量子力学.doc

一、简答题
1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
2. 简并、简并度。
3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在立体角中被测到的几率。
4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在球壳中被测到的几率。
5. 用球坐标表示，粒子波函数表为。写出粒子在方向的立体角中且半径在范围内被测到的几率。
6. 一粒子的波函数为，写出粒子位于间的几率。
7. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。
8. 写出三维无限深势阱

中粒子的能级和波函数。
9. 一质量为的粒子在一维无限深方势阱
中运动，写出其状态波函数和能级表达式。
10. 粒子在一维势阱
中运动，波函数为，写出的跃变条件。
11. 何谓几率流密度？写出几率流密度的表达式。
12. 写出在表象中的泡利矩阵。
13. 电子自旋假设的两个要点。
14. 量子力学中，一个力学量守恒的条件是什么？用式子表示。
15. 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？
16. 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。
17. 给出如下对易关系：

18. 量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开：
，
写出展开式系数的表达式。
19. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ，
准确叙述 及 分别表示什么样的物理意义。
20. 一个电子运动的旋量波函数为 ，写出表示电子自旋向上、位置在处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。
21. 二电子体系中，总自旋 ，写出（）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
22. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
23. 给出一维谐振子升、降算符的对易关系式；粒子数算符与的关系；哈密顿量用或表示的式子；（亦即）的归一化本征态。
24. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？在两种表象中，各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？
25. 使用定态微扰论时，对哈密顿量有什么样的要求？
26. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。
27. 何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？
28. 给出光学定理的表达式。光学定理的意义何在？
29. 散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？
30. 对于阶梯形方势场
，
如果（）有限，则定态波函数连续否？其一阶导数 连续否？
31. 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。
二、计算证明题
1. 计算下列对易式：
(1) （2）
2. 一维运动中，哈密顿量 ，求
3. 计算：
4. 质量为的粒子处于能量为的本征态，波函数为，问粒子在什么样的位势中运动？
5. 一电子局限在10-14米的区域中运动。已知电子质量9.1110-31千克，试计算该电子的基态能量（提示：可按长、宽、高均为10-14米的三维无限深势阱计算）。
6. 求的归一化常数：
（1） ；
（2） 。 （积分公式：）
7. 设粒子处于一维无限深势阱

中，求处于定态中的粒子位置x的平均值。
8. 一个谐振子处于基态：求势能的平均值及动能的平均值。
9. 质量为的粒子处于长为的一维盒子中，

在时,粒子波函数为

求的级数表达式和级数系数表示式。
10. 考虑如下一维波函数
（1）
其中为已知常数。
(1) 利用S.eq求位势和能量。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当）；
(2) 该势与轨道角动量为的氢原子态的径向势有何异同?
11. 一个质量为的粒子在势作用下作一维运动。假定它处在的能量本征态，
（1）求粒子的平均位置； （2）求粒子的平均动量；
（3）求； （4）求粒子的动量在间的几率。
12. 一质量为的粒子沿正方向以能量向处
的势阶运动。当时，该势为；当时，该势为。
问在处粒子被反射的的几率多大？

0 X

13. 若粒子从右边入射，求如图所示一维阶梯势的
反射和透射系数。

0 X

14. 设力学量不显含时间，证明在束缚定态下， 。
15. 已知厄米算符、互相反对易：；是算符的本征态：，本征值。求在态中，算符的平均值。
16.为的本征态，本征值为。求在的本征态下，和的平均值。
17. 证明：厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
18. 对于氢原子基态,求电子处于经典禁区的几率(已知氢原子能级,基态波函数为半径, 势能)。
19. 氢原子处于基态：,求：
（1）势能的平均值；
（2）最可几半径。
20. 为的二本征态，本征值分别为。证明：
（1）矩阵元之间的关系为

（2）在的任何本征态（比如）下，恒有 。
21. 在半径为的硬钢球内，有一质量为的粒子处于基态。现突然将这硬钢球扩展到原来半径的两倍，求扩展后系统中粒子处在基态的几率是多少？
公式
22. 一电子处于态，测力学量，测值如何？ 测力学量，可能得哪些测值？写出在其自身表象中的矩阵表示。
23. 在表象中,求的本征态。
24. 已知、分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，为电子的总角动量。的共同本征态为。证明是的本征态，并就和两种情况分别求出其相应的本征值。
25. 氢原子的波函数（时刻）为
，
求时刻的平均能量，时刻氢原子具有能量的几率，以及氢原子相应角动量在方向投影为零的几率。其中为定态空间波函数。
26. 一维运动粒子的状态是
，
求：
(1) 归一化常数；
(2) 粒子动量的几率分布；
(3) 粒子动量平均值。
27. 粒子自旋处于的本征态 ，试求和的测不准关系。

