六上第三单元《分数除法》错例分析.pdf

1苍南县小学数学苍南县小学数学学生典型错例分析学生典型错例分析六年级上册第三单元六年级上册第三单元分数除法分数除法错例一【错例来源】课堂作业本中的第 22 页第 3 题。【错题再现】在下图中，用阴影表示算式的意义。323=答题情况图 1图 2图 3【题意解读】此题主要考查学生对“分数除以整数”运算意义的理解。【情况说明】学生出错的情况主要有以上几种：一是用阴影只表示出得数92（如图 1），约占 23%；二是只表示出了32，而对于“3”则无从下笔（如图 2），约占 30%；三是表示出了整个图形的32，又表示出了整个图形的31（如图 3），约占 8%，主要集中在后20%的学生。【原因分析】分数除法算式意义的理解是教学的难点，学生在平时的生活中缺乏此类知识的经验基础，教材的配套练习量也不够；教材在呈现这部分内容时先通过动手操作，再到几何直观，最后将算式与操作、图形相联系来帮助学生理解“分数除以整数”算式的意义，知识的学习遵循学生由具体到抽象的认知规律。而此题却以逆向思维为主，将抽象的算式用几何直观来表示出分数除法算式的意义，对学生来说，难上加难。另外，此题需先在图中用阴影表示出 9 格的32，即 6 格，再将 6 格平均分成 3 份，取其中 1份再涂上阴影在这个过程中含有两个整体，分别是总数 9 格和 9 格中的 6 格。而这对于后进生来说，非常难。如果将过程分解得再细致点，此题需要经过：（1）数数，得出共 9 格；（2）93=3（格）。将 9 格平均分成 3 份，每份 3 格；（3）32=6（格）。取 2 份，即 6 格，涂阴影；（4）63=2（格）。将涂阴影的 6 格再平均分成 3 份，每份 2 格；（5）取 1 份，即 2 格，再涂阴影。【教学提示】综上所述，在教学“分数除以整数”的教学过程中，应为学生提供有效的数算分涂算分涂323232操作活动，呈现清晰的几何直观，暴露完整的思维过程，帮助学生深刻地理解分数除以整数算式的意义，并应用逆向思维，防止学生的思维定势，培养灵活应用知识的能力。1.动手操作。根据算式的意思，通过折一折，说一说，将过程细化，初步感知分数除以整数的意义，积累活动经验，为后续的抽象学习建立现实基础。2.几何直观。将操作的过程通过几何图形展示出来，请学生描述平均分的过程：首先将整体进行平均分，取相应的份数；其次将所取的份数再进行平均分。3.建立模型。回顾操作的过程，结合算式想象每一步的关键点，并说给同桌听。4.有效练习。设计有效的相匹配的练习，重视对思维过程和算理的考察，包括基础题、变式题等，加深学生的记忆痕迹。【延伸拓展】先在下图中涂色表示54，再按除法算式分一分，并填空。542=（）542 就是求54的（）是多少。如上题所示，将题目的要求细化，有利于学生理解题意，知道先做什么再做什么，从而将抽象的算式与具体的图形、操作的步骤、意义等建立联系，最后通过填空将思维提升到算理的概括与理解上来。错例二【错例来源】课堂作业本第 24 页第 3 题【错题再现】下面的计算对吗？不对的请改正。41（21+61）=4121+4161=21+23=2（）【题意解读】分数四则运算的熟练掌握情况。【情况说明】学生的错识情况如上，约有 48%的学生认为是对的。学生将乘法分配律“负迁移”到分数除法，有简便运算的意识，但对于除法意义理解不够全面。【原因分析】在本册单元一分数乘法的学习过程中，有乘法分配律的应用，而且学生练习得较为扎实。“因为乘法有分配律，所以除法应该也有分配律”在问及想法时很多学生是这样想的。确实，除法为什么不能有呢？而且学生还举例3（21+61）41=2141+6141=2+32=232在计算这类分数除法算式时却可以有类似“分配律”的应用，说明分数除法里也有除法分配律。【教学提示】学生的想法很合理也很正常，符合他们的身心发展规律和认知特点。那么，面对这样的错例，我们该如何引导他们进行辩证地思考问题呢？1.充分肯定学生的猜想。学生能根据已有的知识经验对未知的新知识进行大胆地猜想和推断，是非常值得肯定的，说明他们的逻辑思维能力已逐步提高。2.引导学生验证结果的正确性。应用“除法分配律”计算“41（21+61）”的结果是否正确，可以用一般的计算方法来反证。遵循四则混合运算的法则，先算小括号里的加法，再算除法得41（21+61）=4132=83，一般计算方法得到的结果83与“除法分配律”得到的结果 2 不一致，可以肯定83是对的，“除法分配律”是错的。3.观察对比，突出本质。（21+61）41（21+61）41=2141+6141=3241=2+32=38=232（“除法分配律”）=232（“一般算法”）得数一致。为什么这类的分数除法的“分配律”可行？因为（21+61）41可以看做是（21+61）4，即可以转化为分数乘法，符合乘法分配律的条件。