第一单元数与式.doc

第1课 实数
一、知识梳理
1．实数的有关概念
(1)数轴：规定了__原点__，__正方向__和__单位长度__的直线叫做数轴，数轴上所有的点与全体__实数__一一对应．
(2)相反数：只有__符号__不同，而__绝对值__相同的两个数称为互为相反数．a，b互为相反数⇔a＋b＝__0__．
(3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的__商__，叫做这个数的倒数．a，b互为倒数⇔ab＝__1__．
(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的__距离__，叫做这个数的绝对值．
|a|＝
|a|是一个非负数，即|a|__≥0__．
(5)科学记数法，近似数：
科学记数法就是把一个数表示成__±a×10n__(1≤a＜10，n是整数)的形式；一个近似数，__四舍五入__到哪一位，就说这个数精确到哪一位．
(6)平方根，算术平方根，立方根：
如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作__x＝±__；正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作__x＝__.
(7)识记：
112＝________，122＝________，132＝________，142＝________，152＝________，162＝________，172＝________，182＝________，192＝________，202＝________，212＝________，222＝__________，232＝________，242＝________，252＝__________．
13＝________，23＝________，33＝__________，43＝________，53＝________，63＝__________，73＝________，83＝________，93＝__________，103＝________．
2．实数的分类
按实数的定义分类：
实数
根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数
3．零指数幂，负整数指数幂
任何非零数的零次幂都等于1，即__a0＝1(a≠0)__；任何不等于零的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，即__a－p＝(a≠0，p为正整数)__．
4．实数的运算
实数的运算顺序是先算__乘方和开方__，再算__乘除__，最后算__加减__，如果有括号，先算__小括号__，再算__中括号__，最后算__大括号__，同级运算应__从左到右依次进行__．
五种大小比较方法
实数的大小比较常用以下五种方法：
(1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．
(2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小．
(3)差值比较法：设a，b是两个任意实数，则：a－b＞0⇒a＞b；a－b＝0⇒a＝b；a－b＜0⇒a＜b.
(4)倒数比较法：若＞，a＞0，b＞0，则a＜b.
(5)平方比较法：∵由a＞b＞0，可得＞，∴可以把与的大小问题转化成比较a和b的大小问题．
二、拓展
实数的分类
【例1】　(2014·合肥模拟)实数π，，0，－1中，无理数是( A )
A．π　　　　B.　　　　C．0　　　　D．－1
【点评】　判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数，初中常见的无理数共分三种类型：(1)化简后含π(圆周率)的式子；(2)含根号且开不尽方的数；(3)有规律但不循环的无限小数．掌握常见无理数类型有助于识别无理数．
实数的运算
【例2】　(2014·重庆)计算：＋(－3)2－20140×|－4|＋()－1.
解：原式＝2＋9－1×4＋6＝11－4＋6＝13
【点评】　实数运算要严格按照法则进行，特别是混合运算，注意符号和顺序是非常重要的．
科学记数法与近似值、有效数字
【例3】　(1)(2014·芜湖模拟)餐桌上的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为( A )
A．5×1010千克 B．50×109千克
C．5×109千克 D．0.5×1011千克
(2)下列近似数中精确到千位的是( C )
A．90200 B．3.450×102
C．3.4×104 D．3.4×102
【点评】　(1)科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细，确定n的值时，把大数的总位数减1即为n的值，较小的数表示时就数第1个有效数字前所有“0”的个数(含小数点前的那个“0”)即为n的值；(2)科学记数法写出这个数后可还原成原数进行检验；(3)用有效数字表示的数，在确定其精确度时，要还原成原数后再进行处理判断．
与实数相关的概念
【例4】　(1)(2014·河北)－2是2的( B )
A．倒数　　　B．相反数　　C．绝对值　　　D．平方根
(2)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a＋b－c＝__2或0__．
【点评】　(1)互为相反数的两个数和为0；(2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；(3)两个非负数的和为0，则这两个数分别等于0.
数轴
【例5】　(2014·呼和浩特)实数a，b，c在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是( D )

