2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)理数答案解析(正式版)(解析版).doc

简单学习网

第I卷（选择题共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知得，故，故选C．
考点：1、复数的概念；2、集合的运算．
2．下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．

【答案】D
考点：函数的奇偶性．
3．若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（　）
A．11 　　　B．9 C．5 　　　D．3
【答案】B
【解析】
试题分析：由双曲线定义得，即，解得，故选B．
考点：双曲线的标准方程和定义．
4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 （万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出 （万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )[来源:学_科_网Z_X_X_K]
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元

【答案】B
考点：线性回归方程．
5．若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为
，故选A．
考点：线性规划．
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )

A．2 B．1 C．0 D．
【答案】C
【解析】
试题分析：程序在执行过程中的值依次为：；；
；；；，程序结束，输出
，故选C．
考点：程序框图．
7．若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B

考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．
8．若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】
试题分析：由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．
考点：等差中项和等比中项．
9．已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】A

考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
10．若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C

考点：函数与导数．
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
11． 的展开式中，的系数等于 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】
试题分析： 的展开式中项为，所以的系数等于．
考点：二项式定理．
12．若锐角的面积为 ，且 ，则 等于________．
【答案】
【解析】
试题分析：由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．
考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．
13．如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．

【答案】
【解析】
试题分析：由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分的概率等于．
考点：几何概型．
14．若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
考点：分段函数求值域．
15．一个二元码是由0和1组成的数字串 ，其中 称为第 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组：
其中运算 定义为： ．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定 等于 ．
【答案】．

考点：推理证明和新定义．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)分布列见解析，期望为．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为．则银行卡被锁死相当于三次尝试密码都错，基本事件总数为，事件包含的基本事件数为，代入古典概型的概率计算公式求解；(Ⅱ)列出随机变量的所有可能取值，分别求取相应值的概率，写出分布列求期望即可．
试题解析：（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则
（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3[来源:]
又
所以X的分布列为

所以．
考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．

17．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(Ⅰ)求证：平面 ；
(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．

【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) ．

试题解析：解法一：（Ⅰ）如图，取的中点，连接，，又G是BE的中点，
，
又F是CD中点，，由四边形ABCD是矩形得，，所以
．从而四边形是平行四边形，所以，,又
，所以．

所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．
解法二：(Ⅰ)如图，取中点，连接，，又是的中点，可知，
又面，面，所以平面．
在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得．
又面，面，所以面．
又因为，面，面，
所以面平面，因为面，所以平面．

（Ⅱ）同解法一．
考点：1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角．
18.．已知椭圆E：过点，且离心率为．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) G在以AB为直径的圆外．
在圆上．
试题解析：解法一：(Ⅰ)由已知得
解得
所以椭圆E的方程为．

故
所以，故G在以AB为直径的圆外．
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设点，则
由所以[来源:ZXXK]
从而

所以不共线，所以为锐角.
故点G在以AB为直径的圆外．
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．
19．已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.
(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．
（1)求实数m的取值范围；
（2)证明：
【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)（1）；（2）详见解析．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移： 或；横向伸缩或平移：（纵坐标不变，横坐标变为原来的倍），(时，向左平移个单位；时，向右平移个单位)；(Ⅱ) （1)由(Ⅰ)得，则，利用辅助角公式变形为（其中），方程在内有两个不同的解，等价于直线和函数有两个不同交点，数形结合求实数m的取值范围；（2)结合图像可得和，进而利用诱导公式结合已知条件求解．
试题解析：解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为
(2)1)
（其中）
依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.
2)因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，.
当时，
当时,
所以
解法二：(1)同解法一.
(2)1) 同解法一.
2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，.
当时，
当时,
所以
于是

考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．
20已知函数，
(Ⅰ)证明：当；
(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对
(Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ) ．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)构造函数只需求值域的右端点并和0比较即可；(Ⅱ)构造函数即，求导得
，利用导数研究函数的形状和最值，证明当时，存在，使得即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当时，对于故，则不等式变形为，构造函数，只需说明，易发现函数在递增，而，故不存在；当时，由(Ⅱ)知，存在,使得对任意的任意的恒有，此时不等式变形为，
构造，易发现函数在递增，而，不满足题意；当时，代入证明即可．
试题解析：解法一：(1)令则有
当 ,所以在上单调递减；
故当时，即当时，．
(2)令则有
当 ,所以在上单调递增,
故对任意正实数均满足题意.
当时，令得．
取对任意恒有,所以在上单调递增, ,即
.
综上，当时，总存在,使得对任意的恒有．
(3)当时，由（1）知，对于故，
，
令，则有
故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.
当时，由（2）知存在,使得对任意的任意的恒有．
此时,
令，则有
故当时，,在上单调递增，故,即,记与中较小的为，
则当，故满足题意的t不存在.
当，由（1）知，，
令，则有
当时，,所以在上单调递减，故,
故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.
综上，.
解法二：（1）（2）同解法一.
（3）当时，由（1）知，对于，
故，
令，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
从而得到当时，恒有,所以满足题意的t不存在.
当时，取
由（2）知存在,使得.
此时,
令，此时 ,
记与中较小的为，则当，
故满足题意的t不存在.
当，由（1）知，，
令，则有
当时，,所以在上单调递减，故,
故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.[来源:学_科_网]
综上，.
考点：导数的综合应用．
21．本题设有三个选考题，请考生任选2题作答.
选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵
(Ⅰ)求A的逆矩阵；
(Ⅱ)求矩阵C，使得AC=B.
【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ)．
【解析】

试题分析：因为，得伴随矩阵，且，由可求得；(Ⅱ)
因为，故，进而利用矩阵乘法求解．
试题解析：(1)因为
所以
(2)由AC=B得,
故
考点：矩阵和逆矩阵．
选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为

(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得 ，利用，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．
试题解析：(Ⅰ)消去参数t，得到圆的普通方程为,
由，得,
所以直线l的直角坐标方程为.
(Ⅱ)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即
解得
考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．
选修4-5：不等式选讲
已知，函数的最小值为4．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的最小值．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)由绝对值三角不等式得 的最小值为，故，即 ；(Ⅱ)利用柯西不等式求解．
试题解析：(Ⅰ)因为
当且仅当时，等号成立
又，所以,所以的最小值为,
所以．
(Ⅱ)由(1)知，由柯西不等式得

,
即.
当且仅当,即时，等号成立
所以的最小值为.
考点：1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．

咨询电话：4008110818 简单学习网