电能
　　例2、如图3所示，abcde和a′b′c′d′e′为两平行的光滑导轨，其中abcd 和a′
b′c′d′部分为处于水平面内的直轨，ab、 a′b′的间距为cd、c′d′间距的2倍，
de、 d′e′部分为与直轨相切的半径均为k的半圆形轨道，且处于竖直平面内，直轨部分
处于竖直向上的匀强磁场中，弯轨部分处于匀强磁场外，在靠近aa′和cc′处放有两根金
属棒MN、PQ，质量分别为2m和m，为使棒PQ能沿导轨运动而通过半圆形轨道的最高点
ee′，在初始位置必须至少给棒MN以多大的冲量？（设两段水平轨均足够长，PQ出磁场
时，MN仍在宽轨道上运动）。

　　解析：若棒PQ刚能通过半圆形轨道的最高点ee′，则由可得其在最高点时
的速度为。
　　棒PQ在半圆形轨道上运动时机械能守恒，设其在dd′时速度为Vd，由
可得：。
　　两棒在直轨上运动的开始阶段，由于回路中存在感应电流，受安培力作用，棒MN速度
减小，棒PQ速度增大，当棒MN的速度V1和棒PQ的速度V2达到时，回路中的磁通量不
再变化而无感应电流，两者便作匀速运动，因而，。
　　在有感应电流存在时的每一瞬间，由F＝ILB及MN为PQ长度的2倍可知，棒MN和PQ所受
安培力F1和F2有关系F1=2F2，从而，在回路中存在感应电流的时间t内，有。
　　设棒MN的初速度为V0，在时间t内分别对两棒用动量定理，有

　　将以上两式相除，考虑到，并将V1、V2的表达式代入，可得
从而，至少应给棒MN的冲量。