A．ac＞bc B．|a－b|＝a－b
C．－a＜－b＜c D．－a－c＞－b－c
【点评】　数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上的点的位置及其相反数的位置，再根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大小或根据大减小为正，小减大为负，以及有理数的加法、乘法法则来确定数的运算后的符号．
实数的大小比较
【例6】　(1)(2014·绍兴)比较－3，1，－2的大小，下列判断正确的是( A )
A．－3＜－2＜1 B．－2＜－3＜1
C．1＜－2＜－3 D．1＜－3＜－2
(2)(2014·河北)a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则a，b分别是( A )
A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8
【点评】　实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几种方法来进行．

三、测评
1．(1)(2013·安顺)下列各数中，3.14159，－，0.131131113…，－π，，－无理数的个数有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)(2014·安庆模拟)下列各数中，为负数的是( B )
A．0 B．－2 C．1 D.
2．(2014·东营)计算：(－1)2014＋(sin30°)－1＋()0－|3－|＋83×(－0.125)3.
解：原式＝1＋2＋1－3＋3－1＝6－3
3．(1)近似数2.5万精确到__千__位．
(2)(2014·内江)一种微粒的半径是0.00004米，这个数据用科学记数法表示为( C )
A．4×106 B．4×10－6
C．4×10－5 D．4×105
4．(1)计算：－(－)＝____；|－|＝____；
(－)0＝__1__；(－)－1＝__－2__．
(2)若ab＞0，则＋－的值等于__1或－3__．
5．(1)(2014·蚌埠模拟)在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和－1，则点C所对应的实数是( D )

A．1＋ B．2＋ C．2－1 D．2＋1
(2)(2014·宁夏)实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是( D )

A．a＋b＝0 B．b＜a
C．ab＞0 D．|b|＜|a|
6．(1)(2014·阜阳模拟)比较大小：－2__＞__－3.
(2)比较2.5，－3，的大小，正确的是( A )
A．－3＜2.5＜ B．2.5＜－3＜
C．－3＜＜2.5 D.＜2.5＜－3

第2课 整式
一、知识梳理
1．单项式：由__数与字母__或__字母与字母__相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做__单项式的次数__，数字因数叫做__单项式的系数__．单独的数、字母也是单项式．
2．多项式：由几个__单项式相加__组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个__多项式的次数__，其中不含字母的项叫做__常数项__．
3．整式：__单项式和多项式__统称为整式．
4．同类项：多项式中所含__字母__相同并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．
5．幂的运算法则：
(1)同底数幂相乘：
__am·an＝am＋n(m，n都是整数，a≠0)__；
(2)幂的乘方：
__(am)n＝amn(m，n都是整数，a≠0)__；
(3)积的乘方：
__(ab)n＝an·bn(n是整数，a≠0，b≠0)__；
(4)同底数幂相除：
__am÷an＝am－n(m，n都是整数，a≠0)__．
6．整式乘法：
单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．
单项式乘多项式：m(a＋b)＝__ma＋mb__；
多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝__ac＋ad＋bc＋bd__.
7．乘法公式：
(1)平方差公式：__(a＋b)(a－b)＝a2－b2__；
(2)完全平方公式：__(a±b)2＝a2±2ab＋b2__．
8．整式除法：
单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．
9．因式分解
把一个多项式化成几个__整式__积的形式，叫做因式分解，因式分解与__整式乘法__是互逆运算．
10．基本方法
(1)提取公因式法：
ma＋mb－mc＝__m(a＋b－c)__．
(2)公式法：
运用平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；
运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．
11．因式分解的一般步骤
(1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；
(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；
(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；
(4)注意因式分解中的范围，如x4－4＝(x2＋2)(x2－2)，在实数范围内分解因式，x4－4＝(x2＋2)(x＋)(x－)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．

二、拓展
整式的加减运算
【例1】　(1)(2014·邵阳)下列计算正确的是( A )
A．2x－x＝x　　　　　　　B．a3·a2＝a6
C．(a－b)2＝a2－b2 D．(a＋b)(a－b)＝a2＋b2
(2)(2014·威海)已知x2－2＝y，则x(x－3y)＋y(3x－1)－2的值是( B )
A．－2　　　　B．0　　　　C．2　　　　D．4
【点评】　整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果．
同类项的概念及合并同类项
【例2】　若－4xay＋x2yb＝－3x2y，则a＋b＝__3__．
【点评】　(1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．
幂的运算
【例3】　(1)(2014·济南)下列运算中，结果是a5的是( A )
A．a3·a2 B．a10÷a2
C．(a2)3 D．(－a)5
(2)(2014·芜湖模拟)计算(a2)3÷(a2)2的结果是( B )
A．a B．a2 C．a3 D．a4
【点评】　(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；
(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．
整式的混合运算及求值
【例4】　(2014·绍兴)先化简，再求值：a(a－3b)＋(a＋b)2－a(a－b)，其中a＝1，b＝－.
解：原式＝a2－3ab＋a2＋2ab＋b2－a2＋ab＝a2＋b2＝1＋＝
【点评】　注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．
乘法公式
【例5】　(2014·芜湖模拟)如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．

