专题---圆锥曲线中的最值与范围问题.doc

高三数学专题复习
圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略
最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。
一．求距离的最值或范围：
例1.设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为 ，
解析：抛物线y=x2的焦点为F（0 ，），准线为y=，过A、B、M准线y=的垂线，垂足分别是A1、B1、M1，则所求的距离d=MM1+=(AA1+BB1) +=(AF+BF) +≥AB+=×4+=,当且仅当弦AB过焦点F时，d取最小值，
评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
练习：
1、(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ A ）A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2）
2、（2008安徽文）设椭圆其相应于焦点的准线方程为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：;
（Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值
解 ：（1）由题意得：

椭圆的方程为
(2)方法一：
由（1）知是椭圆的左焦点，离心率
设为椭圆的左准线。则
作，与轴交于点H(如图)
点A在椭圆上

同理
。
方法二：
当时，记，则
将其代入方程 得
设 ，则是此二次方程的两个根.

................(1)
代入（1）式得 ........................(2)
当时， 仍满足（2）式。

（3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得
，

y
O

.
.
.
M

x
.
当时，取得最小值
3、我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，． 如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
(1)若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
解：（1） ，
，于是，
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则
，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．
．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；
若，当取得最小值时，点的横坐标是或．
4、已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ① 因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ②
将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，此时

二．求角的最值
例2．M，N分别是椭圆的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，则∠MPN的最大值是 .
解析：不妨设l为椭圆的右准线，其方程是，点，直线PM和PN倾斜角分别为.
∵
∴
于是
∵
∴ 即∠MPN的最大值为.
评注：审题时要注意把握∠MPN与PM和PN的倾斜角之间的内在联系.
练习：
1、已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。
（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
（1）解：依题意e ，
∴a＝3，c＝2，b＝1，
又F1(0，－2)，对应的准线方程为
∴椭圆中心在原点，所求方程为
(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分
∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx＋m
由消去y，整理得 (k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0
∵l与椭圆交于不同的两点M、N，
∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0 即m2－k2－9＜0 ①
设 M(x1,y1),N(x2,y2) ②
把②代入①式中得，
∴k＞或k＜－
∴直线l倾斜角
三、求几何特征量代数和的最值
例3.点M和F分别是椭圆上的动点和右焦点，定点B(2,2).
⑴求|MF|+|MB|的最小值. ⑵求|MF|+|MB|的最小值.
解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=，准线方程x=±.
⑴|MF| + |MB| = 10―|MF′ | + |MB| =10―（|MF′|―|MB|）≥10―|F′B|=10―2.
故当M，B，F′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―2.
⑵过动点M作右准线x=的垂线，垂足为H，则.于是
|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=.可见，当且仅当点B、M、H共线时，|MF|+|MB|取最小值.
评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。
练习：
1、点P为双曲线的右支上一点，M，N分别为和上的点，则PM－PN的最大值为 .
解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点和右焦点.对于双曲线右支上每一个确定的点P，连结PF1，并延长PF1交⊙F1于点Mo.则PM0为适合条件的最大的PM，连结PF2,交⊙F2于点No.则PN0为适合条件的最小的PN.于是

故PM－PN的最大值为6.
评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.
2．已知e1，e2分别是共轭双曲线和的离心率，则e1+e2的最小值为 .
解析：

考虑到，故得.
即e1+e2的最小值为.
评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.
3．（2012年高考（山东文））如图,椭圆的离心率为,直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;
(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.
解:(I)① 矩形ABCD面积为8,即②
由①②解得:,∴椭圆M的标准方程是.
(II),
设,则,
由得. .
线段CD的方程为,线段AD的方程为.
(1)不妨设点S在AD边上,T在CD边上,可知.
所以,则,
令,则
所以,
当且仅当时取得最大值,此时;
(2)不妨设点S在AB边上,T在CD边上,此时,
因此,此时,
当时取得最大值;
(3)不妨设点S在AB边上,T在BC边上,可知
由椭圆和矩形的对称性可知当时取得最大值;
综上所述当和0时,取得最大值.
四、求面积的最值
例4．已知平面内的一个动点P到直线的距离与到定点的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C.
⑴求曲线C的方程；⑵过原点O的直线l与曲线C交于M，N两点.求△MAN面积的最大值.
解析：⑴设动点P到l的距离为d，由题意
根据圆锥曲线统一定义，点P的轨迹C为椭圆.
∵, 可得 ∴故椭圆C的方程为：
⑵若直线l存在斜率，设其方程为l与椭圆C的交点
将y=kx代入椭圆C的方程并整理得.
∴
于是

