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材料力学-学习指导及习题答案
第 一 章 绪论
1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。

解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量Mx，即扭矩，其大小等于M。  
1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。

解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故
σ＝pcosα=120×cos10°=118.2MPa
τ＝psinα=120×sin10°=20.8MPa  
 1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中之C点为截面形心。

解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力
FN=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN
其力偶即为弯矩
Mz=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m  
1-4 板件的变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。
解： 

第 二 章  轴向拉压应力
 2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。

解：(a) FNAB=F, FNBC=0, FN，max=F
(b) FNAB=F, FNBC=－F, FN，max=F
(c) FNAB=－2 kN, FN2BC=1 kN, FNCD=3 kN, FN，max=3 kN
(d) FNAB=1 kN, FNBC=－1 kN, FN，max=1 kN  

2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。

解：因BC与AB段的正应力相同，故

2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500 mm2，载荷F=50 kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

解：

2－4（2-11） 图示桁架，由圆截面杆1与杆2组成，并在节点A承受载荷F=80kN作用。杆1、杆2的直径分别为d1=30mm和d2=20mm，两杆的材料相同，屈服极限σs=320MPa，安全因数ns=2.0。试校核桁架的强度。
解：由A点的平衡方程

可求得1、2两杆的轴力分别为

由此可见，桁架满足强度条件。
 2－5（2-14） 图示桁架，承受载荷F作用。试计算该载荷的许用值[F]。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为[σ]。
解：由C点的平衡条件
由B点的平衡条件
1杆轴力为最大，由其强度条件

2－6（2-17） 图示圆截面杆件,承受轴向拉力F作用。设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为D，高度为h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力[σ]=120MPa，许用切应力[τ]=90MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。

解：由正应力强度条件由切应力强度条件
由挤压强度条件
式(1)：式(3)得 式(1)：式(2)得 故 D：h：d=1.225：0.333：1   

2－7（2-18） 图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。试确定轴销B的直径d。已知载荷F1=50kN，F2=35.4kN，许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。

解：摇臂ABC受F1、F2及B点支座反力FB三力作用，根据三力平衡汇交定理知FB的方向如图（b）所示。由平衡条件由切应力强度条件
                               由挤压强度条件

故轴销B的直径

第 三 章 轴向拉压变形
3-1 图示硬铝试样，厚度δ=2mm，试验段板宽b=20mm，标距l=70mm。在轴向拉F=6kN的作用下，测得试验段伸长Δl=0.15mm，板宽缩短Δb=0.014mm。试计算硬铝的弹性模量E与泊松比μ。

解：由胡克定律  3-2(3-5) 图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1=4.0×10-4与ε2=2.0×10-4。试确定载荷F及其方位角θ之值。已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1=E2=200GPa。

解：杆1与杆2的轴力（拉力）分别为

由A点的平衡条件

(1)2+(2)2并开根，便得 

式(1)：式(2)得 

3-3(3-6) 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。试计算板的轴向变形。已知板的厚度为δ，长为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。

解： 　

  3-4(3-11) 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。

解：设钢丝绳的拉力为T，则由横梁AB的平衡条件 

钢丝绳伸长量 由图（b）可以看出，C点铅垂位移为Δl/3，D点铅垂位移为2Δl/3，则B点铅垂位移为Δl，即 3-5(3-12) 试计算图示桁架节点A的水平与铅垂位移。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。

解：(a) 各杆轴力及伸长（缩短量）分别为   因为3杆不变形，故A点水平位移为零，铅垂位移等于B点铅垂位移加2杆的伸长量，即 (b) 各杆轴力及伸长分别为 A点的水平与铅垂位移分别为(注意AC杆轴力虽然为零，但对A位移有约束) 　

　3-6(3-14) 图a所示桁架，材料的应力-应变关系可用方程σn=Bε表示（图b），其中n和B为由实验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。设各杆的横截面面积均为A。

(a) (b)
解：2根杆的轴力都为 
2根杆的伸长量都为
则节点C的铅垂位移

3-7(3-16) 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。试计算该点的水平与铅垂位移。已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。

解：各杆轴力及变形分别为   梁BD作刚体平动，其上B、C、D三点位移相等   3-8(3-17) 图示桁架，在节点B和C作用一对大小相等、方向相反的载荷F。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点B和C间的相对位移ΔB/C。

解： 根据能量守恒定律，有
　3-9(3-21) 由铝镁合金杆与钢质套管组成一复合杆，杆、管各载面的刚度分别为E1A1与E2A2。复合杆承受轴向载荷F作用，试计算铝镁合金杆与钢管横载面上的正应力以及杆的轴向变形。

