Geo_T-IPH_1排队平稳队长分布的精确解.pdf
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1、本文讨论离散时间 Geo/T-IPH/1 排队,其中 T-IPH 表示可数状态吸收生灭链吸收时间的分布.首先对排队系统建立无限位相拟生灭过程(QBD)模型,然后通过算子几何解方法,得到了过程联合平稳分布的解.在此基础上,进一步得到了所研究排队系统平稳队长分布的精确解.最后,还通过数值例子说明了分析方法的有效性.关键词:Geo/T-IPH/1 排队;QBD 过程;无限位相;平稳队长中图分类号:O226英文引用格式:ZHENG Q Z,FENG P H,ZHANG H B.Explicit solution for stationary queuelength distribution of Ge
2、o/T-IPH/1 queueJ.Chinese J Appl Probab Statist,2023,39(4):506516.(in Chinese)1引言离散时间 PH 分布1是有限状态吸收 Markov 链的吸收时间的分布,它在随机模型的分析中有着重要的应用,例如可以参见文献 1,2 等.Shi 等3把离散时间 PH 分布推广到了无限位相的情形,并称之为 IPH 分布,它是可数状态吸收 Markov 链吸收时间的分布,该分布在排队模型中的应用可以参见文献 4,5 等.本文考虑一种特殊的 IPH 分布,即在其表示(,T)中,=(1,0,0,),而T=bacbacba.其中 a,b,c (
3、0,1),a+b+c=1 且 c a.以下称其为 T-IPH 分布,因而 T-IPH 分布是可数状态吸收生灭链吸收时间的分布.众所周知,离散 PH 分布的母函数是有理函数6,而文献 7 指出,T-IPH 分布的母函数是无理函数从而是不 PH 分布.这表明,IPH 分布类严格河南省高等学校重点科研项目(批准号:22B110002)资助.通讯作者,E-mail:zhanghb-.本文 2021 年 10 月 18 日收到,2022 年 1 月 20 日收到修改稿.第 4 期郑群珍,等:Geo/T-IPH/1 排队平稳队长分布的精确解507大于 PH 分布类.所以 T-IPH 分布具有一定的理论意义
4、.同时由定义,经典的 Geo/Geo/1排队忙期分布服从 T-IPH 分布7,从而该分布也具有一定的应用价值.现在考虑离散时间 Geo/T-IPH/1 排队,它是经典的 Geo/PH/1 排队的推广.在文献8 中已对 Geo/T-IPH/1 排队的平稳指标进行了研究,得到了平稳队长与平稳逗留时间分布的概率母函数.在本文中,我们继续研究该排队模型,通过与文献 8 中稍不同的方法建立拟生灭(QBD)过程模型,得到了平稳队长分布的解析解,这是对文献 8 中结果的改进与补充.本文以下各节内容安排如下:第 2 节给出了 Geo/T-IPH/1 排队的描述以及 QBD 过程模型;随后,第 3 节对建立的
5、QBD 过程求解,得到了联合平稳分布以及排队系统的平稳队长的解.第 4 节给出了一个数值计算的例子,以说明本文分析方法的有效性.最后,第 5 节是本文的小结部分.2模型描述在 Geo/T-IPH/1 排队中,假设顾客的到达发生在时隙 t=n+,n=1,2,.在每一个时隙 n+,以概率 p (0,1)发生一个到达,以概率 1 p,没有发生到达,且不同时隙上的到达是相互独立的.因此相继的到达间隔 A 独立同分布,且共同的分布是几何分布.另外,假设服务的开始和结束发生在时隙 t=n,n=1,2,.服务时间 B 相互独立同分布,且服从表示为(,T)的 T-IPH 分布.进一步假设 A 与 B 相互独立
6、,服务顺序是先到先服务,且一个在时隙 t=n+到达的顾客,在时刻 t=n 如果系统空闲则可直接进入系统接受服务,即本文考虑的是早到系统9.令 Ln表示 t=n 时系统中的顾客数,根据早到规则,一个在时隙 t=n完成服务的顾客不再计入 Ln.令 Jn表示时刻 t=n 时的服务位相.由此可建立二维离散时间 Markov链(Ln,Jn),n 0(注意,文献 8 中考虑的是(Jn,Ln),n 0),其状态空间为E=0 (m,k):m=1,2,k=0,1,.状态转移图如图 1 所示.当状态按字典规则排列时,由图 1 可得过程(Ln,Jn),n 0 的转移概率矩阵为P=B0A0C0BACBACBA.,50
7、8应用概率统计第 39 卷图 1QBD 过程(Ln,Jn),n 0 的状态转移图其中B0=(p),A0=(p,0,0,),C0=(pc,0,0,)T,B=pb+pcpapcpbpapcpbpa.,A=pbpapcpbpapcpbpa.,C=pc00.这里规定 p,1 p.因此所建立模型是一个离散时间 QBD 过程10.由文献 7 可知,本文所示 T-IPH 分布的均值为 1/(c a),从而所考虑排队系统稳定的条件为 =p/(c a)0 的平稳分布.首先是初始分量,由文献 8 可知 0=1 ,而 1通过求解方程组(3)可得.有下述结论:引理 1向量 1=(10,11,)的分量由下式给出:1k=