又 点A到直线l的距离
故△MAN的面积
从而
①当k=0时，S2=1得S=1
②当k>0时，S2<1得S<1
③当k<0时， 得
若直线l不存在斜率，则MN即为椭圆C的短轴，所以MN=2. 于是△MAN的面积.
综上，△MAN的最大值为.
评注：本题将△MAN的面积表示为l的斜率k的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。当然，也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程，由△≥0求得面积S的最大值。
练习：
1．（2012年高考（浙江理））如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.
【解析】 (Ⅰ)由题:; (1)
左焦点(﹣c,0)到点P(2,1)的距离为:. (2) 由(1) (2)可解得:. ∴所求椭圆C的方程为:.
(Ⅱ)易得直线OP的方程:y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0.
∵A,B在椭圆上, ∴.
设直线AB的方程为l:y=﹣(m≠0), 代入椭圆:.
显然.
∴﹣<m<且m≠0. 由上又有:=m,=.
∴|AB|=||==.
∵点P(2,1)到直线l的距离为:.
∴SABP=d|AB|=,其中﹣<m<且m≠0.
利用导数解:
令, 则
当m=时,有(SABP)max.
此时直线l的方程.
2．（2012年高考（广东理））(解析几何)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)在椭圆上,是否存在点,使得直线:与圆:相交于不同的两点、,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.
解析:(Ⅰ)因为,所以,于是.设椭圆上任一点,则().
当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得,与假设不符合,舍去.
当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得.于是,椭圆的方程是.
(Ⅱ)圆心到直线的距离为,弦长,所以的面积为,于是.而是椭圆上的点,所以,即,于是,而,所以,,所以,于是当时,取到最大值,此时取到最大值,此时,.
综上所述,椭圆上存在四个点、、、,使得直线与圆相交于不同的两点、,且的面积最大,且最大值为.
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意∴b＝1，∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①当AB⊥x轴时，|AB|＝.
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知＝，得m2＝(k2＋1)．把y＝kx＋m代入椭圆方程，
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|2＝(1＋k2)＝＝
＝3＋＝3＋(k≠0)≤3＋＝4.当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．
当k＝0时，|AB|＝.
综上所述，|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值：Smax＝×|AB|max×＝.
五.求最值条件下的曲线方程
【例5】椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.
（1）用直线的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。
解：（1）设椭圆E的方程为( a＞b＞0 )，由e =
∴a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量的比为2，
①

②
∴ 即
由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0
由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点得：
③

④

⑤

而S△OAB ⑤
由①③得:x2+1=－，代入⑤得：S△OAB =
（2）因S△OAB=,
当且仅当S△OAB取得最大值
此时 x1 + x2 =－1, 又∵ =－1 ∴x1=1,x2 =－2
将x1,x2及k2 = 代入④得3b2 = 5 ∴椭圆方程x2 + 3y2 = 5
练习：
1.已知椭圆的焦点F1(―3,0)、F2(3,0)且与直线x―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.
解法1：设椭圆为=1与直线方程x―y+9=0联立并消去y得：
(2 a2― 9) x2 + 18 a2 x + 90 a2―a4= 0，
由题设△=(18 a2)2―4(2 a2―9) (90 a2―a4) ≥0
a4―54 a2 + 405 ≥0a2≥45或a2≤9.∵a2－9> 0, ∴a2≥45, 故amin=3，得（2a）min=6,
此时椭圆方程为.
解法2：设椭圆=1与直线x―y+9=0的公共点为M(acosα,)，
则acosα―+9=0有解.∵=―9
cos(α+)=，∴||1≥9a2≥45,
∴amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆的方程.
解法3：先求得F1(―3，0)关于直线x―y+9=0的对称点F(―9,6)，设直线x―y+9=0与椭圆的一个交点为M，则2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|≥|FF2|=6，于是(2a)min=6,
此时易得： a2=45, b2=36，于是椭圆的方程为.
评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。
解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上，灵活合理地运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻求恰当的解题方法。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。
六、求参变量的取值范围：
例6、如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列
(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围
解 (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3 故椭圆方程为=1
(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|= 因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得(－x1)+(－x2)=2×,由此得出 x1+x2=8
设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4
(3)解法一 由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上
得
①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,
即9×=0(x1≠x2)
将 (k≠0)
代入上式，得9×4+25y0(－)=0 (k≠0)
即k=y0(当k=0时也成立)
由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,
所以m=y0－4k=y0－y0=－y0
由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，
得－＜y0＜,所以－＜m＜
解法二 因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为
y－y0=－(x－4)(k≠0) ③
将③代入椭圆方程=1,得
(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0
所以x1+x2==8,解得k=y0 (当k=0时也成立)
(以下同解法一)
练习：
1、(2012年南海区高三8月摸底考试)已知椭圆的两焦点为、,并且经过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知圆:,直线:,证明:当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交;并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.
2、已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.
（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.
解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x>0）
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，
此时A（x0，），B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，
代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
解得|k|>1，
又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）
＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2
综上可知的最小值为2

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