所以，看上去是除法，可实际上是乘法。但41（21+61），却不能将“”直接转化成“”进行计算。4.总结特点，概括方法。区别 a(b+c)与(b+c)a，在计算时要注意检查，并用一般算4法再仔细验证。【延伸拓展】教科书练习八（P39）第 5 题“计算下面各题”中的“35（1-72）”、“4021（101+53）”等算式均会出现这种错误情况。因此，在做练习的时候，可以通过相似题型的对比进行适当的强化和巩固练习，如 35（1-72）与（1-72）35，4021（101+53）与（101+53）4021等。错例三错例来源】课堂作业本中的第 32 页第 4 题。【错题再现】果园里桃树 42 棵，比苹果树的棵数少71。苹果树有多少棵？第一种答案：42（1+71）=48（棵）第二种答案：424271=36（棵）或42（1-71）=36（棵）第三种答案：其他。4271=6（棵）4271=294（棵）42+71=4271（棵）【题意解读】主要考查学生稍复杂分数除法解决问题的理解与应用。【情况说明】学生的答题情况如下:答题情况人数错误率142（1+71）=48（棵）35 人40.2%2424271=36（棵）42（1-71）=36（棵）11 人12.6%3其他10 人11.5%-64.3%（学生总人数：87 人。）【原因分析】稍复杂的分数除法解决问题是本单元教学的难点。学生在解决此类问题时主要有以下几点认知缺陷或者盲点：1.知识的“负迁移”。从与学生的谈话中了解到，“桃树比苹果树的棵数少71”就是“苹果树的棵数比桃树多71”大部分学生是这样理解的。而实际上这是不相等的。造成5这种认知结构缺陷的原因主要是原有知识的“负迁移”。因为在学生的头脑中存在大量的“反面”例证，如：白兔比灰兔多 8 只，就是灰兔比白兔少 8 只。实际比计划多生产 0.5 吨，就是计划比实际少生产 0.5 吨。学生已经对此类知识进行了抽象和概括“甲比乙多几，就是乙比甲少几”。但这里的“几”仅限于具体的数量，对于分率就不适用了。学生对此类分数除法问题的新的联系没有建立起来，新知识未有效同化，未建立起稳固的连接，而被旧有的理解所代替。2.对分率的理解不够准确和深刻。具体表现为找不出题目中的“单位 1”，对于题目中的分数是表示具体的量还是分率？无法理解和准确区分。3.解决问题的方法和策略单一。在学生的答题中，仅有 1 人有画线段图来帮助理解和解决问题，学生对于抽象的问题无法通过几何直观进行分析，更无法准确找出相应的数量关系。4.教材强调用方程解答，但在答题的过程中，仅有 5 位同学（约占 0.5%）用方程的方法解决这类问题，99%的同学选择用算术方法解答。方程方法有它的优势，但学生由于解方程过程的繁琐而不愿意用方程解答。而算术方法是方程方法的逆向方法，在理解上比方程更难。【教学提示】通过以上分析，在教学过程中应立足学生的难点和疑点，采用多种方式降低题目的抽象性，采用几何直观、数量分析等方式帮助学生理解题意，厘清思路。1.简化处理信息，理解分率含义。在课堂上引导学生对信息进行有效地简化，培养学生由外化进入简约内化的处理能力。以分数的意义为主线，多层次、多角度展开对分率的讨论，使学生真正理解分率的含义。2.直观呈现，发挥线段图作用。线段图是学生从直观向抽象过渡的桥梁，是分析问题和理解数量关系的好助手。因此，在教学过程中应引导学生认识线段图，掌握看线段图的方法，并尝试画线段图，提高用线段图的意识和能力。3.强调数量关系。数量关系是解决问题的最重要的策略，它反映的是数量之间本质的内丰联系。在教学时，可以经常做“根据已知条件，说一说隐含数量关系式”的练习。4.凸显方程优势，促进有效建模。5.拓展题目类型，设计对比练习。【延伸拓展】61.课前补充“求一个数比另一个数多（少）几分之几”的相关知识，意图是让学生在学习例题之前明白“甲比乙多41，不可以说乙比甲少41”，完善“比较量相同、标准量不同，分率也不同”的认知结构。如：男生 4 人 女生 5 人 女生比男生多 1 人，多的人数是男生的（41），也就是女生比男生多（41）；男生比女生少 1 人，少的人数是女生的（51），也就是男生比女生少（51）。思考：男女生相差的人数都是 1 人，为什么说女生比男生多41，男生比女生少51，而不是男生比女生少41呢？2.设计对比练习。（1）标准量对比练习学校航模组有 24 人，绘画组的人数比航模组少41。绘画组有多少人？学校航模组有 24 人，航模组的人数比绘画组少41。绘画组有多少人？（2）比较量对比练习学校航模组有 24 人，航模组的人数比绘画组少41。绘画组有多少人？学校航模组的人数比绘画组少41，正好少 24 人。绘画组有多少人？（3）分率量对比练习学校航模组有 24 人，比绘画组人数的 2 倍少 6 人。绘画组有多少人？学校航模组有 24 人，比绘画组人数的41少 6 人。绘画组有多少人？