(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
(1)S1＝a2－b2；S2＝(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2
【点评】　(1)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：
①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；
②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
注意公式的变式及整体代入的思想．
(2)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的原则．
因式分解的意义
【例6】　(2014·泉州)分解因式x2y－y3结果正确的是( D )
A．y(x＋y)2　　　　　　　　B．y(x－y)2
C．y(x2－y2) D．y(x＋y)(x－y)
【点评】　因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．
提取公因式法分解因式
【例7】　阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)；
(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)．
试用上述方法分解因式：a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝__(a＋b)(a＋b＋c)__．
【点评】　(1)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(3)公因式也可以是多项式．
运用公式法分解因式
【例8】　(1)(2014·东营)3x2y－27y＝__3y(x＋3)(x－3)__；
(2)(2014·邵阳)将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是__n(m－1)2__．
【点评】　(1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．
综合运用多种方法分解因式
【例9】　给出三个多项式：x2＋x－1，x2＋3x＋1，x2－x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．
解：(x2＋x－1)＋(x2＋3x＋1)＝x2＋4x＝x(x＋4)；(x2＋x－1)＋(x2－x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)；(x2＋3x＋1)＋(x2－x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2
因式分解的应用
【例10】　(1)(2014·河北)计算：852－152＝( D )
A．70　　　　B．700　　　C．4900　　　D．7000
(2)已知a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求a＋b的值．
解：∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，∴a2＋6a＋9＋b2－10b＋25＝0，即(a＋3)2＋(b－5)2＝0，∴a＋3＝0且b－5＝0，∴a＝－3，b＝5，∴a＋b＝－3＋5＝2
【点评】　(1)利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；(2)一个问题有两个未知数，只有一个条件，根据已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解．

三、测评
1．(1)(2014·威海)下列运算正确的是( C )
A．2x2÷x2＝2x B．(－a2b)3＝－a6b3
C．3x2＋2x2＝5x2 D．(x－3)3＝x3－9
(2)(2014·厦门)先化简下式，再求值：(－x2＋3－7x)＋(5x－7＋2x2)，其中x＝＋1.
解：原式＝x2－2x－4＝(x－1)2－5，把x＝＋1代入原式，原式＝(＋1－1)2－5＝－3
2．(2014·淮南模拟)已知xn－2my4与－x3y2n是同类项，则(mn)2010的值为( C )
A．2010 B．－2010 C．1 D．－1
3．(1)(2014·新疆)下列各式计算正确的是( D )
A．a2＋2a3＝3a5 B．(a2)3＝a5
C．a6÷a2＝a3 D．a·a2＝a3
(2)(2014·随州)计算(－xy2)3，结果正确的是( B )
A.x2y4 B．－x3y6
C.x3y6 D．－x3y5
4．(2014·合肥模拟)化简2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]，若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？
解：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]＝2(m2－m＋m2＋m)(m2－m－m2－m)＝－8m3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m相乘，或者说是一个立方数，8的倍数等
5．(1)整式A与m2－2mn＋n2的和是(m＋n)2，则A＝__4mn__．
(2)(2014·广州)已知多项式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3.
①化简多项式A；
②若(x＋1)2＝6，求A的值．
解：①A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3＝x2＋4x＋4＋2－2x＋x－x2－3＝3x＋3
②(x＋1)2＝6，则x＋1＝±，∴A＝3x＋3＝3(x＋1)＝±3
6．(2014·玉林)下面的多项式在实数范围内能因式分解的是( D )
A．x2＋y2 B．x2－y
C．x2＋x＋1 D．x2－2x＋1
7．(1)多项式ax2－4a与多项式x2－4x＋4的公因式是__x－2__．
(2)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( D )
A．m＋1 B．2m
C．2 D．m＋2
8．分解因式：
(1)9x2－1；
(2)25(x＋y)2－9(x－y)2；
(3)(2014·淮北模拟)a－6ab＋9ab2；
(4)(2013·湖州)mx2－my2.
解：(1)9x2－1＝(3x＋1)(3x－1)
(2)25(x＋y)2－9(x－y)2＝[5(x＋y)＋3(x－y)][5(x＋y)－3(x－y)]＝(8x＋2y)(2x＋8y)＝4(4x＋y)(x＋4y)
(3)a－6ab＋9ab2＝a(1－6b＋9b2)＝a(1－3b)2
(4)mx2－my2＝m(x2－y2)＝m(x＋y)(x－y)
9．(1)(2014·武汉)分解因式：a3－a＝__a(a＋1)(a－1)__；
(2)(2014·黔东南州)分解因式：x3－5x2＋6x＝__x(x－3)(x－2)__；
10．(1)(2014·马鞍山模拟)若ab＝2，a－b＝－1，则代数式a2b－ab2的值等于__－2__．
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是( C )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
(3)(2014·北京)已知x－y＝，求代数式(x＋1)2－2x＋y(y－2x)的值．
解：原式＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1，把x－y＝代入，原式＝3＋1＝4