28. 氢原子处于状态 ，
(1) 求轨道角动量的分量的平均值；
(2) 求自旋角动量的分量的平均值；
(3) 求总磁矩的分量的平均值。
29. 氢原子处于状态。试求：
（1）能量算符、角动量平方算符和角动量分量的可能取值；
（2）上述三个量取各可能值的几率；
（3）上述三个量的平均值。
30. 证明pauli矩阵满足
。
31. 、分别为电子的自旋和轨道角动量，为电子的总角动量。证明：
（1）[]=0； （2） []=0，
32. 证明：，其中。
33. 已知电子的自旋角动量、轨道角动量和总角动量分别为和，，的共同本征态为。利用证明：
。
34. 质量为的粒子在二维无限深方势阱中运动，
，
（1）试直接写出（不必求解）基态和第一激发态的能级和能量本征函数；
（2）加上微扰 ，
求第一激发态能量至级、基态能量至级。
35. 在时间时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：
，
式中是振子的第个本征函数。
（1）试求的数值；
（2）写出在时刻的波函数；
（3）在时振子能量的平均值是多少？秒时呢？
36. 质量为的粒子受微扰后，在一维势场

中运动。
（1）题中应当把什么看作微扰势？
（2）写出未受微扰时的能级和波函数；
（3）用微扰论计算基态能量到二级近似，其中。
提示：。
37 粒子在一维势场
（1）
中运动，甚小，试求基态能量准确到的修正值以及应满足的条件。
38.（1）粒子在二维无限深方势阱中运动，
， （1）
试写出能级和能量本征函数（能量最低的两个态）；
（2）加上微扰 （2）
求最低的两个能级的一级微扰修正。
39. 一维无限深势阱中的粒子，受到微扰

的作用，求基态能量的一级修正。 0
40. 考虑在无限深势阱（）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。
41. 两个自旋1/2，质量为的无相互作用的全同费米子同处线性谐振子场中，写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，指出简并度。
42. 一维无限深的、宽为1的势阱中含有三个电子，势
。
在温度，并忽略库仑相互作用近似下，三个电子的平均能量。问在同样近似下，在阱中若有四个电子时，其平均能量是多少？
43. 两个质量为、自旋1/2的全同费米子处在一维无限深势阱中，阱宽为，粒子间相互作用势可作为微扰。试用单粒子态和自旋态组出三个最低能态，用一阶微扰论计算第二、第三个最低能态的能量，忽略自旋相关力，积分不必求出。
44. 宽为的一维盒子内有两个质量均为的无自旋的粒子，其相互作用势为
，
计算基态能量，精确到的一次项。
45. 设粒子在一维无限深方势阱

中运动，处于基态。时刻阱宽突然变为，粒子波函数来不及改变，即
。
试问：对于加宽了的无限深方势阱
，
测得粒子处于能量仍保持为的新的本征态下的概率为多大？
46. 一维势阱具有下列单粒子能量本征态：
；对应能级
两个无相互作用的粒子置于该势阱中。对下列不同情况写出：两粒子体系可具有的两个最低总能量值及相应的简并度；与上述能级对应的所有二粒子波函数。
（1）两个自旋为1/2的可区分粒子；
（2）两个自旋为1/2的全同粒子；
（3）两个自旋为0的全同粒子。
47. 一维谐振子，哈密顿。采用自然单位：，则。基本对易式可表成
， （1）
令 （2）
证明（1） ； （3）
（2）。 （4）
其中
为声子数算符。
48. 用数学归纳法证明：。
49. 已知为声子数算符，其归一化本征态为
，
利用，证明：
。
50. 设有两类谐振子，相应的声子产生和湮没算符用； 表示，它们满足
。
定义算符

证明：

51. 设哈米顿算符 ，其中是正实数，是正参数，和为玻色型产生算符和消灭算符，用微扰论求的基态本征值（准至级）和相应的本征态（准至级）。