8、ppc(1 )rk,k=0,1,(4)其中r,12pc1 pb(1 pb)2 4p2ac(0,1)是一个常数.证明:首先由方程组(3)左边系数矩阵是随机矩阵易得率阵 R 第一列 r1为r1=(pcpc,ppc,ppc,)T,(5)其中 c=1 c.代入方程(3),由其分量形式可得 10=0p/(pc)=(1 )p/(pc)以及p0+(p+pb)10+(p+pc)11+pk=11k=0,(6)pa1k(1 pb)1,k+1+pc1,k+2=0,k=0,1,.(7)方程(7)是一个二阶齐次线性差分方程,易求得其通解为1k=c1rk+c2sk,k=0,1,510应用概率统计第 39 卷其中r=1 p
9、b(1 pb)2 4p2ac2pc,s=1 pb+(1 pb)2 4p2ac2pc是方程的两个特征根而 c1,c2是待定常数.通过简单的代数运算容易验证 0 r 1.所以由 1e 0.(9)对固定的 m,这是一个二阶线性非齐次差分方程.因此,由式(4)出发,对 m 用数学归纳法即得定理结论.?对式(8)中的待定系数 fm1,l,m=0,1,l=0,1,m 1,其中第一个下标表示其属于分量 m,第二个下标表示一共有 m 个.以下讨论如何确定这些系数的值,目的是对任意的 m 1,找到分量 m与 m+1中两组待定常数的递推关系式,而初始值由式(4)知为 f00=1.这时有以下两个引理:引理 3对 m
10、=1,2,系数 fm0满足以下关系:fm0=m1l=0Slfm1,l,(10)第 4 期郑群珍,等:Geo/T-IPH/1 排队平稳队长分布的精确解511其中S0=11 r c,Sl=1(1 r)l+1l1k=0E(l,k)rk+1,l 1.(11)而 E(l,k)是 Euler 多项式,表达式如下:E(l,k)=ki=0(1)i(l+1i)(k i+1)l,k=0,1,l 1.证明:固定 m 1,由算子几何解(1)以及式(5)可得m+1,0=pcpcm0+ppck=1mk,把式(8)代入上式,解出 fm0可得fm0=cfm1,0+k=1m1l=0(fm1,lkl)rk=cfm1,0+m1l=
11、0(fm1,lk=1klrk).显然,对任意非负整数 l,无穷级数k=1klrk收敛,因而可定义S0=c+k=1rk=11 r c,Sl=k=1klrk,l 1,由此即得式(10).最后,式(11)由 Euler 多项式的定义可得11.?引理 4对非负整数 m=0,1,定义 fm=(fm0,fm1,fmm),对正整数m=1,2,定义 gm=(fm1,fm2,fmm),对正整数 i=1,2,定义i=1i(pcr2i+pb 1),i=1i(cr2i+b).(12)则有gm=fm1Tm,(13)这里Tm=pc1t112A12t2t113.Am3m2tm2Am4m2tm3t11m 1Am2m1tm1A
12、m3m1tm2A1m1t2t11m512应用概率统计第 39 卷是一个 m 阶下三角方阵,其中 =(1 pb)2 4p2ac,而 t1,t2,tm由递推关系tk=k(k 1)!+1ki=11i!tkii+1,k=1,2,(14)及初始条件 t0=a/r+b+cr 确定.证明:因为 m+1,k和 mk满足差分方程(9),所以把式(8)代入方程(9)并化简,可得两组待定常数满足如下等式:paml=0fmlkl(1 pb)ml=0fml(k+1)lr+pcml=0fml(k+2)lr2=pacm1l=0fm1,lkl pbcm1l=0fm1,l(k+1)lr+pc2m1l=0fm1,l(k+2)lr
13、2.在上式两边先关于 k 求 j 1 阶导数,然后令 k=0,通过化简可得ml=jfmlAj1lr(pcr2lj+1+pb 1)=pc(j 1)!(a+br+cr2)fm1,j1 pcm1l=jfm1,lAj1lr(b+cr2lj+1),其中 j=1,2,m,而 Akm表示排列数.由此解出 fmj并且恒等式 1 pb 2pcr=化简,可得fmj=1ml=j+1(lj)lj+1fml+pcjfm1,j1+m1l=j(lj)lj+1fm1,l,其中 ,a/r+b+cr,i和 i由式(12)确定.最后,显然上式的矩阵形式为 gm=gmUm+fm1Vm,这里 Um,Vm分别是如下所示的 m 阶下三角方
14、阵:Um=10(21)20(31)3(32)20.(m 11)m1(m 12)m2(m 1m 2)20(m1)m(m2)m1(mm 2)3(mm 1)20,第 4 期郑群珍,等:Geo/T-IPH/1 排队平稳队长分布的精确解513Vm=pc(11)12(21)2(22)13.(m 21)m2(m 22)m3(m 2m 2)1m 1(m 11)m1(m 12)m2(m 1m 2)2(m 1m 1)1m.因矩阵 Im Um非奇异,所以为了完成引理的证明,只须证明 Vm(Im Um)1=Tm,即Tm Vm=TnUm,而由分量形式,上式成立当且仅当Aij1i1tij(i 1j)ij=1il=jAil
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