解：设杆、管承受的压力分别为FN1、FN2，则
FN1+FN2=F (1)
变形协调条件为杆、管伸长量相同，即 联立求解方程(1)、(2)，得   杆、管横截面上的正应力分别为 杆的轴向变形 3-10(3-23) 图示结构，杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积均为A，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=110MPa。试确定各杆的横截面面积。

解：设杆1所受压力为FN1，杆2所受拉力为FN2，则由梁BC的平衡条件得

变形协调条件为杆1缩短量等于杆2伸长量，即   联立求解方程(1)、(2)得 因为杆1、杆2的轴力相等，而许用压应力小于许用拉应力，故由杆1的压应力强度条件得 　

3-11(3-25) 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[σ1]=40MPa，[σ2]=60MPa，[σ3]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积。

解：设杆1、杆2、杆3的轴力分别为FN1(压)、FN2(拉)、FN3(拉)，则由C点的平衡条件 杆1、杆2的变形图如图(b)所示，变形协调条件为C点的垂直位移等于杆3的伸长，即    联立求解式(1)、(2)、(3)得
由三杆的强度条件  

注意到条件 A1=A2=2A3，取A1=A2=2A3=2448mm2。  

3-12(3-30) 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40°，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为αl s=12.5×10－６℃－１与αl c=16×10－６℃－１。

解：钢杆受拉、铜管受压，其轴力相等，设为FN，变形协调条件为钢杆和铜管的伸长量相等，即

铆钉剪切面上的切应力  

3-13(3-32) 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A、E与[σ]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为l+Δ。试问当Δ为何值时许用载荷最大，其值[Fmax]为何。
解：静力平衡条件为  

变形协调条件
为     联立求解式(1)、(2)、(3)得
杆3的轴力比杆1、杆2大，由杆3的强度条件
若将杆3的设计长度l变为l+Δ，要使许用载荷最大，只有三杆的应力都达到[σ]，此时 变形协调条件为  

第 四 章   扭转
 4-1(4-3) 图示空心圆截面轴，外径D=40mm，内径d=20mm，扭矩T=1kN•m。试计算横截面上的最大、最小扭转切应力，以及A点处（ρA=15mm）的扭转切应力。

解：因为τ与ρ成正比，所以　

4-2(4-10) 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接。已知轴的转速n=100 r/min，传递功率P=10 kW，许用切应力[τ]=80MPa，d1/d2=0.6。试确定实心轴的直径d，空心轴的内、外径d1和d2。

解：扭矩由实心轴的切应力强度条件 由空心轴的切应力强度条件 　

4-3(4-12) 某传动轴，转速n=300 r/min，轮1为主动轮，输入功率P1=50kW，轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别为P2=10kW，P3=P4=20kW。
(1) 试求轴内的最大扭矩；
(2) 若将轮1与轮3的位置对调，试分析对轴的受力是否有利。

解：(1) 轮1、2、3、4作用在轴上扭力矩分别为轴内的最大扭矩若将轮1与轮3的位置对调，则最大扭矩变为
最大扭矩变小，当然对轴的受力有利。

4-4(4-21) 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。

解：(a) 由对称性可看出，MA=MB，再由平衡可看出MA=MB=M

(b)显然MA=MB，变形协调条件为解得(c)
(d)由静力平衡方程得
变形协调条件为联立求解式(1)、(2)得

4-5(4-25) 图示组合轴，由套管与芯轴并借两端刚性平板牢固地连接在一起。设作用在刚性平板上的扭力矩为M=2kN·m，套管与芯轴的切变模量分别为G1=40GPa与G2=80GPa。试求套管与芯轴的扭矩及最大扭转切应力。

解：设套管与芯轴的扭矩分别为T1、T2，则
T1+T2 =M=2kN·m (1)
变形协调条件为套管与芯轴的扭转角相等，即
联立求解式(1)、(2)，得套管与芯轴的最大扭转切应力分别为 　

4-6(4-28) 将截面尺寸分别为φ100mm×90mm与φ90mm×80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力矩M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力矩M0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。
解：去掉扭力矩M0后，两钢管相互扭，其扭矩相等，设为T，
设施加M0后内管扭转角为φ0。去掉M0后，内管带动外管回退扭转角φ1（此即外管扭转角），剩下的扭转角(φ0-φ1)即为内管扭转角，变形协调条件为
内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为 　

