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自由对流热转移反应从垂直加热板到地表热通量的振荡
马侯赛因和SK达斯，孟加拉国达卡和DAS里斯，英国巴斯（收稿，1996年6月3日~1996年7月12日修订）

总结
进行调查的二维不稳定层流沿半无限的竖直板和对流边界的粘性不可压缩流体的层流平均地表热通量关于稳定姿态的小幅度振荡。浮力是有利的，从积极的热通量板表面的流体与往常边界层流的时间周期热通量的相互作用满足审查线性理论。解决方案是利用三种不同的方法，即扩展的一系列扩大低频，高频渐近级数展开法和一般频率的数值有限差分法已经进行了广泛的参数计算，以便找到在波动的幅度和相位角的解决方案。人们已经发现，振幅和相位角，零件表面的剪切应力和表面温度，这三种方法的预测是非常好的在各自有效期的范围。1
1介绍
在层流边界层理论的领域，莱特希尔[1]是第一个研究的不稳定平板和圆柱与被迫流动的粘性不可压缩流体的自由流，有小幅度的振荡。自由对流的相似性解决方案从表面均匀热通量与垂直板最初量是研究麻雀格雷格[2]和获得附近的领先优势有效的解决方案。相应的问题是非定常对流沿垂直板表面温度振荡由纳达和夏尔马[3]和Eshghy等研究。 [4]。muhuri和梅蒂[5]和Verma[6]分析了非定常自由对流的振荡表面温度的影响。所有这些调查是基于这样的假设，表面温度执行与时间有关的小振幅振荡意味着温度，和他们进行了通过采用卡门Pohlhausen近似的积分法。为了获得有效的领先优势，在附近的摄动解下游地区，罗伊[7]认为是高普朗特数的同类型的问题，威尔克斯[8]研究了一个统一的表面热通量垂直板自由对流的问题。在规定的地表热通量的垂直板的情况下，研究由梅尔金和Mahmood[，乔杜里和梅尔金[11]等人。这些作品被源源不断局限，使解决方案得到了有效的距离，解决方案也给出了中间区域。基于对线性化理论，凯莱赫和杨[12]研究了层流换热反应逃离对流边界层沿垂直加热板表面温度振荡的问题，最近，侯赛因等调查同类型的问题，详细的表面平均温度，θω（x），“其中x与该板块的领先优势的流向距离成正比。侯赛因等人提出解决方案，在表面热的幅度和相位ζ，流向分布频为小型和大型值的传输速率振荡。也有人试图匹配低或高频率的振荡。
在相应情况下的自由对流层边界的垂直加热板与非均匀表面热通量还没有被处理之前，应当指出，由于非均匀表面热通量变化可能会出现比物理的表面均匀热通量变化大。重要的是,要确定具体在多大程度上非均匀表面热通量会影响边界层的响应。目前本文考虑的粘性不可压缩流体的非定常自由对流沿垂直的加热板时，板面的热通量有小幅度的振荡大于平均通量，它本身作为前沿的距离n的功率变化。我们调查一般采用（一）延长系列扩展方法低频率范围内，（二）渐近级数展开法在高频率范围，（三）有限差分方法来寻找解决方案的方法。广泛的进行计算参数，以确定表面上的温度和剪切应力的不稳定的影响。

2数学公式

在直角坐标系中，一个半无限的垂直板被放置在y = 0，X_>0的区域，使x的测量距离从前沿进入到流体，而且y的正常测量从进液板进入到流体。远离表面的环境流体温度为Too。作为一个积极的表面热通量q~,,，结果从板中产生有利的浮力。在Boussinesq近似理论下，通常的Navier-Stokes方程和能量方程，两三维不可压缩流体，表面热流率是时间相关的情况下，减少到以下边界层方程（Kramer和排[14]）：

其中u，v分别为x和速度场y的组件，ν是运动学粘度，T和Too是流体边界层温度和周围流体的温度，g是重力加速度，fl是体积膨胀系数，α是热扩散系数。
方程（1） - （3）要解决的边界条件

传热反应
103
其中ω是振荡频率的表面热通量而是一个衡量它的幅度。
边界条件（4）建议式的解决方案。（1） - （3）可以发现，作为下列表达式的实部（石垣岛）[15]：

