二元一次方程组解决实际问题.docx

再探实际问题与二元一次方程组 
教学目标
1．进一步学会列出二元一次方程组解较复杂的实际问题；
2．通过分析实际问题中的相等关系，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；
3．帮助学生通过观察、分析、比较，运用方程组的相关知识解决数学问题．
教学重点难点
1．掌握列方程组解决实际问题的方法；
2．通过分析实际问题中的相等关系，会列出方程组解决实际问题．
教学准备
课件．
教学过程
一、引入新课．
师：从实际问题中列出方程组，将实际问题转化为数学问题，并加以解决，仍旧我们这一节主要探究的内容．我们首先要对材料进行认真地阅读，通过理解、分析、比较，运用方程组的相关知识，去解决这些问题，从而进一步提高我们分析问题和解决问题的能力．
（课件展示．）
已知（如图8—3—1）长青化工厂与A、B两地由公路和铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．公路运价为1.5元／（吨·千米），铁路运价为1.2元／（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

师：销售款与什么因素有关？
原料费与什么因素有关？
存在着怎样的相等关系？
生：销售款与产品质量有关；
原料费与原料质量有关；
要想求销售款与原料费，首先需求出产品质量及原料质量．
设产品质量为x吨，原料质量为y吨．
则产品质量与原料质量都与运费有关，但是我们还没有找到他们之间的质量关系．
点评：有意识地引导学生主动地参与分析、交流等数学活动．
师：好，首先应该表扬的是，你们没有“问什么就设什么”，而是设了一对间接未知量，这恰好抓住了问题的关键，至于如何寻求数量关系，不要着急，先请大家思考一下，两次运费共支出公路运费15000元是什么含义呢？
生：我们认为是（由A→长青化工厂）10km的公路运费与（由长青化工厂→B）20km的公路运费之和．
师：很好!那么“由A→长青化工厂”这10km的公路运费如何表示出来呢？
点评：教师非常尊重学生在学习中所表现出的差异．
生：由A→长青化工厂这10km的公路运费与运价、原料的质量以及公路的长度有关，可以表示为10×1.5y；由长青化工厂→B的公路运费可以表示为20×1.5x．
点评：将问题分解，目的是为了鼓励学生有信心、有兴趣地参与数学活动．
两者的和为15000元，用方程可表示为：
10×1.5y＋20×1.5x－15000，
化简后为15y＋30x＝15000．
师：通过分析，我们找到一个相等关系：
10km的公路原料运费＋20km的公路产品运费＝15000元．
顺着这一思路考虑，能否找到其他相等关系？
生：120km的铁路原料运费＋110km的铁路产品运费＝97200元．
列出方程为：120×1.2y＋110×1.2x＝97200．
化简后为144y＋132x＝97200．
点评：对于学习有困难的学生，教师及时给予帮助，鼓励他们发表自己的看法．
师：非常好!我们通过阅读材料，理解了内容，分析出两个相等关系，列出了方程组．我们在阅读材料时，能否通过列表或图解等方法表示出数量之间相等关系呢？
点评：对于学生在学习过程中出现的困难，耐心地引导他们去分析问题，目的是增强他们学习数学的兴趣和信心．
生：能．我们列出了这样一个表格：

产品x吨
原料y吨
合计
公路运费

铁路运费

x吨产品的公路运费可以表示为：20×1.5x；
y吨原料的公路运费可以表示为：10×1.5y；
公路运费合计为：20×1.5x＋10×1.5y＝15000；
x吨产品的铁路运费可以表示为：110×1.2x；
y吨原料的铁路运费可以表示为：120×1.2y；
铁路运费合计：110×1.2x＋120×1.2y＝97200．
依据表格中的数量关系，可列方程组为：

师：列表可以一目了然地表示数量之间关系，下面请同学们独立求出方程组的解．
生：我解出的解为
师：那么销售款如何计算呢？
原料费为运输费的和又如何计算呢？
生：产品300吨，每吨8000元；
销售款为8000×300＝2400000（元）；
原料400吨，每吨1000元；
原料费为400×1000＝400000（元）．
运费合计15000＋97200＝112200元．
销售款比原料费与运输费的和多
2400000－(112200＋400000)＝1887800（元）．
师：通过以上的探究学习，我们认识到方程组是解决含有多个未知数的问题的重要工具．根据问题中的数量关系，列出方程组就是建立了数学模型，解出方程组后，应进一步考虑解是否符合问题的实际意义．
二、课堂练习．
买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，打折后比不打折少花多少钱？
师：仔细阅读材料，理解材料内容，找到相等关系，是解答本题的关键．
生：所求量与打折前A、B商品的价格有关系，因此需先求出打折前A、B两种商品的价格．
师：打折前A、B两种商品的价格又与哪些量之间存在着怎样的关系呢？
生：我们通过列表找到数量之间的相等关系．
设打折前A商品的价格为x元，打折前B商品的价格为y元．

A
B
合计
60x
30y
1080
50x
10y
840
两个相等关系为：
60件A商品和30件B商品用了1080元；
50件A商品和10件B商品用了840元．
列出方程组为：
方程组的解为：
再求出打折前500件A商品和500件B商品用了多少元：
(16＋4)×500＝10000（元）．
最后再计算出少花多少钱：
10000－9600＝400元．
师：当计算出打折前A、B两种商品的价格后，要特别注意检验，一是要检验所求得的解是否是原方程组的解，二是要看它是否符合实际意义．
三、拓展探索．
下表为某一周甲、乙两种股票每天的收盘价
（收盘价：股票每天交易结束时的价格）：

周一
周二
周三
周四
周五
甲
12
12.5
12.9
12.45
12.75
乙
13.5
13.3
13.9
13.4
13.15
某人在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费），此人账户上周二比周一多200元，周三比周二多1300元，试问此人持有甲、乙股票各多少股？
师：正确理解表格，建立方程组是解答本题的关键．股价的变化以表格的形式给出，同学们关键要读懂表格，理解表格中数据的意义，充分利用表格中的信息．
点评：通过教师的引导、启发，帮助学生获得解决问题的思路．
生：获利与甲、乙两种股票的股数有关，同时还与每天的收盘价有关．
设甲股票有x股，乙股票有y股．
从表格中看出数量关系．
师：表格上没有直接反映出数量关系，但是我们可以从两次获利情况找出相等关系．
组：我们找到了两个相等关系；
周二比周一多200元；
周三比周二多1300元；
但这两个关系又该如何转化为方程呢？
师：那就需要分别求出周一、周二、周三的情况．
生：周一、周二、周三的钱数均与甲、乙两种股票的股数及当天的股价有关．
周一情况：12x＋13.5y；
周二情况：12.5x＋13.3y；
周三情况：12.9x＋13.9y．
周二比周一多200元可列方程为：
12.5x＋13.3y－(12x＋13.5y)＝200．
周三比周二多1300元可列方程为：
12.9x＋13.9y－(12.5x＋13.3y)＝1300．
师：好!表格的作用是告诉我们股价变化与时间的关系．我们要充分利用表格中提供的信息，从不同的获利处找寻相等关系，列出方程组．
点评：帮助学生寻找解决问题的有效办法，鼓励学生表述自己的思考过程．
四、课后小结．
1．通过今天的探究活动，你们有哪些收获，思考后在组内交流．
2．列方程组解应用题的核心就是根据题意把已知量与未知量联系起来找相等关系．一般设几个未知数，就需要列几个方程，列方程组解应用题，还要树立检验意识．