 4-7(4-29) 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为D=100mm的圆周上，突缘的厚度为δ=10mm，轴所承受的扭力矩为M=5.0 kN·m，螺栓的许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力 [σbs]=300MPa。试确定螺栓的直径d。

解：设每个螺栓承受的剪力为FS，则   由切应力强度条件  由挤压强度条件 
故螺栓的直径

第 五 章   弯曲应力
1(5－1)、平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定?简支梁受力及Ox坐标取向如图所示。试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。

解：B正确。
平衡微分方程中的正负号由该梁Ox坐标取向及分布载荷q(x)的方向决定。截面弯矩和剪力的方向是不随坐标变化的，我们在处理这类问题时都按正方向画出。但是剪力和弯矩的增量面和坐标轴的取向有关，这样在对梁的微段列平衡方程式时就有所不同，参考下图。当Ox坐标取向相反，向右时，相应(b)，A是正确的。但无论A、B弯矩的二阶导数在q向上时，均为正，反之，为负。

2(5－2)、对于承受均布载荷q的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关?试判断下列四种答案中哪一种是错误的。

解：A是错误的。梁截面上的弯矩的正负号，与梁的坐标系无关，该梁上的弯矩为正，因此A是错误的。弯矩曲线和一般曲线的凸凹相同，和y轴的方向有关，弯矩二阶导数为正时，曲线开口向着y轴的正向。q(x)向下时，无论x轴的方向如何，弯矩二阶导数均为负，曲线开口向着y轴的负向，因此B、C、D都是正确的。  

3(5－3)、应用平衡微分方程画出下列各梁的剪力图和弯矩图，并确定|FQ|max和|M|max。（本题和下题内力图中，内力大小只标注相应的系数。）
解：

4(5－4)、试作下列刚架的弯矩图，并确定|M|max。
解：

5(5－5)、静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知A端弯矩M(0)=0，试确定梁上的载荷(包括支座反力)及梁的弯矩图。
解：

6(5－6)、已知静定梁的剪力图和弯矩图，试确定梁上的载荷(包括支座反力)。
解：

7(5－7)、静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知E端弯矩为零。请：
（1）在Ox坐标中写出弯矩的表达式；
（2）试确定梁上的载荷及梁的弯矩图。
解：

8(5-10) 在图示梁上，作用有集度为m=m(x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力及弯矩间的微分关系。

解：用坐标分别为x与x+dx的横截面，从梁中切取一微段，如图(b)。平衡方程为
9(5-11) 对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度q或扭力矩集度m）与相应内力（轴力或扭矩）间的微分关系。

解：(a) 用坐标分别为x与x+dx的横截面，从杆中切取一微段，如图(c)。平衡方程为
  (b) 用坐标分别为x与x+dx的横截面，从杆中切取一微段，如图(d)。平衡方程为
10(5-18) 直径为d的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上。试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。已知材料的弹性模量为E。

解：

11(5-23) 图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：
(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值；
(2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b应分别为何值；

解：(1) 欲使梁的弯曲强度最高，只要抗弯截面系数
取极大值，为此令 

(2) 欲使梁的弯曲刚度最高，只要惯性矩取极大值，为此令

12(5-24) 图示简支梁，由№18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。已知钢的弹性模量E=200GPa，a=1m。

解：梁的剪力图及弯矩图如图所示，从弯矩图可见：

13(5-32) 图示槽形截面铸铁梁，F=10kN，Me=70kN·m，许用拉应力
[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=120MPa。试校核梁的强度。

解：先求形心坐标，将图示截面看成一大矩形减去一小矩形惯性矩
弯矩图如图所示，C截面的左、右截面为危险截面。
在C左截面，其最大拉、压应力分别为
  在C右截面，其最大拉、压应力分别为 故

14(5-35) 图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成，试校核其强度。已知载荷F=4kN，梁跨度l=400mm，截面宽度b=50mm，高度h=80mm，木板的许用应力[σ]=7MPa，胶缝的许用切应力[τ]=5MPa。

解：从内力图可见木板的最大正应力
由剪应力互等定理知：胶缝的最大切应力等于横截面上的最大切应力

可见，该梁满足强度条件。   

15(5-41) 图示简支梁，承受偏斜的集中载荷F作用，试计算梁内的最大弯曲正应力。已知F=10kN，l=1m，b=90mm，h=180mm。

解：
16(5-42) 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力[σ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：