第3课 分式
一、知识梳理
1．分式的基本概念
(1)形如__(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)__的式子叫分式；
(2)当__B≠0__时，分式有意义；当__B＝0__时，分式无意义；当__A＝0且B≠0__时，分式的值为零．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变，用式子表示为__＝，＝(M是不等于零的整式)__．
3．分式的运算法则
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
用式子表示：＝－＝＝－；－＝＝.
(2)分式的加减法：
同分母加减法：__±＝__；
异分母加减法：__±＝__．
(3)分式的乘除法：
·＝____；
÷＝____．
(4)分式的乘方：
()n＝__(n为正整数)__．
4．最简分式
如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．
5．分式的约分、通分
把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．
把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．分式的混合运算
在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
7．解分式方程，其思路是去分母转化为整式方程，要特别注意验根．使分母为0的未知数的值是增根，需舍去．
二、拓展
分式的概念，求字母的取值范围
【例1】　(1)(2014·贺州)分式有意义，则x的取值范围是( A )
A．x≠1　　　B．x＝1　　　C．x≠－1　　　D．x＝－1
(2)(2014·毕节)若分式的值为零，则x的值为( C )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【点评】　(1)分式有意义就是使分母不为0，解不等式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．
分式的性质
【例2】　(1)(2014·贺州)先化简，再求值：(a2b＋ab)÷，其中a＝＋1，b＝－1.
解：原式＝ab(a＋1)·＝ab，当a＝＋1，b＝－1时，原式＝3－1＝2
(2)(2014·济宁)已知x＋y＝xy，求代数式＋－(1－x)(1－y)的值．
解：∵x＋y＝xy，∴＋－(1－x)(1－y)＝－(1－x－y＋xy)＝－1＋x＋y－xy＝1－1＋0＝0
【点评】　(1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；
(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．
分式的四则混合运算
【例3】　(2014·深圳)先化简，再求值：(－)÷，在－2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
解：原式＝·＝2x＋8，当x＝1时，原式＝2＋8＝10
【点评】　准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取x的值时，要考虑分式有意义，不能取使分式无意义的0与±2.
分式方程的解法
【例4】　(2014·舟山)解方程：－＝1.
解：去分母，得x(x－1)－4＝x2－1，去括号，得x2－x－4＝x2－1，解得x＝－3，经检验x＝－3是分式方程的解
【点评】　(1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，需舍去．

