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开放探究题的解法问题
★高考趋势★
探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西.问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手.
近年来，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下几类：（1）探索条件型问题：从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件；(2)探索结论型问题：从给定的题设条件出发，探求相关的结论； (3)探索存在型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在； (4)探索综合型问题：从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发，探究问题的相应变化.2007、2008年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也有突破，如只猜不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带来了新的理念，也必将促进教学的创新.问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征，从探索性问题的解题过程来看，没有确定的模式，可变性多，对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高.探索性问题的常见解法有：(1)从最简单、最特殊的情况出发，有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明； (2)假设结论存在，若推证无矛盾，则结论确实存在，若推出矛盾，则结论不存在； (3)使用等价转化思想，找出命题成立的充要条件.
一　基础再现
1.请设计一个同时满足下列两个条件的函数y = f （x）：
①图象关于y轴对称；②对定义域内任意不同两点, 都有答： .
2.定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面关于 的判断：①是周期函数；②=0；③在上是减函数；④在上是减函数.其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）
3.

4.（08江西卷理9）若，则下列代数式中值最大的是 A． B． C． D．
5.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
二　感悟解答
1.答案：答案不唯一，在定义域内图象上凸的偶函数均可，如
等等.
首先由①知f （x）为偶函数，由②知f （x）在定义域内图象上凸，然后在基本初等函数中去寻找符合这两点的模型函数.
评析：本题主要考查函数的图象与性质，问题以开放的形式出现，着重突出对考生数学素质的要求.
2. 答案：∵ ∵有对称中心，
又∵为偶函数 ∴可知图象可如图所示：
从而由图象可知其中正确的判断是①、②、③
解析：∵ ∴
∴，
又∵ 为偶函数 ∴
∴ ∴的周期为；
3. 答案：
则
评析：
4.解析：A.

5. 解：，
而对恒成立，
则，解得

三　范例剖析
例１
。

辨析：设函数
(Ⅰ) 求证：为奇函数的充要条件是；
(Ⅱ) 设常数，且对任意恒成立，求实数a的取值范围。

例2 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且
对任意的都成立，数列是等差数列．
⑴求数列与的通项公式；
⑵是否存在，使得，请说明理由．

辨析：设集合是满足下列两个条件的无穷数列的集合：
① ② 是与无关的常数.
（Ⅰ）若是等差数列，是其前n项的和，，证明：；
（Ⅱ）设数列的通项为，求的取值范围；
（Ⅲ））设数列的各项均为正整数，且，试证．

例3 将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成三棱锥 D – ABC。
C
B
A
D
（1） 在三棱锥 D – ABC 中，求证
（2） 当三棱锥 D – ABC的体积最大时，
探究平面ADC与平面ABC的位置关系。

E
B
D
C
A

辨析：已知在长方体ABCD – A1B1C1D1中，AA1 = AD = 1 , AB = 2 ,
在A1B1上是否存在点E，使得 C1E ^平面DD1E ？说明理由。
C1
E
D1
B1
D
C
B
A1
A

四　巩固训练
1.如果函数在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意有，若在区间上是凸函数，那么根据上述结论，在△ABC中的最大值是 ；
2. 设定义域为D，若满足：（1）在D内是单调函数；（2）存在使在值域为,则称为D上的闭函数．当为闭函数时，k的范围是 ．
3.设函数的定义域为R,若存在与x无关的正常数M,使对一切实数x均成立,则称为有界泛函,在函数①；②；③；④；⑤；⑥奇函数满足中,属于有界泛函数的序号为 .
4.已知函数①；②；③；④.
其中对于定义域内的任意一个自变量都存在唯一个个自变量
=3成立的函数序号是
5.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，为上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D－AEC的体积；
（3）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.
B
C
A
D
E
F
M

6.已知数列{an}的前n项为和Sn，点在直线上.数列{bn}满足
，前9项和为153.
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{cn}的前n和为Tn，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.
（Ⅲ）设，问是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.