(1) 截面为矩形，h=2b；
(2) 截面为圆形。
解：(1) 危险截面位于固定端 (2)  
  17(5-45) 一铸铁梁，其截面如图所示，已知许用压应力为许用拉应力的4倍，即[σc]=4 [σt]。试从强度方面考虑，宽度b为何值最佳。

解：

又因y1+y2=400 mm，故y1=80 mm，y2=320 mm。将截面对形心轴z取静矩，得

18(5-54) 图示直径为d的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e的载荷F作用。试证明：当e≤d/8时，横截面上不存在拉应力，即截面核心为R=d/8的圆形区域。

解：

19(5-55) 图示杆件，同时承受横向力与偏心压力作用，试确定F的许用值。已知许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa。

解：故F的许用值为4.85kN。

第 七 章  应力、应变状态分析  
7-1(7-1b) 已知应力状态如图所示（应力单位为 ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。
解： 与 截面的应力分别为：
； ； ；

MPa

7-2(7-2b)已知应力状态如图所示（应力单位为 ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。
解： 与 截面的应力分别为：
； ； ；

7-3(7-2d)已知应力状态如图所示（应力单位为 ），试用图解法计算图中指定截面的正应力与切应力。

解：如图，得：
指定截面的正应力
切应力

7-4(7-7) 已知某点A处截面AB与AC的应力如图所示（应力单位为 ），试用图解法求主应力的大小及所在截面的方位。

   解：由图，根据比例尺，可以得到：
， ，

7-5(7-10c)已知应力状态如图所示，试画三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应力。

 解：对于图示应力状态， 是主应力状态，其它两个主应力由 、 、 确定。
在 平面内，由坐标( , )与( , )分别确定 和 点，以 为直径画圆与 轴相交于 和 。
再以 及 为直径作圆，即得三向应力圆。
由上面的作图可知，主应力为
， ，
，

7-6(7-12)已知应力状态如图所示（应力单位为 ），试求主应力的大小。
解： 与 截面的应力分别为：
； ； ；
在 截面上没有切应力，所以 是主应力之一。

； ； ；

7-7(7-13)已知构件表面某点处的正应变 ， ，切应变 ，试求该表面处 方位的正应变 与最大应变 及其所在方位。
解：

得：

7-8(7-20)图示矩形截面杆，承受轴向载荷F作用，试计算线段AB的正应变。设截面尺寸b和h与材料的弹性常数E和μ均为已知。

解： ， ， ，
AB的正应变为

7-9(7-21)在构件表面某点O处，沿 ， 与 方位，粘贴三个应变片，测得该三方位的正应变分别为 ， 与 ，该表面处于平面应力状态，试求该点处的应力 ， 与 。已知材料的弹性模量 ，泊松比
解：显然， ，
并令 ，于是得切应变：

7-10(7-6)图示受力板件，试证明A点处各截面的正应力与切应力均为零。

证明：若在尖点A处沿自由边界取三角形单元体如图所示，设单元体 、 面上的应力分量为 、 和 、 ，自由边界上的应力分量为 ，则有

由于 、 ，因此，必有 、 、 。这时，代表A点应力状态的应力圆缩为 坐标的原点，所以A点为零应力状态。

7-11(7-15)构件表面某点 处，沿 ， ， 与 方位粘贴四个应变片，并测得相应正应变依次为 ， ， 与 ，试判断上述测试结果是否可靠。
解：很明显， ，

得：
又

得：
根据实验数据计算得到的两个 结果不一致，所以，上述测量结果不可靠。

第 八 章 应力状态与强度理论
1、  (8-4)试比较图示正方形棱柱体在下列两中情况下的相当应力 ，弹性常数E和μ均为已知。
（a）       棱柱体轴向受压；
（b）       棱柱体在刚性方模中轴向受压。

解：对于图（a）中的情况，应力状态如图（c）

对于图（b）中的情况，应力状态如图（d）

所以， ，

2、  (8-6)图示钢质拐轴，承受集中载荷F作用。试根据第三强度理论确定轴AB的直径。已知载荷F=1kN，许用应力[σ]=160Mpa。

解：扭矩
弯矩

由
得：
所以，

3、  (8-10)图示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮Ⅰ上，作用有径向力 、切向力 ；在齿轮Ⅱ上，作用有切向力 、径向力 。若许用应力[σ]=100Mpa，试根据第四强度理论确定轴径。

