建立一元二次方程解决几何问题.docx

新课标（RJ） 数学 九年级上册 全品新教案
21.3 实际问题与一元二次方程

第3课时　几何图形问题

情景导入　置疑导入　归纳导入　复习导入　类比导入　悬念激趣
情景导入　提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究.我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，取得了重要成果.我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与现代的解法相似.
下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步）.只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步”.答：“阔二十四步，长三十六步”.这里，我们不谈杨辉的解法，你能用已学过的知识解决这个问题吗？
[说明与建议] 说明：在古代文献中有很多的方程应用型问题，题的内容来自生活，新颖有趣，有很高的数学价值和欣赏价值，通过本问题的引入，激起学生的学习兴趣.建议：引导学生积极思考问题，建立方程的思想.
悬念激趣　如图21－3－3，小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子.

图21－3－3
（1）如果要求长方体的底面面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为多少？
（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形的边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？

[说明与建议] 说明：通过生活中的实际问题的引入，让学生感觉到数学与生活的联系，激起学生的学习兴趣.建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于生活，要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，感受到数学的应用价值，并体会到方程是刻画现实世界的一个有效的工具.

教材母题——第22页习题21.3第9题
如图21－3－4，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？

图21－3－4
【模型建立】
此类问题一般要利用“图形经过移动，它的面积不会改变”的道理，把纵、横的彩条移动到一起，利用面积的和差解决问题.
有关面积问题的常见图形有如下几种：

图21－3－5
【变式变形】
1.庆阳中考如图21－3－6，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ A ）
A.（32－2x）（20－x）＝570 B.32x＋2×20x＝32×20－570
C.（32－x）（20－x）＝32×20－570 D.32x＋2×20x－2x2＝570

图21－3－6 图21－3－7
2.大连中考如图21－3－7，有一张矩形纸片，长为10 cm，宽为6 cm，将它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是x cm，根据题意可列方程为（ B ）
A.10×6－4×6x＝32 B.（10－2x）（6－2x）＝32
C.（10－x）（6－x）＝32 D.10×6－4x2＝32
3.如图21－3－8，某小区有一块长为36 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为　2　 m.

图21－3－8 图21－3－9
4.如图21－3－9，已知一边靠墙，另三边用木篱笆围成一个面积为130 m2的矩形花坛，木篱笆长为33 m，墙长为15 m，则矩形花坛的长和宽各为多少米才能使木篱笆正好合适？[答案：花坛长为13 m，宽为10 m]

[命题角度1] 列一元二次方程解决等积变形问题
在列一元二次方程解决等积变形问题时，要抓住以下三个等量关系：①图形周长改变，面积没变；②容器形状改变，但容积没变；③原料体积＝成品体积.从而找出题中的等量关系，列出方程.
例　[襄阳中考] 用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形.设矩形的长为x cm，则可列方程为（ B ）
A.x（20＋x）＝64　　　　　　　B.x（20－x）＝64
C.x（40＋x）＝64 D.x（40－x）＝64
[命题角度2] 列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题
方程是我们利用数学知识解决实际问题时常用的一种数学模型，而构建方程解决问题的关键是找到相等的数量关系，而几何图形常用的数量关系往往和线段的长度、角的度数和图形的面积等因素不可分割.例如本课素材二[教材母题挖掘].
[命题角度3] 列一元二次方程解决存在性问题
列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤：先假设结论存在或成立，然后根据题意列出方程.若方程有解，则说明假设成立；若方程无解，则说明假设不成立.
例　用长为32米的篱笆围成一个矩形养鸡场，设围成的矩形养鸡场的一边长为x米，面积为y平方米.
（1）求y关于x的函数解析式.
（2）当x为何值时，围成的矩形养鸡场的面积为60平方米？
（3）能否围成面积为70平方米的矩形养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由.
[答案：（1）y＝x（16－x）　（2）x＝10或x＝6　（3）不能　理由略]
[命题角度4] 列一元二次方程解决运动型问题
运动型问题一般根据“路程＝速度×时间”求出图形中相应边的长度，再列方程解决问题，这类题目一般和函数、几何图形综合考查，综合性较强.
例1　 如图21－3－10所示，东西方向上有相距10千米的A，C两地，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，则最快经过多少小时后，甲、乙两人相距6千米？[答案：小时]

