第七章答案.doc

习题7.1

1.设X表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：

为未知参数, . 现得样本值为168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252,试求未知参数的矩估计值.

2. 设总体X的概率分布为

其中为未知参数.现抽得一个样本求的矩估计值和极大似然估计值.
3. 设总体X具有概率概率密度

其中为未知参数. 是来自总体X的样本, 求的矩估计量和极大似然估计量.
4.设，是取自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计.
5. 设总体的数学期望和方差分别为和，为来自总体的的样本，对于参数的三个估计量

问它们中那些是无偏估计量，哪一个更有效？
6.设总体X的k阶矩存在, 又设是X的一个样本. 试证明不论总体服从什么分布, k阶样本矩是k阶总体矩的无偏估计量.
7. 为了估计湖中有多少条鱼，特从湖中捞出1000条鱼，标上记号后又放回湖中，然后再捞出150条鱼，发现其中10条鱼带有已给的记号，问在湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条有记号的鱼概率为最大？
8. 设为总体X的样本，欲使为的无偏估计，问应取什么值？

9.设分别自总体和中抽取容量为的两独立样本.其样本方差分别为. 试证, 对于任意常数都是的无偏估计, 并确定常数使达到最小.
10.设是取自总体X的样本, 且存在, 则为的相合估计量,

习题7.2
1. 为考虑某种香烟的尼古丁含量(以mg计), 抽取了8支香烟并测得尼古丁的平均含量为 设该香烟尼古丁含量. 试求的置信区间, 置信度为0.95.
2. 从一批灯泡中随机地抽取10只作寿命(单位:h)试验, 计算得
已知这批灯泡寿命 求平均寿命的置信度为95%的单侧置信下限.
3..某总体的标准差，从中抽取100个个体，其样本平均数，试给出总体期望值的95%的置信上、下限（即置信区间的上、下限）.
4..对方差为已知的正态总体来说，问需取容量n为多大的样本，方使总体均值的置信水平为100（1-a）%的置信区间长不大于定值L.
习题7.3
1.已知来自容量的正态总体的一个样本，其样本均值，试对总体的均值作区间估计（）
2.设轴承内环锻压零件的平均高度现抽出了20只环，测得其平均高度的算术平均值，求内环平均高度的95%置信区间.
3.. 随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（单位：cm）为
2.14 2.13 2.10 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10
2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11
若钉长分布为正态的，试对下面情况分别切除总体期望的置信度为0.9的置信区间；
（1）已知；（2）未知.
4. 某大学英语测验，抽得20个学生的分数平均数，样本方差，假设分数服从正态分布，求的置信度为98%的置信区间.
5.为考察某城市成年男性的胆固醇水平, 现抽取了样本容量为25的一样本, 并测得样本均值 样本标准差. 假定所论胆固醇水平与均未知. 试分别求出以及的90%置信区间.
6. 测量铝的比重16次，测得，试求出铝的比重置信水平为95%的置信区间，设这16次测量结果可以看作来自同一正态总体.分别求出总体均值和方差的置信水平为95%的置信区间.
7.为了在正常条件下，检验一种杂交作物的两种新处理方案，在同一地区随机地选择5块地段，在各地段按两种方案试验作物，得到单位面积产量如下：（单位：kg）
方案I 87 56 93 93 75
方案II 79 58 91 82 74
若两种产量都服从正态分布，且有相同的方差，问按95%的置信度，两种方案的平均产量的差在什么范围内？
8. 随机地从A中导线中抽取4根，并从B中导线中抽取5根，测得其电阻为
A种导线 0.143 0.142 0.143 0.147
B种导线 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140
设测试数据分别服从正态分布和，并且它们相互独立，已知，等于，但均未知，试求的置信水平为0.95的置信区间.
9. 有两台机器生产同一种零件，分别抽取6件和5件测量其尺寸（单位：cm）如下：
第一台机器：6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8
第二台机器：5.6 5.9 5.6 5.7 5.8
已知零件尺寸服从正态分布，问若取置信度为0.90，两台机器加工精度（标准差）之比应在什么范围内.
10设两位化验员A、B独立地对某种聚合物的含氮量用相同的方法分别作了18次、13次测定，测得的数据经计算得样本方差依次为为0.34，0.29，设和分别是A、B两化验员测量数据的总体的方差，且总体服从正态分布，求方差比的置信度为95%的置信区间.
习题7.4
1. 为估计一批产品的一等品率，从中抽取100件进行检验，发现60件一等品，若取，试求p的置信区间.
2.某射手对一快速移动靶射击100次，结果有8次命中，试求这名射手命中率p的95%的置信区间.
3.设总体，抽取容量为100的样本，已知样本均值=4，求总体均值的置信度为98%的置信区间.
4.从一大批灯泡中任意抽取100只，测得它们的使用寿命并计算得样本均值，假设灯泡的使用寿命服从指数分布，求参数的置信度为95%的置信区间.

