集合的含义与表示练习题(附答案).doc

第一章 集 合
1．1 集合与集合的表示方法
一、选择题
1．下列各组对象
①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；
⑤的近似值的全体．
其中能构成集合的组数有( )
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
2．设集合M＝{大于0小于1的有理数}，
N＝{小于1050的正整数}，
P＝{定圆C的内接三角形}，
Q＝{所有能被7整除的数}，
其中无限集是( )
A．M、N、P B．M、P、Q
C．N、P、Q D．M、N、Q
3．下列命题中正确的是( )
A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义
B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合
C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合
D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合
4．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是( )
A．第一象限内的点 B．第三象限内的点
C．第一或第三象限内的点 D．非第二、第四象限内的点
5．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，则( )
A．x＋y∈M B．x＋y∈X C．x＋y∈Y D．x＋yM
6．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是( )
A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0}
B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R}
C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R}
D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z}
二、填空题
7．由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个．
8．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______．
9．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．
10．用符号∈或填空：
①1______N，0______N．－3______Q，0.5______Z，______R．
②______R，______Q，｜－3|______N＋，｜－｜______Z．
11．若方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的解集为{－2，－1}，则m＝______，n＝______．
12．若集合A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝______，b＝______．
13．方程组的解集为______．
14．已知集合P＝{0，1，2，3，4}，Q＝{x｜x＝ab，a，b∈P，a≠b}，用列举法表示集合Q＝______．
15．用描述法表示下列各集合：
①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________．
②{2，3，4}___________________________________________________________．
③______________________________________________________．
16．已知集合A＝{－2，－1，0，1}，集合B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，则B＝______．
三、解答题
17．集合A＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．

18．设A表示集合{2，3，a2＋2a－3}，B表示集合{a＋3，2}，若已知5∈A，且5B，求实数a的值．

19．实数集A满足条件：1A，若a∈A，则．
(1)若2∈A，求A；
(2)集合A能否为单元素集？若能，求出A；若不能，说明理由；
(3)求证：．

20．已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R
①若A是空集，求a的范围；
②若A中只有一个元素，求a的值；
③若A中至多只有一个元素，求a的范围．

21．用列举法把下列集合表示出来：
①A=
②B=
③C＝{y｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
④D＝{(x，y)｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
⑤E＝

22．已知集合A＝{p｜x2＋2(p－1)x＋1＝0，x∈R}，求集合B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}．

集合与集合的表示方法参考答案
一、选择题
1．A 2．B 3．C 4．D 5．A
6．C解析：在选项A中，M＝，P＝{0}，是不同的集合；
在选项B中，有M＝{(x，y)｜y＝x2＋1≥1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1≥1，y∈R}，是不同的集合，在选项C中，y＝t2＋1≥1，t＝(y－1)2＋1≥1，则M＝{y｜y≥1}，P＝{t｜t≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M和P是同一个集合，在选项D中，M是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M和P是两个不同的集合．答案：C．
二、填空题
7．2 8．x≠3且x≠0且x≠－1
根据构成集合的元素的互异性，x满足
解之得x≠3且x≠0且x≠－1．
9．2或4 10．①∈，∈，∈，，∈．②∈，，∈，． 11．m＝3，n＝2．
12．，．解析：由题意知，方程x2＋(a－1)x＋b＝0只有等根x＝a，则＝(a－1)2－4b＝0①，将x＝a代入原方程得a2＋(a－1)a＋b＝0②，由①、②解得.
13．{(1，0，2)} 14．Q＝{0，2，3，4，6，8，12}
15．①{x｜x＝2n，n∈N*且n≤6}，
②{x｜2≤x≤4，x∈N}，或{x｜(x－2)(x－3)(x－4)＝0}
③
16．B＝{0，1，2}解析：∵y∈A，∴y＝－2，－1，0，1，∵x＝｜y｜，∴x＝2，1，0，∴B＝{0，1，2}
三、解答题
17．解：有4个元素，它们分别是：
(1)底边为1，顶角为40°的等腰三角形；(2)底边为1，底角为40°的等腰三角形；
(3)腰长为1，顶角为40°的等腰三角形；(4)腰长为1，底角为40°的等腰三角形．

18．解：∵5 ∈A，且5B．
∴即
∴a＝－4
19．证明：(1)若2∈A，由于2≠1，则，即－1∈A．
∵－1∈A，－1≠1∴，即．
∵∴，即2∈A．
由以上可知，若2∈A，则A中还有另外两个数－1和∴．
(2)不妨设A是单元素的实数集．则有即a2－a＋1＝0．
∵D＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，
∴方程a2－a＋1＝0没有实数根．
∴A不是单元素的实数集．
(3)∵若a∈A，则
∴，即．
20．解：①∵A是空集∴方程ax2－3x＋2＝0无实数根
∴解得
②∵A中只有一个元素，
∴方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根．
当a＝0时，方程化为－3x＋2＝0，只有一个实数根；
当a≠0时，令＝9－8a＝0，得，这时一元二次方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根，即A中只有一个元素．
由以上可知a＝0，或时，A中只有一个元素．
③若A中至多只有一个元素，则包括两种情形，A中有且仅有一个元素，A是空集，由①、②的结果可得a＝0，或．
21．解：①由9－x＞0可知，取x＝0，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则x＝0，6，8时，3，9也是自然数，∴A＝{0，6，8}
②由①知，B＝{1，3，9}．
③∵y＝－x2＋6≤6，而x∈N，y∈N，
∴x＝0，1，2时，y＝6，5，2符合题意．
∴C＝{2，5，6}．
④点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有
∴D＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}．
⑤由p＋q＝5，p∈N，q∈N*得
又∵，∴
22．解：由已知，＝4(p－1)2－4≥0，得P≥2，或P≤0，
∴A＝{p｜p≥2，或p≤0}，∵x∈A，∴x≥2，或x≤0．
∴2x－1≥3，或2x－1 ≤－1，∴B＝{y｜y≤－1，或y≥3}．