图21－3－10
例2　某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形.如图21－3－11所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l＝t2＋t（t≥0），乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm.
（1）甲运动4 s后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？

图21－3－11
[答案：（1）14 cm　（2）3 s　（3）7 s]

P21习题21.3
复习巩固
1．解下列方程：
(1)x2＋10x＋21＝0；
(2)x2－x－1＝0；
(3)3x2＋6x－4＝0；
(4)3x(x＋1)＝3x＋3；
(5)4x2－4x＋1＝x2＋6x＋9；
(6)7x2－x－5＝0.
解：(1)移项，得x2＋10x＝－21.配方，得
x2＋10x＋52＝－21＋52，即(x＋5)2＝4.
开平方，得x＋5＝±2，∴x1＝－3，x2＝－7.
(2)∵a＝1，b＝－1，c＝－1，b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5>0，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝.
(3)∵a＝3，b＝6，c＝－4，b2－4ac＝62－4×3×(－4)＝84>0，x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
(4)整理，得3x(x＋1)－3(x＋1)＝0，
3(x＋1)(x－1)＝0，则有x＋1＝0或x－1＝0，
∴x1＝－1，x2＝1.
(5) 整理，得(2x－1)2－(x＋3)2＝0，
(x－4)(3x＋2)＝0，则有x－4＝0或3x＋2＝0，
∴x1＝4，x2＝－.
(6)∵a＝7，b＝－，c＝－5，
b2－4ac＝(－)2－4×7×(－5)＝146>0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
2．两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数．
解：设这两个偶数分别为x，x＋2，由题意，得x(x＋2)＝168.整理，得x2＋2x－168＝0.解得x1＝12，x2＝－14.当x＝12时，x＋2＝14；当x＝－14时，x＋2＝－12.经检验都是符合题意的．
答：这两个偶数分别是12，14或－14，－12.
3．一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm，面积是24 cm2.求两条直角边的长．
解：设一条直角边长为x cm，另一条直角边长为(14－x) cm.由题意，得＝24.解这个方程，得x1＝6，x2＝8.当x＝6时，14－x＝8；当x＝8时，14－x＝6.所以两条直角边的长分别为6 cm和8 cm.
综合运用
4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
解： 设每个支干长出x个小分支，由题意，得1＋x＋x2＝91，整理，得(x－9)(x＋10)＝0，x－9＝0或x＋10＝0，解得x1＝9，x2＝－10(不合题意，舍去)．答：每个支干长出9个小分支．
5．一个菱形两条对角线长的和是10 cm，面积是12 cm2.求菱形的周长．
解：设菱形的一条对角线为x cm，则另一条对角线为(10－x) cm，由题意，得＝12.解这个方程，得x1＝4，x2＝6.当x＝4时，10－x＝6；当x＝6时，10－x＝4，经检验都符合题意．∴菱形的边长为＝.∴菱形的周长为4 cm.
6．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
解：设共有x个队参加比赛，每个队要赛(x－1)场，由题意，得x(x－1)＝90.解得x1＝10，x2＝－9(舍去)．答：共有10个队参加比赛．
7．青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200 kg，2012年平均每公顷产8450 kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率．
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，由题意，得7200(1＋x)2＝8450，(1＋x)2＝，1＋x≈±1.083.
x1≈0.083＝8.3%，x2≈－2.083(不合题意，舍去)．答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8.3%.
8．要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位)?
解： 设镜框边的宽度为x cm，由题意，得(29＋2x)(22＋2x)＝×29×22，
整理，得8x2＋204x－319＝0，解得x＝，
∴x1≈1.5，x2≈－27.0 (不合题意，舍去)．
答：镜框边的宽度约为1.5 cm.
拓广探索
9．如图，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)?