解：计算简图如图所示，作 、 、 图。
从图中可以看出，危险截面为B截面。其内力分量为：

由第四强度理论

得：

4、8-4 圆截面轴的危险面上受有弯矩Ｍy、扭矩Ｍx和轴力ＦNx作用，关于危险点的应力状态有下列四种。试判断哪一种是正确的。
请选择正确答案。
（图中微元上平行于纸平面的面对应着轴的横截面）

答：B

5、  （8-13)图示圆截面钢杆，承受载荷 ， 与扭力矩 作用。试根据第三强度理论校核杆的强度。已知载荷 N， ，扭力矩 ，许用应力[σ]=160Mpa。

解：弯矩

满足强度条件。

6、  (8-25)图示铸铁构件，中段为一内径D=200mm、壁厚δ=10mm的圆筒，圆筒内的压力p=1Mpa，两端的轴向压力F=300kN，材料的泊松比μ=0.25，许用拉应力[σt]=30Mpa。试校核圆筒部分的强度。

解：

， ，
由第二强度理论：

满足强度条件。

7、  (8-27)图薄壁圆筒，同时承受内压p与扭力矩M作用，由实验测得筒壁沿轴向及与轴线成 方位的正应变分别为 和 。试求内压p与扭力矩M之值。筒的内径为D、壁厚δ、材料的弹性模量E与泊松比μ均为已知。

解： ， ， ，
很显然，

8、  (8-22)图示油管，内径D=11mm，壁厚δ=0.5mm，内压p=7.5MPa，许用应力[σ]=100Mpa。试校核油管的强度。

解： ，
，
由第三强度理论，
满足强度条件。

9、  (8-11)图示圆截面杆，直径为d，承受轴向力F与扭矩M作用，杆用塑性材料制成，许用应力为[σ]。试画出危险点处微体的应力状态图，并根据第四强度理论建立杆的强度条件。

解：危险点的应力状态如图所示。
，
由第四强度理论， ，可以得到杆的强度条件：

10、(8-17)图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的载荷 作用。已知圆环轴线的半径为 ，截面的直径为 ，材料的许用应力为 ，试根据第三强度理论确定 的许用值。

解：危险截面在A或B
截面A： ，
，
截面B：
，
由第三强度理论可见，危险截面为A截面。
，
得：
即 的许用值为：

11、              (8-16)图示等截面刚架，承受载荷 与 作用，且 。试根据第三强度理论确定 的许用值 。已知许用应力为 ，截面为正方形，边长为 ，且 。

解：危险截面在A截面或C、D截面，C截面与D截面的应力状态一样。
C截面：

由第三强度理论，
得：
A截面：

由第三强度理论，
得：
比较两个结果，可得：
的许用值：

12、(8-25)球形薄壁容器，其内径为 ，壁厚为 ，承受压强为p之内压。试证明壁内任一点处的主应力为 ， 。

证明：取球坐标 ，对于球闭各点，以球心为原点。
， ，
由于结构和受力均对称于球心，故球壁各点的应力状态相同。且由于球壁很薄。
，
对于球壁上的任一点，取通过该点的直径平面（如图），由平衡条件

对于球壁内的任一点，

因此，球壁内的任一点的应力状态为：
，
证毕。

第 九 章 压杆稳定问题  
9-1(9-8) 图示正方形桁架，各杆各截面的弯曲刚度均为EI，且均为细长杆。试问当载荷F为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷F的方向改为向内，则使杆件失稳的载荷F又为何值？
解：(1) 此时，CD杆是压杆。
，

时，CD杆失稳。
(2) F的方向改为向内时，AC、CB、BD、DB杆均为压杆。
其受到的压力均为

时，压杆失稳。

9-2(9-22) 图示桁架，在节点C承受载荷F=100kN作用。二杆均为圆截面，材料为低碳钢Q275，许用压应力[σ]=180Mpa，试确定二杆的杆径。

 解： 取结点C分析。

AC杆是拉杆，
得：
BC杆是压杆，
得：
考虑到压杆失稳，

由于
故：
得：
因此：
AC杆的直径为：
BC杆的直径为：

9-3(9-12) 图示活塞杆，用硅钢制成，其直径d=40mm，外伸部分的最大长度l=1m，弹性模量E=210Gpa， =100。试确定活塞杆的临界载荷。

解：看成是一端固定、一端自由。此时
，而 ，所以， 。

用大柔度杆临界应力公式计算。

9-4(9-7) 试确定图示细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度EI为常数。
解：由于右段可水平移动而不能转动，所以右端有力偶 。
取杆的左段为隔离体，得

