皮尔森相关和斯皮尔曼等级相关.docx

1 背景
说到相关系数，学过生物统计的人应该不会太陌生。随着基因芯片和高通量测序技术的发展，相关系数在生物数据统计中的应用越来越普遍。例如，通过计算不同基因表达量的相关系数，来构建基因共表达网络。大部分基因网络分析的方法，都与基因间表达量相关系数的计算相关（即使是复杂一点的算法，相关系数的计算也可能是算法的基础部分）。所以理解相关系数，对分析生物学数据非常重要。
2 皮尔森相关
2.1 概念
在所有相关系数的计算方法里面，最常见的就是皮尔森相关。
皮尔森相关百度百科解释：皮尔森相关系数（Pearson correlation coefficient）也称皮尔森积差相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ，是一种线性相关系数。皮尔森相关系数是用来反映两个变量线性相关程度的统计量。相关系数用r表示，其中n为样本量，分别为两个变量的观测值和均值。r描述的是两个变量间线性相关强弱的程度。r的绝对值越大表明相关性越强。

2.2 数据测试
公式是抽象的，我们利用几组值就可以更好理解相关系数的意义。从皮尔森相关系数定义来看，如果两个基因的表达量呈线性关系（数学上，线性相关指的是直线相关，指数、幂函数、正弦函数等曲线相关不属于线性相关），那么两个基因表达量的就有显著的皮尔森相关系性。下面用几组模拟数值来测试一下：
测试1：两个基因A、B，他们的表达量关系是B=2A，在8个样本中的表达量值如下：
表1 基因A、B在8个样本中的表达量值
样本编号
样本1
样本2
样本3
样本4
样本5
样本6
样本7
样本8
A
0.6
0.7
1
2.1
2.9
3.2
5.5
6.7
B
1.2
1.4
2
4.2
5.8
6.4
11
13.4
图1 基因A、B在8个样本中的表达量示意图

计算得出，他们的皮尔森相关系数r=1，P-vlaue≈0。

测试2：两个基因A、C，他们的关系是C=15-2A，在8个样本中的表达量值如下：
表2 基因A、C在8个样本中的表达量值
样本编号
样本1
样本2
样本3
样本4
样本5
样本6
样本7
样本8
A
0.6
0.7
1
2.1
2.9
3.2
5.5
6.7
C
13.8
13.6
13
10.8
9.2
8.6
4
1.6
图2基因A、C在8个样本中的表达量示意图

计算得出，他们的皮尔森相关系数r=-1，P-vlaue≈0。
从以上可以直观看出，如果两个基因的表达量呈线性关系，则具有显著的皮尔森相关性。如果两个基因“共舞”（如图1），则两者正相关；如果“你要往东，我偏往西”（如图2），则两者负相关。

以上是两个基因呈线性关系的结果。如果两者呈非线性关系，例如幂函数关系（曲线关系），那又如何呢？ 我们再试试。

测试3：两个基因A、D，他们的关系是D=A10，在8个样本中的表达量值如下：

表3 基因A、C在8个样本中的表达量值
样本编号
样本1
样本2
样本3
样本4
样本5
样本6
样本7
样本8
A
0.6
0.7
1
2.1
2.9
3.2
5.5
6.7
D
6.0E-3
2.8E-2
1
1.7E3
4.2E4
1.1E5
2.5E7
1.8E8
图3基因A、C在8个样本中的表达量示意图

计算得出，他们的皮尔森相关系数等于 0.77，P value= 0.0267。

可以看到，基因A、D相关系数，无论数值还是显著性都下降了。皮尔森相关系数是一种线性相关系数，因此如果两个变量呈线性关系的时候，具有最大的显著性。对于非线性关系（例如A、D的幂函数关系），则其对相关性的检测功效会下降。但在生物体内的许多调控关系，例如转录因子与靶基因、小干扰RNA与靶基因，可能都是非线性关系，那么是否有更合适的相关系数检测方法呢？
其实可以考虑另外一个相关系数计算方法：斯皮尔曼等级相关。
3 斯皮尔曼等级相关
斯皮尔曼等级相关（Spearman’s correlation coefficient for ranked data）主要用于解决称名数据和顺序数据相关的问题。适用于两列变量，而且具有等级线性关系的资料。由英国心理学家、统计学家斯皮尔曼根据积差相关的概念推到而来，一些人把斯皮尔曼等级相关看做积差相关的特殊形式。

n为等级个数
d为二列成对变量的等级差数

简单点说，就是无论两个变量的数据如何变化，符合什么样的分布，我们只关心每个数值在变量内的排列顺序。如果两个变量的对应值，在各组内的排序顺位是相同或类似的，则具有显著的相关性。
举个例子，例如表3的数值，用斯皮尔曼等级相关计算相关系数，将发生如下变化。
表4 斯皮尔曼等级排列
样本编号
样本1
样本2
样本3
样本4
样本5
样本6
样本7
样本8
A表达量
0.6
0.7
1
2.1
2.9
3.2
5.5
6.7
A 排序等级
1
2
3
4
5
6
7
8
D表达量
6.0E-3
2.8E-2
1
1.7E3
4.2E4
1.1E5
2.5E7
1.8E8
D排序等级
1
2
3
4
5
6
7
8
d(等级差)
0
0
0
0
0
0
0
0
备注：排序等级就是这个数值在组内从小到大排列的序位号。

利用斯皮尔曼等级相关计算A、D基因表达量的相关性，结果是：
r=1，p-value = 4.96e-05
这里斯皮尔曼等级相关的显著性显然高于皮尔森相关。这是因为虽然两个基因的表达量是非线性关系，但两个基因表达量在所有样本中的排列顺序是完全相同的，因为具有极显著的斯皮尔曼等级相关性。
4 总结
皮尔森相关和斯皮尔曼等级相关，都是在计算基因共表达或多组学贯穿分析时常用的相关性度量方法。因为基因间调控方式可能并非线性，加上实验误差、检测误差等因素的干扰，皮尔森相关的显著性可能会下降。而斯皮尔曼等级相关可能可以弥补以上的缺陷，因此一些软件也提供了这个选择。例如分析软件TF-cluster默认使用斯皮尔曼等级相关来计算转录因子和基因间的相关性。
但由于生物体调控方式的复杂性，例如多个基因联合调控一个下游基因，我们并不能武断决定哪一种相关性计算方式最佳，还是需要根据具体情况定制个性化的分析策略。
另外，计算两个变量的相关性，可以使用R软件的cor.test命令计算，该命令有pearson, kendall， spearman三种算法供选择。