解： 因为横、竖彩条的宽度比为3∶2，可设横彩条的宽度为3x cm，竖彩条的宽度为2x cm，
由题意，得(20－6x)(30－4x)＝×20×30.
整理，得12x2－130x＋75＝0.
解得x＝，
∴x1≈0.6，x2≈10.2 (不合题意，舍去)．
当x＝0.6时，3x＝1.8，2x＝1.2 .
答：横彩条的宽度为1.8 cm，竖彩条的宽度为1.2 cm.
10．如图，线段AB的长为1.

(1)线段AB上的点C满足关系式AC2＝BC·AB，求线段AC的长度；
(2)线段AC上的点D满足关系式AD2＝CD·AC，求线段AD的长度；
(3)线段AD上的点E满足关系式AE2＝DE·AD，求线段AE的长度．
上面各小题的结果反映了什么规律？
解：(1)设AC的长为x，则BC的长为1－x，由题意，得x2＝(1－x)·1，解得x1＝≈0.618.x2＝(舍去)，即AC的长度为0.618.
(2)AD2＝CD·AC＝(AC－AD)·AC，
∴AD2＋AC·AD－AC2＝0，
解得AD＝AC≈0.6182.
(3)AE2＝DE·AD＝(AD－AE)·AD，
∴AE2＋AD·AE－AD2＝0，解得AE＝AD≈0.6183.
规律：C是线段AB的黄金分割点，D是线段AC的黄金分割点，E是线段AD的黄金分割点．
[素材五　　　图书增值练习

能力培优
21.3 实际问题与一元二次方程
专题一 利用一元二次方程解决面积问题
1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．

2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

3. 数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：
（1）在长为m，宽为m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草坪的面积可表示为 ；
（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则此时余下草坪的面积为 ；
（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！
（如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为1421．求小路的宽x.

专题二 利用一元二次方程解决变化率问题
4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取 ≈1.41）

5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感
染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有
效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

6.【2012·广元】某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于
国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670
元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
专题三 利用一元二次方程解决市场经济问题
7.【2012·济宁】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：
如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，
所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最
终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？

8.【2012·南京】某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售
价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售
出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给
销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部
返利1万元.
(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元.
(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）

专题四 利用一元二次方程解决生活中的其他问题
9. (1)经过凸边形(＞3)其中一个顶点的对角线有 条.
(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？
(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明理由.
10.如图，每个正方形是由边长为1的小正方形组成．

（1）观察图形，请填写下列表格：
正方形边长
1
3
5
7
…
n（奇数）
红色小正方形个数

…

正方形边长
2
4
6
8
…
n（偶数）
红色小正方形个数

…

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．

知识要点：
列方程解决实际问题的常见类型：面积问题、增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.
温馨提示：
1.若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．
2.面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程．
3.列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性.
方法技巧：
1. 变化率问题中常用a（1±x）n=b，其中a是起始量，b是终止量，n是变出次数，x是变
化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.
2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系.

