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空间两条直线的关系
摘要：本文通过空间两条直线上的三个重要向量，表现出了空间两条直线的位置关系，从而得出了用三个向量表示空间直线关系的充要条件，可以方便的解决关于空间两直线关系的问题.
关键词：空间直线；异面；相交；平行
空间两直线的关系有异面和共面两种，其中共面直线又可以分为相交，平行，重合三种.在仿射坐标系中，设两直线与过点与，方向向量分别为 ,，那么它们的标准方程为:
.
与的关系取决于三个向量, , 的相互关系；
（1）当且仅当三向量, , 异面时, 与异面，即不共面；
（2）当且仅当三向量, , 共面时, 与共面；
在共面的情况下：
（1）如果, 不平行时, 与相交；
（2）如果, 平行但不平行于，那么与平行；
（3）如果, , 的相互平行，那么与重合；
因此，我们可以得到下面命题：
命题 1，与异面（, , ）.
2，与相交（, , ）=0且, 不共线.
3，与平行, 共线.但和不共线.
4，与重合, , 为共线向量.
用坐标表示，则有下面推论：
推论 1.与异面；
2.与相交且；
3.与平行；
4.与重合；
下面我们要定义空间两直线的夹角，即平行于空间两直线的两向量间的夹角.两直线与间的角记做，空间两直线与的夹角，如果用它们的方向向量, 之间的角表示，就是.
因此，在直角坐标系里，空间两直线的夹角的余弦为

通过两直线的夹角我们可知两直线垂直的充要条件是：.
综上所述，我们可判定空间两直线的关系为异面，相交（垂直），平行，重合五种.
通过以上几种关系的充要条件，我们可以已知两直线方程，求两直线的关系.求通过某点且与已知两直线关系的方程.已知两个含参直线关系，求直线的方程中的参数.求通过某点且与一直线关系的直线方程.求与三条直线有关系的方程.
例一 已知两直线

求两直线与的关系.
解：因为直线过点，方向向量为，
而直线过点，方向向量为，
因为
从而有 .
所以与为两异面直线.
例二 求通过点且与两直线

都相交的直线的方程.
解 设所求直线的方向向量为，那么所求直线的方程可写成

因为与，都相交，而且过点，方向向量为过点方向向量.所以有
即
即

由上两式得
，
显然又有 即不平行于，
即不平行于.
所以所求直线的方程为
.
例三 确定的值使下面两直线相交.
轴.
解：因为直线的方向向量
.
又因为
所以令 ，解 得
所以过点又过点且方向向量.
所以
解得
例四 求过点且与直线垂直相交的直线.
解：设所求直线方向向量为
因为过点，方向向量为
又因为与相交
所以
解得
又因为与垂直
所以两直线夹角的余弦
所以
综上得方程组： ，
解得 ，
显然
所以所求直线的方程为

例五 求直线，平行且与下列两条直线和相交的直线的方程.
解：直线的方向向量,
因为与平衡，
所以取作为与的方向向量.
又因为过点，方向向量，
过点，方向向量.
直线与相交，那么必定在经过点，方向向量为的平面上，
则该平面方程为 ，
展开得
同理，又落在经过点方向向量为的平面上，
所成的平面方程为 ，
即 .
所以所求直线的一般方程为.
参考文献
[1] 李养成. 空间解析几何（新版）[M] 北京:科学出版社,2007年.
[2] 周建伟. 解析几何 [M] 北京:高等教育出版社, 2005年.

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