三、测评
1．(1)(2014·铜陵模拟)若代数式有意义，则实数x的取值范围是( D )
A．x≠1 B．x≥0
C．x＞0 D．x≥0且x≠1
(2)当x＝__－3__时，分式的值为0.
2．(1)(2014·安庆模拟)下列计算错误的是( A )
A.＝ B.＝
C.＝－1 D.＋＝
(2)(2014·广安)化简(1－)÷的结果是__x－1__．
3．(1)(2014·十堰)已知a2－3a＋1＝0，则a＋－2的值为( B )
A.＋1 B．1 C．－1 D．－5
(2)(2014·黄山模拟)先化简÷(1－)，再从不等式2x－3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．
解：原式＝÷＝·＝，不等式2x－3＜7，解得x＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x＝1时，原式＝
4．(1)(2014·阜阳模拟)若分式方程－＝2有增根，则这个增根是__x＝1__；
(2)(2014·新疆)解分式方程：＋＝1.
解：方程两边都乘(x＋3)(x－3)，得3＋x(x＋3)＝x2－9，3＋x2＋3x＝x2－9，解得x＝－4，检验：把x＝－4代入(x＋3)(x－3)≠0，∴x＝－4是原分式方程的解

第4课 二次根式
一、知识梳理
1．二次根式的概念
式子__(a≥0)__叫做二次根式．
2．二次根式的性质
(1)()2＝__a(a≥0)__．
(2)＝|a|＝
3．二次根式的运算
(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式；
(2)二次根式的乘法：·＝__(a≥0，b≥0)__；
(3)二次根式乘法的反用：＝·(a≥0，b≥0)；
(4)二次根式的除法：＝__(a≥0，b＞0)__；
(5)二次根式除法的反用：＝__(a≥0，b＞0)__．
4．最简二次根式
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式，需满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
二、拓展
二次根式概念与性质
【例1】　(1)等式＝成立，则实数k的范围是( D )
A．k＞3或k＜　　　　　B．0＜k＜3
C．k≥ D．k＞3
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，试化简：
＋＋＋.
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
【点评】　(1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等于0；(2)注意二次根式性质()2＝a(a≥0)，＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．
二次根式的运算
【例2】　(1)(2014·济宁)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①＝；②·＝1；③÷＝－b.其中正确的是( B )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
(2)计算：－＋－2.
解：原式＝2－＋－＝
【点评】　(1)二次根式化简，依据＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b＞0)，前者将被开方数分解，后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平方数，即可将其移到根号外；(2)二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式．
二次根式混合运算
【例3】　计算：
(－3)2014·(＋3)2015.
解：原式＝(－3)2014×(＋3)2014×(＋3)＝[(－3)(＋3)]2014×(＋3)＝1×(＋3)＝＋3
【点评】　(1)二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，计算时要认真仔细；(2)可以运用运算律或适当改变运算顺序，使运算简便．
二次根式运算中的技巧
【例4】　(1)已知x＝2－，y＝2＋，求x2＋xy＋y2的值；
(2)已知x＋＝－3，求x－的值．
解：(1)∵x＝2－，y＝2＋，x＋y＝(2－)＋(2＋)＝4，xy＝(2－)×(2＋)＝1，∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15　(2)∵(x－)2＝(x＋)2－4＝(－3)2－4＝5，∴x－＝±
【点评】　(1)x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4，xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即可；(2)注意到(x－)2＝(x＋)2－4，可得(x－)2＝5，x－＝±.

三、测评
1．(1)(2014·达州)二次根式有意义，则实数x的取值范围是( D )
A．x≥－2 B．x＞－2
C．x＜2 D．x≤2
(2)如果＝1－2a，则( B )
A．a＜ B．a≤
C．a＞ D．a≥
2．(1)(2014·黄山模拟)若是整数，则正整数n的最小值为__5__．
(2)(2014·抚州)计算：－＝__2__．
3．(1)(2014·荆门)计算：×－4××(1－)0；
解：原式＝2×－4××1＝2－＝
(2)已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
解：∵3＜＜4，∴的整数部分a＝3，小数部分b＝－3.∴a2－b2＝32－(－3)2＝9－(10－6＋9)＝－10＋6
4．(1)已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为( C )
A．9　　　　B．±3　　　　C．3　　　　D．5
(2)(2014·宿州模拟)若y＝－2，则(x＋y)y＝____；
(3)已知|6－3m|＋(n－5)2＝3m－6－，则m－n＝__－2__．

