限时集训(二十一)-两角和与差的正弦、余弦、正切公式.doc

限时集训(二十一)　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(限时：60分钟　满分：110分)

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.
2．(2012·江西高考)若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝________.
3．(2013·宿迁期中)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝________.
4.＝________.
5．在△ABC中，tan B＝－2，tan C＝，则A等于________．
6．已知α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
7．(2012·合肥模拟)已知cos＋sin α＝，则sin＝________.
8.(2012·苏州模拟)如图，三个相同的正方形相接，则α＋β＝________.
9．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
10．设γ，θ为常数且θ∈，γ∈，若sin(α＋γ)＋sin(γ－β)＝sin θ(sin α－sin β)＋cos θ(cos α＋cos β)对一切α，β∈R恒成立，则＝________.
二、解答题(本大题共4小题，共60分)
11．(满分14分)(2013·盐城期中)已知α为锐角，且tan＝2.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．

12．(满分14分)如图，O为坐标原点，点A，B，C均在⊙O上，点A ，点B在第二象限，点C(1,0).
(1)设∠COA＝θ，求sin 2θ的值；
(2)若△AOB为等边三角形，求点B的坐标．

13.(满分16分)(2012·南通模拟)已知函数f(x)＝2cos2－sin x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域．
(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．

14．(满分16分)已知向量a＝(sin ωx，cos ωx)，b＝(cos φ，sin φ)，函数f(x)＝a·b的最小正周期为2π，其图象经过点M.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，
求f(2α－β)的值．

答案

[限时集训(二十一)]
1．解析：由sin α－cos α＝sin (α－)＝，α∈(0，π)，解得α＝，所以tan α＝tan ＝－1.
答案：－1
2．解析：法一：∵tan θ＋＝＝4，∴4tan θ＝1＋tan2 θ，
∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝.
法二：∵tan θ＋＝＋＝＝，
∴4＝，故sin 2θ＝.
答案：
3．解析：将sin α＋cos α＝两边平方，可得1＋sin 2α＝，sin 2α＝－，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－.
答案：－
4．解析：＝＝＝2.
答案：2
5．解析：tan A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)＝－＝－＝1.故A＝.
答案：
6．解析：∵α＋β＝，tan(α＋β)＝
＝1，
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β
＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.
答案：2
7．解析：由条件知cos＋sin α＝＋sin α＝

＝sin＝，
即sin＝.
故sin＝－sin α－cos α
＝－＝
－sin＝－.
答案：－
8．解析：由已知tan α＝2，tan β＝3，所以
tan(α＋β)＝＝＝－1.
又0<α＋β<π，所以α＋β＝π.
答案：π
9．解析：因为α为锐角，cos＝，所以sin＝，sin 2＝，cos 2＝，所以sin＝sin＝sin 2·cos －
cos 2sin ＝.
答案：
10．解析：由sin(α＋γ)＋sin(γ－β)＝
sin θ(sin α－sin β)＋cos θ(cos α＋cos β)对一切α，β∈R恒成立，所以当α＝β＝0时，则有2sin γ＝2cos θ⇒sin γ＝sin，又因为θ∈ ，所以－θ∈，又γ∈，从而 γ＝－θ，所以＝＝
2＝2＝2.
答案：2
11．解：(1) tan＝，
所以＝2,1＋tan α＝2－2tan α，
所以tan α＝.
(2)
＝
＝＝＝
sin α.
因为tan α＝，所以cos α＝3sin α，
又sin2 α＋cos2 α＝1，
所以sin2 α＝，
又α为锐角，所以sin α＝，
所以＝.
12．解：(1)因为cos θ＝，sin θ＝，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝
(2)因为△AOB为等边三角形，所以∠AOB＝60°，
所以cos∠BOC＝cos(∠AOC＋60°)＝
同理，sin∠BOC＝，故点B的坐标为
13．解：(1)因为f(x)＝1＋cos x－sin x＝1＋2cos，
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－1,3]．
(2)因为f＝，
所以1＋2cos α＝，即cos α＝－.
又因为α为第二象限角，
所以sin α＝.
因为＝

＝
＝，
所以原式＝＝＝.
14．解：(1)依题意有f(x)＝a·b＝
sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin(ωx＋φ)．
∵函数f(x)的最小正周期为2π，
∴2π＝T＝，
解得ω＝1.
将点M代入函数f(x)的解析式，
得sin＝.
∵＜φ＜π，∴＋φ＝，∴φ＝.
故f(x)＝sin＝cos x.
(2)依题意有cos α＝，cos β＝，而α，β∈，
∴sin α＝ ＝，sin β＝ ＝，
∴sin 2α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝
－＝－，
∴f(2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β
＝－×＋×＝.