培优训练题.新.doc

(2005.04.04)
3.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（5，6），与x轴相交于点B、C两点，P是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），作PD∥AC，交二次函数的图象于点D，交x轴的正半轴于点E，如果∠ABC的正切值为1。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）请你探究：四边形APDC可能是平行四边形吗？若可能，求出此点D的坐标；若不可能，请说明理由；
（3）当∠PDC=45°，求线段CD的长。

(2005.04.05)4.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD边上的一点（不和C、D重合），线段AE、BC的延长线相交于点F。
（1）当点E在什么位置时，△ADE和△FCE全等？请证明你的结论；
（2）已知AB=6，BC=3，设DE=x，试用关于x的代数式表示线段BF的长，并写出x的取值范围；
（3）阅读下面材料，然后回答下面的问题。
已知a﹥0，b﹥0。求证：a2+b2≥2ab。
证明：∵（a－b）2≥0，∴a2+b2－2ab≥0即a2+b2≥2ab。
问题：在（2）的条件下，x取什么数值时，DE+BF的值最小，并求出最小值。

5.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点DAC边上，以D为圆心的圆与AB相切于点E。
（1）求证：；
（2）设⊙D与BC交于点F，当CF=2时，求CD的长；
（3）设CD=a，试给出2个a值，使⊙D与BC没有公共点，并选其中一个说明你给出的a的值符合要求。(05.04.06)

(05.04.07)6. 如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合）。Q点在BC上。
（1）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
（2）试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。

(05.04.08)7.如图，已知AB是⊙O的直径，P是AB上的一个动点，弦CD经过点P，且垂直于AB，连结AC，BC，OD。
（1）由条件可以得到许多结论，例如：弧AC=弧AD，∠APC=∠CPB=∠BPD=∠DPA＝Rt∠，AC2+BC2=AB2……请你再写四个结论；
（2）当AC∥OD时，求∠B的度数；
（3）已知⊙O的半径为2，设△ACP的面积为S1，△BCP的面积为S2，△DOP的面积为S3。问：是否存在点P使S1·S2=S32？若存在。求此时AP的长；若不存在，请说明理由。

(05.04.09)
8.已知二次函数y=4x2－4（m+2）x+m2+4m－5，其中－5＜m＜1时。
（1）求证：此二次函数的图象与X轴必有两个交点；
（2）设其图象与x轴的两个交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，求△ABC的面积S的最大值；
（3）如果∠BAC=α，∠ABC=β，问在（2）的条件下，tanα+tanβ的值是否确定？若确定，请求出tanα+tanβ的值；若不确定，请说明理由。

(04.10)9.如图，在直角坐标系中，以x轴上一点P（1,0）为圆心的圆与x轴,y轴分别交于A、B、C、D四点，连结CP，cos∠APC＝1/2。
(1) 求⊙P的半径R；
(2) 若过弧CB的中点Q作⊙P的切线MN交x轴于M,交轴于N，求直线MN的解析式；
(3) 求图中阴影部分面积S；
(4)一抛物线过A与B，且顶点在圆上，求抛物线的解析式.

10.已知：如图，AB是⊙O直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，在射线PA上截取PD=PC，连结CD并延长交⊙O于点E。
（1）求证：∠ABE＝∠BCE；
（2）当点P在AB的延长线上运动时，
判断sin∠BCE的值是否随点P位置的变化 而变化，提出你的猜想并加以证明。
（1） 证明：(2)猜想：

11. 如图，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=20cm，P、Q两点同时从A点出发，分别以1厘米/秒的速度沿A→B→C→D→A运动，当Q点回到A点时，P、Q两点即停止运动.设P、Q点运动时间为t秒.
(1) 当P、Q分别在边AB和边BC上运动时,设P,B,Q以为顶点的三角形面积为s,请写出s关于t的函数解析式及自变量t的取值范围.
(2) 在整个运动过程中,t取何值时,PQ与BD垂直.

12.如图，菱形ABCD的边长为24厘米，，质点P从点A出发沿线路AB→BD作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA作匀速运动.
(1) 求BD的长;
(2) 已知质点P,Q运动的速度分别为4厘米/秒、5厘米/秒,经过12秒后,P,Q分别到达M,N两点,若按角的大小进行分类,请你确定△AMN是哪一类三角形,并说明理由;
(3) 设题(2)中的质点P,Q分别从M,N两点同时沿原路返回,质点P的速度不变,质点Q的速度改变为厘米/秒,经过3秒后,P,Q分别到达E,F两点,若△BEF与题(2)中△AMN的相似,求a的值.

13.如图，是⊙O的直径，C在⊙O的半径AO上运动，PCAB交⊙O于E，PT切
⊙O于点T，PC=.当CE正好是⊙O的半径时，PT=2。
（1） 求⊙O的半径；
（2） 设PT2=，AC=，写出关于的函数解析式；
（3） ⊿PTC是否可能变为以P为顶点的等腰三角形？若能，请求出⊿PTC的面积；若不能，请说明理由。

14.如图已知AB⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A，D，且AD=6，AB=5，CD=3，P 是线段AD上的一个动点，设AP=a，DP=b，c=+， c的最小值是 ；

15.为了能有效地使用电力资源,南通供电公司从2003年起进行居民“峰谷”用电试点,每天8:00至21:00用电每千瓦时0.55元(“峰电”价),21:00至8:00每千瓦时0.30元(“谷电”价),目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.52元。
（1） 一居民家庭在某月使用“峰谷”电后，付费95元，经测算比不使用“峰谷”电节约9元，问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦时？
（2）当“峰电”用量小于每月总电量的百分之几时，使用“峰谷”电合算？

16.如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，AC=AB，CB交⊙O于点D，点E为弧AB的中点，连结AD，在不添加辅助线的情况下，
⑴找出图中存在的全等三角形，并给出证明；
⑵图中存在你所学过的特殊四边形吗？如果存在，请你找出来并给出证明。

17.如图，矩形ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与AB、CD的延长线分别交于点E、F。
⑴求证：；
⑵当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论。

24、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
探究：设A、P两点间的距离为X。
⑴当点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图⑴）。
⑵当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为Y，求Y与X之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图⑵）。
⑶当点P在线段AC上滑动时，是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的的值；如果不可能，试说明理由（如图⑶）。（图⑷、图⑸、图⑹的的形状、大小相同，图⑷供操作、实验用，图⑸和图⑹备用）

25、如图，已知四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上。
求证：EF和GH互相平分。

26、已知：抛物线与X轴的一个交点为A(-1,0)。
⑴求抛物线与X轴的另一个交点B的坐标。
⑵点D是抛物线与Y轴的交点，点C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式。
⑶点E是第二象限内到X轴、Y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在⑵中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

27、在平面直角坐标系中（单位长度：1cm），A、B两点的坐标分别为(-4,0)，(2,0)，点P从点A开始以2cm/s的速度沿折线AOY运动，同时点Q从点B开始以1cm/s的速度沿折线BOY运动。
⑴在运动开始后的每一时刻一定存在以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形吗？如果存在，那么以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形相似吗？以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形吗？请分别说明理由。
⑵试判断时，以点A为圆心，AP为半径的圆与以点B为圆心、BQ 半径的圆的位置关系；除此之外⊙A与⊙B还有其他位置关系吗？如果有，请求出的取值范围。
⑶请你选定某一时刻，求出经过三点A、B、P的抛物线的解析式。