令
得：
它的通解为：
当 时， 得：
得：
所以，当 时，
即： (n=1,2,3…)
取n=1，
得最小值

所以，该细长压杆的相当长度 ，临界载荷为

9-5(9-2) 图示刚杆弹簧系统，试求其临界载荷。图中的k为弹簧常量。
解：设弹簧伸长为 ,则 ，那么支反力为： 。
各力对弹簧所在截面取矩，则：

即得：

9-6(9-13) 图示结构，由横梁AC与立柱BD组成，试问当载荷集度q=20N/mm与q=40N/mm时，截面B的挠度分别为何值。横梁与立柱均用低碳钢制成，弹性模量E=200GPa，比例极限 =200MPa。

解：截面几何性质：No20b工字钢
， ，梁长
圆截面立柱： ， ， ，长
，
结构为一次静不定，由变形协调条件

（1）       当 时

（2）       当 时

9-7(9-15) 图示矩形截面压杆，有三种支持方式。杆长l=300mm，截面宽度b=20mm，高度h=12mm，弹性模量E=200Gpa， =50， =0，中柔度杆的临界应力公式为：

试计算它们的临界载荷，并进行比较。

解： ，
， ，
（a）

（b）

（c）

从计算结果看出，第三种支持方式的临界载荷最大。

9-8(9-5) 图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E=200Gpa。试用欧拉公式计算其临界荷载。
（1）       圆形截面，d=30mm，l=1.2m；（2）       矩形截面，h=2b=50mm，l=1.2m；（3）       No14工字钢，l=1.9m。

解：(1)
(2)
(3)  

9-9(9-17) 图示连杆，用硅钢制成，试确定其临界载荷。中柔度杆的临界应力公式为

在 平面内，长度因数 ；在 平面内，长度因数 。

解：

考虑 平面失稳

考虑 平面失稳

采用中柔度杆的临界应力公式计算

9-10(9-19) 试检查图示千斤顶丝杠的稳定性。若千斤顶的最大起重量 ，丝杠内径 ，丝杠总长 ，衬套高度 ，稳定安全因数 ，丝杠用 钢制成，中柔度杆的临界应力公式为

解：看成是一端固定、一端自由。
，最大伸长长度 ，

用中柔度杆的临界应力公式计算。

所以，千斤顶丝杠不会失稳。

第 十二 章   非对称弯曲
1( 12—1)在梁的图示截面上，弯矩 M=10 kN·m。试计算最大弯曲正应力。已知截面的惯性矩Iy=Iz= 4.75´106mm4，Iyz=2.78´106mm4。

题10－l图
解：

2(12－3)图示悬臂梁，承受载荷F1与 F2作用，试校核梁的强度。已知 F1= 5 kN，F2=30kN，许用拉应力[st]=30 MPa，许用压应力[sc] = 90 MPa。

解：在固定端截面上

梁强度不满足要求。

3(12－8)图示用钢板加固的木梁，承受载荷 F=10 kN作用，钢与木的弹性模量分别为Es= 200 GPa与 Ew= 10 GPa。试求钢板与木梁横截面上的最大弯曲正应力以及截面 C的挠度。

解：

由上册附录E知

第 十三 章    能量法
13－1（11—1）图示各梁，弯曲刚度EI均为常数。试计算梁的应变能及所加载荷的相应位移。

题13－l (a) 图
解： 题13－l (a) 利用对称性

梁的应变能：

题13－l (b) 图
  题13－l (b)
解：

梁的应变能：

13－2（11—2）图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。试计算板件的总伸长。板件的厚度为d，长度为l，左、右端的截面宽度分别为b1与b2 ，材料的弹性模量为E。

题13－2图

解：

注意：（1）该题为变截面，各截面横截面上正应力不同。
（2）各截面上正应力不同，故不能用 ，只能用 计算。

13－3（11—3）图示等截面直杆，承受轴向载荷F作用。设杆的横截面面积为A，材料的应力－应变关系为 ，其中c为已知常数。试计算外力所作之功。

解：

注意：该题为材料非线性
（1）      对轴向拉压， 仍适用；
（2）      不适用；
（3）      仍适用。
解法二：

  13－4（11—4）图示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F作用。试用能量法证明弹簧的轴向变形为

式中：D为弹簧的平均直径，d为弹簧丝的直径，n为弹簧的圈数，a为螺旋升角，E为弹性模量，G为切变模量。
解

题13－4图

13－5（11—5）图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为F的横向力作用。设截面宽度为b、拉压刚度为EA，材料的泊松比为m。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为

状态Ⅰ
题13－5图
状态