总习题七
A组
一、填空题
1.设总体X具有区间[0，θ]上的均匀分布（θ>0），x1，x2，…，xn是来自该总体的样本，则θ的矩估计=___________.
答案：
2．设总体X的概率密度为,x1，x2，…，xn为总体X的一个样本，则未知参数α的矩估计=___________.
答案：
3．设总体, 为来自X的样本，则当常数=___________时，是未知参数μ的无偏估计.
答案：1/4
4. 若由总体F(x，)（为未知参数）的样本观察值求得P（35.5<<45.5）=0.9，则称________是的一个置信度为________的置信区间.
答案：（35.5,45.5），0.9
5. 总体未知参数的极大似然估计就是________函数的最大值点.
答案：似然
6．设总体是X～N（），是总体的简单随机样本,, 是总体参数的两个估计量，且=，=,其中较有效的估计量是_________.
答案：
7．某实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验，已知这批材料的抗断强度
X～N（μ，0.09），现从中抽取容量为9的样本观测值，计算出样本平均值=8.54，已知0.025=1.96，则置信度0.95时的置信区间为___________.
答案：（8.5204，8.5596）
8. 当已知时，正态总体均值的90%的置信区间的长度为________.
答案：
9. 设和是来自二项分布总体的样本均值和样本方差，样本容量为n，若用作为的无偏估计，则k =________.
答案：1
10. 设总体X的概率密度为

则是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为

答案：
因为
令解得参数的矩估计量为

二、选择题
1. 总体未知参数的估计量是（ ）
A. 随机变量 B. 总体 C. D. 均值
答案：A
2．设总体X服从[0，2θ]上的均匀分布（θ>0），x1, x2, …, xn是来自该总体的样本，为样本均值，则θ的矩估计=（　　　）
A． B．
C． D．
答案：B
3．设总体为来自总体的样本，均未知，则的无偏估计是（　　　）
A． B．
C． D．
答案：A
4. 设0，1，0，1，1，为来自两点分布总体的样本观察值，则p的矩估计量为（ ）
A. 1/5 B. 2/5 C. 3/5 D. 4/5
答案;C
5. 无论是否已知，正态总体均值的置信区间的中心都是（ ）
A. B. C. D.
答案;C
6. 当未知时，正态总体均值的置信度为的置信区间的长度是样本方差S的（ ）倍.
A. B. C. D.
答案：B
7.设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知。现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差s=1(cm)，则的置信度为0.90的置信区间是（ ）
A、
B、
C、
D、
答案：C
三、解答题
1. 设总体密度函数为，求参数矩估计量和极大似然估计量.
解 （1）数学期望是一阶原点矩
==,
其样本矩为
，
从而的矩估计量为
.
（2）对于总体X的样本值，其似然函数为

当

令解得θ的极大似然估计量为

2. 设服从区间上均匀分布，这里是两个未知参数，若（不全相等）是的样本值，试求出的极大似然估计量.
3.. 用极大似然估计集合分布

中的未知参数.
4. 从一批电容器中随机抽取10个测得其电容值（单位：F）为：
102.5 103.5 103.5 104.5 105.0
105.5 105.5 106.0 106.5 107.5
设电容值服从正态分布.
（1） 若一直，求的单侧90%置信下限；
（2） 求的单侧90%置信上限.
5.设某种电子管的使用寿命服从正态分布，从中随机抽取15个进行检验，得平均使用寿命为1950小时，标准差s为300小时，以95%的可靠性估计整批电子管平均使用寿命的置信区间.
6. 设来自总体的一容量为15的样本，其样本均值；来自总体的一容量为20的样本，其样本均值；并且两样本是相互独立的，试求的90%的置信区间.
7. 某钢铁公司的管理人员为比较新旧两个电炉的温度状况, 他们抽取了新电炉的31个温度数据及旧电炉的25个温度数据, 并计算得样本方差分别为及. 设新电炉的温度, 旧电炉的温度. 试求的95%置信区间.
四、证明题
1. 设是参数的无偏估计，且有，试证明：用估计不是无偏的.
2.. 已知正态总体的数学期望EX=a，试证估计量

是的一致无偏估计，其中是来自正态总体的一个样本.

