《材料力学》第3章 扭转 习题解.doc

第三章 扭转 习题解

[习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速，轴上装有五个轮子，主动轮II输入的功率为60，从动轮，I，III，IV，V依次输出18，12，22和8。试作轴的扭图。
解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩）

外力偶矩计算(kW换算成kN.m)
题目编号
轮子编号
轮子作用
功率(kW)
转速r/min
Te（kN.m）
习题3-1
I
从动轮
18
200
0.859
II
主动轮
60
200
2.865
III
从动轮
12
200
0.573
IV
从动轮
22
200
1.051
V
从动轮
8
200
0.382

(2) 作扭矩图
T图(kN.m)

[习题3-2] 一钻探机的功率为10kW，转速。钻杆钻入土层的深度。如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度，并作钻杆的扭矩图。
解：（1）求分布力偶的集度

设钻杆轴为轴，则：

（2）作钻杆的扭矩图
。
；
扭矩图如图所示。

[习题3-3] 圆轴的直径，转速为120r/min。若该轴横截面上的最大切应力等于60，试问所传递的功率为多大？
解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量：

（2）计算扭矩

（3）计算所传递的功率

[习题3-4] 空心钢轴的外径，内径。已知间距为的两横截面的相对扭转角，材料的切变模量。试求：
（1）轴内的最大切应力；
（2）当轴以的速度旋转时，轴所传递的功率。
解；（1）计算轴内的最大切应力
。

式中，。
，

（2）当轴以的速度旋转时，轴所传递的功率

[习题3-5] 实心圆轴的直径，长，其两端所受外力偶矩，材料的切变模量。试求：
（1）最大切应力及两端面间的相对转角；
（2）图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向；
（3）C点处的切应变。
解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角
。
式中，。故：

式中，。故：

（2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向

由横截面上切应力分布规律可知：

A、B、C三点的切应力方向如图所示。
（3）计算C点处的切应变

[习题3-6] 图示一等直圆杆，已知，，，。试求：
（1）最大切应力；
（2）截面A相对于截面C的扭转角。
解：（1）计算最大切应力
从AD轴的外力偶分布情况可知：
，。

式中，。故：

式中，。故：

（2）计算截面A相对于截面C的扭转角

[习题3-7] 某小型水电站的水轮机容量为50，转速为300r/min，钢轴直径为75mm，若在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力。试校核轴的强度。
解：（1）计算最大工作切应力

式中，；
。
故：
（2）强度校核
因为，，即，所以轴的强度足够，不会发生破坏。
[习题3-8] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径，内径，功率，转速，钻杆入土深度，钻杆材料的，许用切应力。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：
（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度；
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；
（3）两端截面的相对扭转角。
解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度

设钻杆轴为轴，则：

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核
①作钻杆扭矩图
。
；
扭矩图如图所示。
②强度校核

式中，

因为，，即，所以轴的强度足够，不会发生破坏。
（3）计算两端截面的相对扭转角

式中，

[习题3-9] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力，试求：
（1）AB轴的直径；
（2）绞车所能吊起的最大重量。
解：（1）计算AB轴的直径
AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶
矩相等：

扭矩图如图所示。
由AB轴的强度条件得：

（2）计算绞车所能吊起的最大重量
主动轮与从动轮之间的啮合力相等：

由卷扬机转筒的平衡条件得：

[习题3-10] 直径的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶，而在圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所示。已知，圆杆材料的弹性模量，试求泊松比（提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、间存在如下关系：。
解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：。设两截面之间的相对对转角为，则，

式中，

由得：
[习题3-11] 直径的钢圆杆，受轴向拉60kN作用时，在标距为200mm的长度内伸长了0.113mm。当其承受一对扭转外力偶矩时，在标距为200mm的长度内相对扭转了0.732的角度。试求钢材的弹性常数G、G和。
解：（1）求弹性模量E

（2）求剪切弹性模量G

由得：

（3）泊松比
由得：
[习题3-12] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为d0，且。试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（），扭矩T相等时的重量比和刚度比。
解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。

式中，，故：

（1）求实心圆轴的最大切应力

式中， ，故：

（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比

（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比

[习题3-13] 全长为，两端面直径分别为的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩
，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。
解：如图所示，取微元体，则其两端面之间的扭
转角为：