其中的组成部分和平均流量基本稳定，满足微分方程

边界条件
u l, vi和是非定常流的组成部分，它满足的微分方程

受边界条件

为了获得相似稳定状态方程（6） - （8），我们将介绍以下组的转换：

104 文学硕士侯赛因等。

在上面的满足稳态流的连续性方程，而是一个平均地表热通量有关的常数。
因此，我们获得了方程

满足上述方程的边界条件是

这里的素数用表示，是普朗特数
转换（14）带领我们转换以下方程组。（10） - （13）波动问题的一部分：

方程（11）和（12），然后降低到

边界条件

不稳定的剪应力和表面温度是很难发现的，而这些可以从方程式中得到解决。
（15） - （17）和（19） - （21）。在这里，我们提出了在振幅和相位的剪应力和表面热流率的解决方案。根据这些定义

和代表的实部和虚部和的一部分。

传热反应
方程（15） - （17）描述了稳定的平均流量和温度场。这些方程的解决方案已经得到乔杜里和梅尔金的[11]相关的物理参数pr和n的不同的价值。
方程（19） - （21）描述的波动的解决方案组成部分，这些应通过多种方法解决。在第3节我们详细介绍ζ值，使用了一系列解决方案。由于ζ和ω﹑
成正比，见（18），这样的系列解决方案是有效的x小的值而并且为了非常低的频率与。第4节讨论ζ的渐近解，这可以作为一个大的距离限制，或解释为高频率的限制。解决方案为中间值ζ。方程在一般情况下，类似的使用了凯勒盒的方法（见[17]）。实施这种方法的详情，现在非常标准，并已在[13]讨论。值得注意的是，当n =1的时候。（19）和（20）降低到一对线性常微分方程的解决方案可以通过一个简单的拍摄方法得到的。

3 的系列解决方案
显然，附近的领先优势，使得在使用结果的基础上，数量有限的影响，忽快忽慢的描述将只在很小的范围内有效。由于ζ小值也对应非常低的频率，ω，我们期望的流量调整准静态传热边界的波动率。我们扩大f和θ，根据

代入式（19） - （20），然后等同为像到零的力量，我们得到以下对函数 “”常微分方程：

其中M = 1，2，3，各自的边界条件是......

素数再次到的衍生物。

106 文学硕士侯赛因等。可以看出公式（25） - （28）是线性的，但加上可独立解决的从一个到另一个。在目前的分析，龙格 - 库塔 - 布彻[18]的初始值问题求解连同Nachtsheim Swigert[19]迭代方案解决式的系统。（25） - （28）为。这里的帕德 [20]也被用来获得更准确地接近了当地的幅度和相位的剪应力和表面热流的波动部分。在第5节对详细的数值结果进行了讨论。

4大型的渐近解

远离前沿浮力变得越来越重要，直到远离下游的流量将是主要的自由对流，自由流的存在只是略有不安。因此，在本节已经给予了解决方案。（19）和（20）ζ当大的时候，我们强调的是，这个限制对应的不仅是为ω定义的x的大值，还有为x定义的ω的大值。其实，其实，详细检查了凯勒的箱法得到的数值结果显示，ζ的大值，不稳定的反应，只限于表面附近的薄区域。我们注意到，然而，这个结论没有在更高的电子订单中。因此，我们寻求在高频率范围内的一系列解决方案中，采用零近似的解决方案。出于这个原因，介绍了以下转换：