（B组)
1. 设总体X的概率密度为

其中是已知常数。试根据来自总体X的简单随机样本，求的最大似然估计量.
解：由题设知，似然函数为

令
解得的最大似然估计量

2. 设0.51, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体X的简单随机样本值。已知Y=lnX服从正态分布。
（1） 求X的数学期望EX（记EX为b）；
（2） 求μ的置信度为0.95的置信区间；
（3） 利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.
解：（1）Y的概率密度为，依题意

（2）
因为Y=lnX服从正态分布，求μ的置信度为0.95的置信区间属于一个正态总体方差已知的类型，其置信区间为

因此μ的置信度为0.95的置信区间为(-0.98, 0.98)
（3）由函数 的严格递增性，可见，其置信区间应该是

3. 设总体X的概率密度为

其中是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.
解 （1）数学期望是一阶原点矩
==,
其样本矩为
，
从而的矩估计量为
.
（2）对于总体X的样本值，其似然函数为

当

令解得θ的极大似然估计量为

4. 设总体X的概率密度为

是取自总体X的简单随机样本。
（1） 求θ的矩估计量θ；
（2） 求D（）.
解：（1）
记
令，得的矩估计量
（2）由于

所以的方差为

5. 设某种元件的使用寿命X的概率密度为

其中θ>0为未知参数。又设的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值.
解：因为似然函数为
于是

由上式知单调增加，即关于单调增加，又因为，故的极大似然估计值为
=min(x1, …, xn)

6.设随机变量的分布函数为

其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,
(Ⅰ) 当时, 求未知参数的矩估计量;
(Ⅱ) 当时, 求未知参数的最大似然估计量;
(Ⅲ) 当时, 求未知参数的最大似然估计量.
解：
(Ⅰ) 当时,

令
解得参数的矩估计量为
(Ⅱ) 当时, 对于总体X的样本值，其似然函数为

当时取对数

两边求导数
令，解得参数的最大似然估计量为
(Ⅲ) 当时,
对于总体X的样本值，似然函数为

由于是的单调函数，即当时，越大，也越大，因此参数的最大似然估计量为

7. 设为来自总体N（0，）的简单随机样本，其样本均值为. 记
求：（I）
（II）
(III) 若是的无偏估计量，求常数c.
解：（I）

当时，由于独立，

（II）
因为相互独立，所以

(III) 是相互独立的随机变量的线性函数，因此，仍然是服从正态分布且

若是的无偏估计量，则

8. 设总体X的概率密度为,其中是未知参数为来自总体的随机样本,记N为样本值中小于1的个数,求:
(Ⅰ) 的矩估计;
(Ⅱ) 的最大似然估计.
解; (Ⅰ)
记
令，得的矩估计量
(Ⅱ)依题意样本值中有N个小于1，其余n-N个大于或等于1，因此似然函数为
，令解得的最大似然估计

9.设总体X的概率密度为
,
其中是未知参数为来自总体的简单随机样本,为样本均值.
(Ⅰ) 求的矩估计量;
(Ⅱ) 判断是否为的无偏估计量，并说明理由.
解; (Ⅰ)
记
令，得的矩估计量
（Ⅱ）由于

故的无偏估计量

10. 以下设为总体的一个简单随机样本.
，，
(Ⅰ)证明是的无偏估计量；
(Ⅱ)当时，求.

证明：(Ⅰ)对于来自总体的样本有，，
由数学期望的性质知
，
故样本均值是总体均值的无偏估计.
，

故统计量是总体方差的无偏估计.

故是的无偏估计量
(Ⅱ)由于，因此

时，

令

，，
又由于的数学期望分别是，所以