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常见递推数列通项的求法
类型1、 型
解题思路：利用累差迭加法，将，=，…，=,各式相加，正负抵消，即得.
例1、在数列{}中，,，求通项公式.
解：原递推式可化为：
则
，……，
逐项相加得：.故.
例2．在数列中，且，求通项.
解：依题意得，，，把以上各式相加，得

【评注】由递推关系得，若是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若非常数，而是关于的一个解析式，可以肯定数列不是等差数列，将递推式中的分别用代入得个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。
例3、已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由
得
则

所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
练习：
1、 已知满足，求的通项公式。
2、 已知的首项，（）求通项公式。
3、 已知中，，，求。
类型2． 型
解题思路：利用累乘法, 将各式相乘得，，即得.
例4．在数列中，，，求通项.
解：由条件等式得，，得.
【评注】此题亦可构造特殊的数列，由得，，则数列是以为首项，以1为公比的等比数列，得.
例5、设数列{}是首项为1的正项数列，且则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）.
解：原递推式可化为：
=0
∵ ＞0，
则 ……，
逐项相乘得：，即=.
练习：1、已知：，（）求数列的通项。
2、已知中，且求数列通项公式。
类型3、 型
解题思路：利用待定系数法，将化为的形式，从而构造新数列是以为首项，以为公比的等比数列.
例6．数列满足，求.
解：设，即对照原递推式，便有
故由得，即，得新数列是以为首项，以2为公比的等比数列。
（n=1,2,3…），，即通项
【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“”作适当的分离，配凑成等比数列的结构，从而构造出一个新的等比数列。
练习：1、已知满足，求通项公式。
2、已知中，，（）求。
分析：构造辅助数列， ，则
[同类变式]
1、已知数列满足，且，求通项
分析：（待定系数），构造数列使其为等比数列，
即，解得
求得
2、已知：，时，，求的通项公式。
解：设

∴ 解得： ∴
∴ 是以3为首项，为公比的等比数列
∴ ∴
3、已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，
则，
故

因此，
则
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+…+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
类型4．型
例7 已知数列的前项和满足
（1） 写出数列的前3项；
（2） 求数列的通项公式.
解：（1）由，得.
由,得,
由,得
(2)当时,有,即 ①
令,则,与①比较得,
是以为首项,以2为公比的等比数列.
,故
引申题目：
1、已知中，，（）求
2、在数列{}中，求通项公式。
解：原递推式可化为：
①
比较系数得=-4，①式即是：.
则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.
∴即.
3、已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，
故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式
4、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式
5、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式
6、已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，
得 ⑤
由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
类型5、取倒数
例8、已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。
解： 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.
例9、数列中，且，，求数列的通项公式.
[提示]
例10、，求
解：即
则
例11、数列中，，，求的通项。
解： ∴
设 ∴ ∴
∴

……

∴ ∴
练习：
1、在数列中，求．
类型6、取对数法
例12 若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁
解 由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比设 ∴ ∴
∴

……

∴ ∴
练习：
1、在数列中，求．
类型6、取对数法
例12 若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁
解 由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，数列，