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卵型曲线计算方法
【摘 要】 在高速公路立交平面线型中，现越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有相关书籍中却又很少提到，这就为施工中的坐标计算及放样增加了较大难度，为解决此难道，我在实践中通过对缓和曲线坐标的计算加以分析并结合理论知识，总结出了卵形曲线坐标的计算方法和技巧。

【关键词】 卵形曲线 坐标 计算

一、概念

卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

二、卵形曲线坐标计算原理

根据已知的设计参数，求出包括卵形

曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。

三、坐标计算

以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：

（图一）

已知相关设计数据见下表：
主点

桩号
坐 标（m）
X
Y
切线方位角（θ）
° ’ ”

ZH

AK0+090
9987.403
10059.378
92 17 26.2

HY1

AK0+160
9968.981
10125.341
132 23 51.6

YH1

AK0+223.715
9910.603
10136.791
205 24 33.6

HY2

AK0+271.881
9880.438
10100.904
251 24 18.5

YH2

AK0+384.032
9922.316
10007.909
337 04 54.2

HZ

AK0+444.032
9981.363
10000.000
0 00 00

1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算

A1==59.161

卵形曲线参数：

A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）

=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）

= 7224.900

A2==84.999

A3==67.082

2．卵形曲线所在缓和曲线要素计算

卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166

卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）

LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1

=7224.900÷50=144.498

∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213

LE=HY2至HZ'的弧长

=A2÷R2=7224.900÷75=96.332

或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332

卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）

HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）

由上说明计算正确

3．HZ'点坐标计算（见图二）

（图二）

①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：

Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]

Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]

公式中符号含义：

n — 项数序号(1、2、3、……n)

！— 阶乘

R — 圆曲线半径

Ls — 缓和曲线长
②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：

X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）

Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）

公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长

HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，

L=LS=HZ'-YH1

=368.213-223.715=144.498

将L=LS 代入公式（1）、（2）得：
X=117.1072 Y=59.8839

L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301

偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”

* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
缓和曲线切线角：

a2=90L2÷（πK）

=90×144.4982÷(π×7224.900)

=82°47’28.5”

* K为卵型曲线参数，本例中

K= A2=7224.900

Q3=180-a1-（180-a2）

=180-27°05’00.2”-（180-82°47’28.5”）

=55°42’28.3”

∴YH1"HZ’切线方位角（M"B）

=205°24’33.6” +Q3

=205°24’33.6”+55°42’28.3”

=261°07’01.9”

∴HZ’：AK0+368.213坐标：

X=XYH1+Ccos261°07’01.9”

=9910.603+131.5301 cos261°07’01.9”=9890.293

Y=YYH1+Csin261°07’01.9”

=10136.791+131.5301 sin261°07’01.9”=10006.838

4．HZ’：AK0+368.213点的切线方位角（D"B）计算

D"B方位角：

=205°24’33.6”+Q2

=205°24’33.6”+82°47’28.5”
=288°12’02.1”

∴B"D切线方位角：
=288°12’02.1”-180

=108°12’02.1”

5．计算卵型曲线上任意点坐标(以HZ’:AK0+368.213作为推算起点)
①计算HY2:AK0+271.881的坐标

∵L= HZ’- HY2=368.213-271.881=96.332代入公式1、2得:X=92.434 Y=20.022

偏角Q= arctg（Y÷X）=12°13’19.61” 对应弦长C=√（X2+Y2）=94.578

坐标：

X=9890.293+94.578cos(108°12’02.1”-12°13’19.61”)

=9880.442

Y=10006.838+94.578sin(108°12’02.1”-12°13’19.61”)

=10100.902

②与设计值比较:

rX=X计算值-X设计值=9880.442-9880.438

=+0.004

rY=Y计算值-Y设计值=10100.902-10100.904

=-0.002 mm

同理依次可计算出卵型曲线上其它任意点的坐标。由此可见，采用此方法计算求得的坐标与
设计院通过电脑程序计算的结果相差很小，本人多年来在高速公路多条卵型曲线采用此方法
计算其坐标，其计算精确，完全可以作为包括高速公路在内的卵型曲线坐标计算。