弧、弦、圆心角.doc

24．1．3 弧、弦、圆心角

教学任务分析
教学目标
知识技能
通过探索理解并掌握:
（1）圆的旋转不变性；
（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理；
数学思考
（1）通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力；
（2）利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
解决问题
学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题．
情感态度
培养学生积极探索数学问题的态度及方法．
重点
探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．
难点
圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1 做一做议一议

活动2 巩固练习

活动3 议一议

活动4 小结，布置作业
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
同时探究圆心角、弧、弦之间关系定理．
巩固对知识的理解．

拓展创新、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力．

巩固新知，归纳总结．
教学过程设计

一、 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
活动1
1.按下面的步骤做一做：
(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；
(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．
注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．

图1
(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．
(课件：探究三量关系)
师生活动设计：
教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知．
在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即，AB=A′B′．
进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．
师生活动设计：
本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．
二、主体活动，巩固新知，进一步理解三量关系定理．
活动2：
1．如图2，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC．

图2
学生活动设计：
学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析．由，得到，△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC．
教师活动设计：
这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法．
〔证明〕∵
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形．
又 ∠ACB＝60°，
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA．
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC．
2．如图3，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．

图3
学生活动设计：
学生分析，由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是得到∠BOD＝×180°＝120°．
教师活动设计：
此问题的解决方式和活动3类似，不过要注意学生对辅助线OC的理解，添加辅助线OC的原因．
三、拓展创新、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力
活动3：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
师生活动设计：
小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．

图4
如图4所示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．
教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉．
四、归纳小结、布置作业
活动4：
小结：弦、圆心角、弧三量关系．
作业：课本第90页练习2． 习题24．1 第2、3题，第10题．