第七讲-平行四边形及多边形.doc

培优课程 第七讲 特殊四边形的判定和性质
一、中考考点梳理：
（一）特殊四边形的定义

1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
2、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
3、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
4、正方形：有一组邻边相等的矩形叫正方形；
有一个角是直角的菱形叫正方形。
C
B
D
A
O

二、性质定理：
1、平行四边形：

如图所示：四边形ABCD是平行四边形。
那么：
文字表述： 几何语言：
（1）边：两组对边分别平行且相等； AB∥CD AD∥BC AB=CD AD=BC
（2）角：对角相等 ∠BAD=∠BCD ∠ABC=∠CDA
邻角互补 ∠BAD+∠ABC=180゜ ∠BAD+∠ADC=180゜
（3）对角线：互相平分 OA=OC OB=OD

A
D
B
O
C

2、矩形：
如图所示：四边形ABCD是矩形。

文字表述： 几何语言：
（1）边：对边平行且相等； AB∥CD AD∥BC AB=CD AD=BC
（2）角：四个角都相等，且都等于90°； ∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°
（3）对角线：对角线互相平分且相等。 OA=OC OB=OD 且 AC=BD
A
B
D
C
O

3、菱形
如图所示：四边形ABCD是菱形。
那么：
文字表述： 几何语言：
（1）对边平行，四边都相等； AB∥CD AD∥BC AB=CD=AD=BC
（2）角：对角相等 ∠BAD=∠BCD ∠ABC=∠CDA
邻角互补 ∠BAD+∠ABC=180゜ ∠BAD+∠ADC=180゜
（3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分分一组对角。
AC⊥BD OA=OC OB=OD ∠BAC=DAC ∠ABD=∠CBD等等
A
D
B
C
O

4、正方形
如图所示：四边形ABCD是正方形
那么：
文字表述： 几何语言：
（1）对边平行，四边都相等； AB∥CD AD∥BC AB=CD=AD=BC
（2）角：四个角都是90゜ ∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°
（3）对角线：对角线互相垂直平分且相等， 每一条对角线平分分一组对角。
AC⊥BD OA=OC OB=OD AC=BD ∠BAC=DAC ∠ABD=∠CBD等等
三、判定定理：
1、平行四边形：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)对角线互相平的四边形是平行四边形。

四边形ABCD是平行四边形
(1)∵ AB∥CD
AD∥BC
C
B
D
A
O

四边形ABCD是平行四边形
(2) ∵ AB=CD
AD=BC

四边形ABCD是平行四边形
(3) ∵ AB∥CD
AB=CD

四边形ABCD是平行四边形
(4) ∵ OA=OC
OB=OD

2、菱形：
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
(2)四边相等的四边形是菱形；
(3)对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。

四边形ABCD是菱形
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形
A
B
D
C
O
AB=AD

(2) ∵ AB=CD=AD=BC
∴ 四边形ABCD是菱形

四边形ABCD是菱形
(3) ∵ AC⊥BD
OA=OC OB=OD

A
D
B
O
C
3、矩形：
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

四边形ABCD是矩形
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形
∠BAD=90°

(2) ∵ ∠BAD=∠BCD=∠ABC =90°
∴ 四边形ABCD是矩形

四边形ABCD是矩形
(3) ∵ AC=BD
OA=OC OB=OD
A
D
B
C
O

4、正方形：
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；
(2)有一个角是直角的菱形是正方形；
(3)对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。

四边形ABCD是正方形
(1) ∵ 四边形ABCD是矩形
AB=AD

(2) 四边形ABCD是正方形
∵ 四边形ABCD是菱形
∠BAD=90°

四边形ABCD是正方形
(3) ∵ AC=BD
AC⊥BD
OA=OC OB=OD

二、典例精析：
例1：如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E。
（1）求证：BE=CD。
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60゜，AB=4，求平行四边形ABCD的面积。

例2：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB。
（1）求证：四边形ABCD是矩形。
（2）若AB=6，∠AOB=120゜，求BC的长。

例3：如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE∥BD,过点D作ED∥AC,两线相交于点E.
(1)求证:四边形AODE是菱形
(2)连接BE,交AC于点F.若BE⊥ED于点E,求∠AOD的度数.

例4：已知：如图，在矩形ABCD中,E是BC边上一点,DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连结BD.
(1)求证:四边形FECD是正方形;
(2)若BE=1,ED=求tan∠DBC的值.

三、课堂检测
1、下列命题正确的是（ ）
A、对角线互相垂直平分的四边形是矩形
B、矩形的对角线互相垂直
C、平行四边形的对角线互相平分
D、对角线互相垂直的四边形是菱形
2、已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC;②∠ABC=90゜;③AC=BD;④AC⊥BD四个条件中选取两个作为补充条件后使得四边形ABCD为正方形，现有四种选法，其中错误的是（ ）
A、①② B、②③ C、①③ D、②④
3、如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在，折痕为EF，若，则__ ___。

4、如图，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD边上一点，沿AE折叠△ADE，使点D恰好落在BC边上的F处，M是AF的中点，连接BM，则__ ____。
5、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=__ ___。

6、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点。若的周长为18，则OF的长为_____ 。

7、如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F，若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm，则△EBF的周长是_ ____cm。

8、如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E．
（1）求证：∠BAM=∠AEF；
（2）若AB=4，AD=6，cos∠BAM=5，求DE的长．

9、如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G。
（1）求证：。
（2）若，求BE的长。

（