这些换算比例的动机顺序数量级分析（19）。
然后成为方程（19）和（20）

和

由于这些方程对应的是薄壁层，领先高阶函数的，F和，在这个区域可以表示以下功率具有良好的准确性：

传热响应 107
其中，根据公式。 （15） - （17）

基于上述展开式的解决方案。（31）和（32）可以得到以下形式：
当公式（35）代入（31）和（32）ζ被收集，包括：

和

质数现在表示关于差异为Y相关的边界条件

现在解决公式（36）和（37），受边界条件（38），我们发现在下面的表达式为和

108 文学硕士侯赛因等。
其中我被评为在第一象限（即），并且

这里必须指出的是复杂的表达式（39）和（40）是有效的普朗特数，然而，当是需要的，有时必须采取这些解决方案的限制，为。

5结果和讨论
在目前的分析，一种粘性波动的自由对流流体的解决方案是使不可压缩流体沿垂直受热面小幅度的在地表热通量非均匀稳定的前沿从测量距离的力量变化的热通量振荡。（主导的顺序）稳定问题的解决方案已经由乔杜里和梅尔金[11]讨论。
凯勒在整个频率范围内采用箱法分析了波动问题的部分。该解决方案也已采用渐近法在小频率和大范围的频率使用扰动方法制度。由此获得的结果表示在幅度和相位、剪应力的波动部分以及那些表面温度呈现出不同的表面热通量梯度参数n和普朗特数的影响方面，普朗特数的值被选择代表目前用于核工程冷却剂为液态金属流体（威尔克斯[8]），例如，锂 0.05 汞0.01。我们还获得 =1.0，0.7，0.1，0.05，0.01的解决方案。
= 1.0和n= 1.0表1和表2给出的剪应力的波动幅度和相位，通过上述三种方法获得的表面温度的数值。比较结果显示，扰动解和渐近解的差分解决方案很好的吻合。对于n=0.0，0.25,0.5和0.75 =0.7，对应于空气，这些方法获得的数值，这就是上文所述剪应力波动的幅度和相图图形 1和2。相应的幅度和相位值表面温度波动图所示 3和4。在这些数字的粗曲线。

传热反应 109
表1。=1.0剪应力的波动幅度和相和n=1.0

a低频率的系列解决方案
b 高频率的渐近解
代表凯勒盒的解决方案，圆圈和坚实的盘旋曲线代表的扰动解和渐近解。像以前一样，这些曲线之间的比较确定的扰动解和渐近解与凯勒盒法解决方案在选定的每一个表面热流指数值都非常吻合。图5 – 6和7 - 8表示剪应力的波动幅度和相位，以及在PR=0.7，0.1，0.05，0.01，N = 0.5的表面温度。从表1和表2中，我们可以看到随着频率的增加，无论表面温度梯度规定的普朗特数、剪应力幅值和表面传热，单调减少（从图1和3中可以看到）。这是由于从表面上看，滞后随频率变化量在相邻流体层的温度滞后。可以看出，在整个频率范围内的表面温度。

110 文学硕士侯赛因等。
表2。=1.0和n= 1.0表面温度波动的幅度和相位

a低频率的系列解决方案
b高频率的渐近解
振荡总是导致表面温度波动。相位角，和，在稳态条件下是零，而他们对单调减少渐近值和分别为。我们进一步观察，在低频率范围内的相位角是随着普朗特数的表面温度梯度减小的值（由此可以看出，从图2和4）。
从图1和3可以看出，在低频范围，剪应力振幅和波动的表面温度降低时指数表面的热通量增加。同样，从图2和4可以看出，相角在低频率范围内，随着指数增加的价值，而值保持常数。

传热响应 111

图1剪应力波动的幅度 图2针对不同阶段波动的剪力
n的值，而=0.7 不同的n值，而=0.7

图3幅度的波动，表面温度 图4。表面温度波动的相位
不同值的n， - =0.7 不同的n值，而=0.7

图5当n=0.5时，剪应力 图6当n=0.5时，针对
波动的幅度不同的Pr值 不同阶段剪应力的Pr值

从图5和7可以看出，在低频范围，随着剪应力和表面温度的振幅，减少而普朗特数增加。图6和8可以看出，当相位角减小时，普朗特数增加，而n是固定在0.5。
112 文学硕士侯赛因等。

图7幅度的波动，表面温度 图8表面温度波动的相位
不同的Pr值，而n = 0.5 不同的Pr值，而n= 0.5

6 结论
一个线性理论已被用于研究自由对流层边界的粘性不可压缩流体的层流沿垂直加热板到表面热通量的振荡，不稳定反应时的平均地表热通量的不同功率为x。已使用三种不同的方法，即一个低频率，高频率的渐近方法和中频凯勒箱法扰动法，以获得解决方案。进行了详细的计算，获得振幅和相位波动剪应力和表面温度不同的表面热通量指数n和普朗特数Pr值的数值。人们已经发现，振幅和相位波动的剪切应力和表面温度，用这三种方法的预测是非常好的，在整个频率范围内达到一致。它可以进一步得出结论，无论普朗特数和表面的热通量指数值怎样变化，剪应力和频率的表面温度下降的幅度增加。剪应力、相位角和表面温度也随之降低并且单调走向各自的渐近值和、而不管Pr和n的值。
致谢
SK达斯希望感谢孟加拉国的大学教育资助委员会在做这项研究期间，他提供的研究奖学金。

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作者地址：马侯赛因和SK达斯，达卡，达卡大学数学系，1000，孟加拉国; DAS的里斯，机械工程学院，巴斯大学，Claverton向下，英国巴斯BA27AY