式中，

故：

=
[习题3-14] 已知实心圆轴的转速，传递的功率，轴材料的许用切应力，切变模量。若要求在2m长度的相对扭转角不超过，试求该轴的直径。
解：
式中，；。故：

取。
[习题3-15] 图示等直圆杆，已知外力偶，，，许用切应力，许可单位长度扭转角，切变模量。试确定该轴的直径。
解：（1）判断危险截面与危险点
作AC轴的扭矩图如图所示。因最大扭矩出出在BC 段，所以危险截面出现在BC段，危险点出现在圆周上。
（2）计算危险点的应力（最大工作切应力），并代入剪 切强度条件求。

（3）计算最大单位长度扭转角(出现在BC段)，并代入扭转刚度条件求。

（4）确定值

[习题3-16] 阶梯形圆杆，AE段为空心，外径，内径；BC段为实心，直径。外力偶矩，，，许用切应力，许可单位长度扭转角，切变模。试校核该轴的强度和刚度。
解：（1）AB段的强度与刚度校核

式中，
符合度条件。

式中，
符合刚度条件。
（2） BC段的强度与刚度校核

式中，
符合度条件。

式中，
符合刚度条件。
综合（1）、（2）可知，该轴符合强度与刚度条件。
[习题3-17] 习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力，切变模，许可单位长度扭转角。试按强度条件及刚度条件选择圆轴的直径。
解：（1）由强度条件选择直径
轴的扭矩图如图所示。因为最大扭矩出现在II、III轮之间，所以危险截面出现在此段内，危险点在此段的圆周上。

（2）由刚度条件选择直径

故选用 。
[习题3-18] 一直径为d的实心圆杆如图所示，在承受扭转力偶后，测得圆杆表面与纵向线成的方向上的线应变为。试导出以，d和表示的切变模量G的表达式。
解：圆杆表面贴应变片处的切应力为

圆杆扭转时处于纯剪切状态，图（a）。
切应变                （1）
对角线方向线应变：
图（a）

                             （2）
式（2）代入（1）：

[习题3-19] 有一薄壁厚为、内径为的空心薄壁圆管，其长度为，作用在轴两端面内的外力偶矩为。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。已知材料的切变模量。
解：（1）求管中的最大切应力
：

[习题3-20] 一端固定的圆截面杆AB，承受集度为的均布外力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。
解：

[习题3-21] 簧杆直径的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力作用，弹簧的平均直径为，材料的切变模量。试求：
（1）簧杆内的最大切应力；
（2）为使其伸长量等于所需的弹簧有效圈数。
解： ，

故   
因为

故   圈
[习题3-22] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径，材料的许用切应力，切变模量为G，弹簧的有效圈数为。试求：
（1）弹簧的许可切应力；
（2）证明弹簧的伸长。
解：（1）求弹簧的许可应力
用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：
剪力
扭矩
最大扭矩：
，

因为，所以上式中小括号里的第二项，即由Q所产生的剪应力可以忽略不计。此时
（2）证明弹簧的伸长
外力功： ，

[习题3-23] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶。已知材料的切变模量，试求：
（1） 杆内最大切应力的大小、位置和方向；
（2） 横截面短边中点处的切应力；
（3） 杆的单位长度扭转角。
解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向
， ，
    由表得

长边中点处的切应力，在上面，由外指向里
（2）计算横截面短边中点处的切应力

短边中点处的切应力，在前面由上往上
（3）求单位长度的转角

单位长度的转角
[习题3-24] 图示T形薄壁截面杆的长度，在两端受扭转力矩作用，材料的切变模量，杆的横截面上和扭矩为。试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度扭转角。
解：（1）求最大切应力

（2）求单位长度转角

[习题3-25] 图示为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一外力偶。材料的许用切应力。试求：
（1） 按强度条件确定其许可扭转力偶矩
（2） 若在杆上沿母线切开一条纤缝，则其许可扭转力偶矩将减至多少？
解：（1）确定许可扭转力偶矩

（3） 求开口薄壁时的

[习题3-26] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：
（1） 最大切应力之比；
（2） 相对扭转角之比。
解：（1）求最大切应力之比
开口：
依题意：，故：

闭口：

（3） 求相对扭转角之比
开口：

闭口：

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