直线与圆综合复习.doc

直线与圆综合复习
学习要求:
1.掌握直线方程的几种形式，能判断两直线平行或垂直的位置关系，能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．理解两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求与此有关的距离问题．
2.掌握圆的标准方程与一般方程，并能判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系，初步了解用代数方法处理几何问题的思路．
学习重点、难点:
1.掌握直线方程的几种形式；
2.掌握圆的标准方程与一般方程，并能判断直线与圆的位置关系、两圆的位置关系。
【热身训练】
1. 若直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行，则a＝_______。
2. 直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是　　　　　　　。
3. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是　　　　　　　　　　　　．
4.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________．
5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________．
【知识要点】
1．直线的倾斜角
(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴所在的直线绕着
按 方向旋转到和直线重合时所转的 记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．
(2)当直线与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角 ．
(3)倾斜角的取值范围是 ．
2．直线的斜率
(1) 倾斜角不是 的直线，它的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k表示，即k＝ ．
(２)经过两点和的直线的斜率公式为：k＝ 　　　 ．
３．直线方程的几种形式：
名称
方程的形式
适用范围
点斜式

不能表示垂直于x轴的直线
斜截式

不能表示垂直于x轴的直线
两点式

不能表示垂直于x轴和y轴的直线
截距式

不能表示垂直于x轴和y轴以及过原点的直线
一般式

无限制，可表示任意位置的直线
４．平行
(1)若两条直线的斜率k1、k2均存在，在y轴上的截距分别为b1、b2，则l1∥l2的充要条件是 ．
(2)若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2的充要条件为　　　　　　　．
５．垂直
(1)若两条直线的斜率k1，k2均存在，则l1⊥l2⇔ ．
(2)若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔ ．
６．点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝ ，特别地，两条平行直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝ 　　　　　 ．
７．直线系方程
(1)平行直线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以表示为 　 ．
(2)垂直直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可以表示为 ．
(3)过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系为：
　 ．
８．圆的方程
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)其中圆心为 ，半径为 .
９．直线l∶Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系
(1) 几何方法：
圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ，
⇔直线与圆相交； ⇔直线与圆相切； ⇔直线与圆相离．
(2)代数方法：
由 消元，得到一元二次方程判别式为Δ，则
　 ⇔直线与圆相交； ⇔直线与圆相切； ⇔直线与圆相离．
10．两圆的位置关系：（设两圆的半径分别为，圆心距为）
外离
外切
相交
内切
内含

【典例示范】
题型一：直线的倾斜角与斜率
例1．已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)、B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．

题型二：直线的位置关系
例2．求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．

题型三：圆的方程
例3. 根据下列条件求圆的方程：
(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；
(2)已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程；
(3)已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为.

题型四：直线与圆的位置关系
例４．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0，与圆C相切的直线l交x轴、y轴的正方向于A、B两点，O为原点，OA＝a，OB＝b(a>2，b>2)．
(1)求证：圆C与直线l相切的条件是(a－2)(b－2)＝2；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
(3)求△AOB面积的最小值．

【归纳总结】
1．合理选择适当的直线方程形式，并注意适用条件。
2．直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合运用。
3. 注重数形结合思想，借助图形，直观地作出判断，注意几何性质的运用。
【巩固练习】
1. 在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B坐标为(1,2)，求点A和C的坐标．

2. 一个圆切直线于点，且圆心在直线上，求该圆的方程。

3.在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．

【课后作业】
一、填空题：
1.如果直线的倾斜角为，则A,B之间的关系式为

2.直线在轴上的截距是

3.下列命题中正确的是
（1）平行的两条直线的斜率一定相等 （2）.平行的两条直线的倾斜角一定相等
（3）垂直的两直线的斜率之积为-1 （4）.斜率相等的两条直线一定平行

4.圆的圆心和半径分别是

5.如果直线上的一点A沿轴负方向平移３个单位，再沿轴正方向平移１个单位后，又回到直线上，则的斜率是

6.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为

7.已知点P（0，-1），点Q在直线x-y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0，则点Q的坐标是

8.已知三角形ABC的顶点A（2，2，0），B（0，2，0），C(0，1，4)，则三角形ABC是
三角形。

9.平行于直线2x-y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是

10.直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为

11. 若方程表示的曲线是一个圆，则a的取值范围是

二．解答题
12.已知一条直线经过两条直线和的交点，并且垂直于这个交点和原点的连线，求此直线方程。

13.若圆经过点，求这个圆的方程。

14.已知圆C：x2+y2－2x+4y－4=0，是否存在斜率为1的直线m，使以m被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由。
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江苏省扬中市新坝中学2011—2012学年度高一教学案

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