参考答案
1.【解】设高为x米，则宽为米.由题意，得.
解得 (舍去,高度为2.8m的一面墙上).
当x=1.5时，宽.
答：高为1.5米,宽为2米.
2.【解】设横、竖彩条的宽度分别为2xcm、3xcm，由题意，得
（20－6x）（30－4x）=（1－）×20×30.整理，得6x2－65x＋50＝0.
解得x1＝，x2＝10（不合题意，舍去）.∴2x＝，3x＝.
答：每个横、竖彩条的宽度分别为cm，cm．
3.【解】(1)（或）；(2) （或）；
(3)将笔直的小路平移到草坪的左边，则余下部分的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两侧重合，则余下部分的宽为（30-x）m,由题意得：
(50-x)（30-x）=1421. 解得 x1=1， x2=79（舍去）.
答：小路的宽为1m.
4.【解】设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意，得
30%a（1+x）2=60%a.∴x1≈0.41，x2≈-2.41（不合题意舍去）．∴x≈0.41．
答：每年的增长率约为41%．
5.【解】设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意，得
1＋x＋(1＋x)x＝81.整理得(1＋x)2＝81.
∴x1＝8，x2＝ －10（舍去）.
∴(1＋x)3＝(1＋8)3＝729＞700．
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．
6.【解】（1）设平均每次下调，则有.∴.
∵1—p%>0，∴1—p%=0.9. p%=0.1=10%.答：平均每次下调10%；
（2）先下调5%，再下调15%，这样最后单价为7000元×(1—5%)×(1—15%）=5652.5元.
∴ 销售经理的方案对购房者更优惠一些．
7.【解】因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，所以该校购买树苗超过60棵．
设该校共购买了x棵树苗，由题意，得 .
解得．
当时，，∴不合题意，舍去；
当时，，∴.
∴.
答：该校共购买了80棵树苗．
8.【解】(1)26.8
（2）设需要销售出x部汽车可盈利12万元.
①当销售10部以内（含10部）时，依题可得﹝28－27+0.1（x－1）﹞x+0.5x=12.
解得.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.
②当销售10部以上时，依题可得﹝28－27+0.1（x－1）﹞x+x=12.
解得，均不合题意，应舍去.
答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.
9.【解】（1）n－3
(2)设这个凸多边形是边形,由题意,得.
解得 (不合题意,舍去).答:这个凸多边形是七边形.
(3)不存在.
理由:假设存在边形有21条对角线. 由题意得.
解得.因为多边形的边数为正整数，但不是正整数，故不合题意.所以不存在有21条对角线的凸多边形.
10.【解】（1）1 5 9 13 2n－1；4 8 12 16 2n
（2）由（1）可知n为偶数时P1=2n．∴P2=n2－2n.
根据题意得n2－2n=5×2n，n2－12n=0，解得n=12，n=0（舍去）．
∴存在偶数n=12使得P2=5P1．

素材六　　　　　数学素养提升

列一元二次方程解决阅读理解问题
阅读理解问题是给出一些材料，让学生在阅读的基础上理解材料中所提供的定义、公式、思想方法及解题技巧等知识，用于解决后面的问题.因此，在用一元二次方程解决阅读理解问题时要注意：①认真阅读材料，留心知识情景、数据、关键词句；②全面分析，理解材料的基本原理；③对相关信息进行归纳，加工提炼，进而构建方程模型来解答.
例.（2014•凉山州）实验与探究：
三角形点阵中前n行的点数计算
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…．
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和.你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果用实验的方法，由上而下地逐行相加其点数，虽然你能发现1+2+3+······+23+24=300，得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需要花费较多时间，能否更简捷地得出结果呢？
我们先探究三角点阵中前 n 行的点数和与 n 的数量关系.
前 n 行的点数和是1+2+3+···+（n+2）+（n-1）+n。可以发现，
2×[1+2+3+···+（n+2）+（n-1）+n]
=[1+2+3+···+（n+2）+（n-1）+n]+[n+（n-1）+（n+2）+···+3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加……第 n 项相加，上式等号的后边变形为这 n 个小 括号都等于 n+ 1 ，整个式子等于 n(n + 1) ，于是得到
1+2+3+···+（n+2）+（n-1）+n=
这就是说，三角点阵中前 n 行的点数的和是 n(n + 1)
下面用一元二次方程解决上述问题： 设三角点阵中前 n 行的点数和为 300，则有 n(n + 1)=300
整理这个方程，得
解方程得：
根据问题中未知数的意义确定 n = 24 ，即三角点阵中前 24 项的和是 300.
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能，求出 n ；如果不能，试用一元二次方程 说明道理；
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 2、4、6、……、 2 n ，你能探究出前 n 行 的点数之和满足什么规律吗？这个三角点阵中前 n 行的点数之和能是 600 吗？如果能，求出 n ；如 果不能，试用一元二次方程说明道理。

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