第5课 一次方程（组）
一、知识梳理
1．定义
(1)含有未知数的__等式__叫做方程；
(2)只含有__一个__未知数，且含未知数的项的次数是__一次__，这样的整式方程叫做一元一次方程；
(3)含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1，这样的整式方程叫做二元一次方程．
(4)将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组．如果方程组中含有__两个未知数__，且含未知数的项的次数都是__一次__，这样的方程组叫做二元一次方程组．
2．方程的解
(1)能够使方程左右两边__相等的__未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．
(2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．
(3)二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解．
3．解法
(1)解一元一次方程主要有以下步骤：
__去分母__；__去括号__；__移项__；__合并同类项__；未知数的系数化为1.
(2)解二元一次方程组的基本思想是__消元__，有__代入消元法__与__加减消元法__．即把多元方程通过__加减__、__代入__、换元等方法转化为一元方程来解．
两个方法
(1)代入消元法；(2)加减消元法．
二、拓展
一元一次方程的解法
【例1】　解下列方程：
(1)x－＝；
(2)7x－[x－(x－1)]＝(x－1)．
解：(1)5x－8＝7，5x＝8＋7，5x＝15，∴x＝3
(2)7x－(x＋)＝(x－1)，7x－x－＝x－，去分母，得84x－3x－3＝8x－8，73x＝－5，∴x＝－
【点评】　(1)去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘；含有多重括号的，按去括号法则逐层去括号；(2)去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项(特别是常数项)，若分子是多项式，则要把它看成一个整体加上括号；(3)解方程后要代回去检验解是否正确；(4)当遇到方程中反复出现相同的部分时，可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算，从而使运算简便．
二元一次方程(组)的解法
【例2】(1)(2014·六安模拟)方程x＋2y＝5的正整数解有( B )
A．一组　　　B．二组　　　C．三组　　　D．四组
(2)(2014·威海)解方程组：
解：方程组整理，得②－①，得3y＝3，即y＝1，将y＝1代入①，得x＝，则方程组的解为
【点评】　(1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选用加减法比较简便；(2)用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．
已知方程(组)解的特征，求待定系数
【例3】　(1)(2014·宣城模拟)若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的值是( B )
A．－　　　B.　　　C.　　　D．－
(2)已知方程组与的解相同，求a，b的值．
解：由题意得解得把代入得解得
【点评】　(1)先将待定系数看成已知数，解这个方程组，再将求得的含待定系数的解代入方程中，便转化成一个关于k的一元一次方程；(2)几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程(或方程组)，解方程即可．

三、测评
1．解方程：
(1)3－x＝1；
(2)＝；
(3)＝＋1.
解：(1)－x＝－3，－x＝－，∴x＝
(2)4(2x－1)＝3(5x＋1)，8x－4＝15x＋3，－7x＝7，∴x＝－1
(3)3(x＋2)＝2(2x－3)＋12，3x－4x＝－6＋12－6，－x＝0，∴x＝0
2．解方程组：
(1)
(2)(2014·滁州模拟)1－6x＝＝.
解：(1)把①代入②，得x＋2×1＝5，x＝3，∴x＝4，把x＝4代入①，得(4＋y)＝1，4＋y＝，y＝－4＝－，∴方程组的解为
(2)∵1－6x＝＝，∴化简得∴方程组的解为

3．(1)当m取什么值时，方程x＋2y＝2，2x＋y＝7，mx－y＝0有公共解；
(2)已知关于x，y的二元一次方程(a－1)x＋(a＋2)y＋5－2a＝0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
解：(1)∵∴代入mx－y＝0，得4m＋1＝0，m＝－　(2)解法一：取a＝1，得3y＋3＝0，y＝－1，取a＝－2，得－3x＋9＝0，x＝3，∴　解法二：整理得(x＋y－2)a＝x－2y－5，∴解得

第6课 实际问题与一次方程（组）
一、 知识梳理
1．列方程(组)解应用题的一般步骤
(1)__审题__；
(2)__设元__；
(3)找出包含未知数的__等量关系__；
(4)__列出方程(组)__；
(5)__求出方程(组)的解__；
(6)__检验并作答__．
2．各类应用题的等量关系
(1)行程问题：路程＝速度×时间；
相遇问题：两者路程之和＝全程；
追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程．
(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．
(3)几何图形问题：
面积问题：S长方形＝ab(a，b分别表示长和宽)；
S正方形＝a2(a表示边长)；
S圆＝πr2(r表示圆的半径)；
体积问题：V长方体＝abh(a，b，h分别表示长、宽