垂径定理学案.docx

24.1.2垂直于弦的直径导学案
【学习目标】
1.理解圆的轴对称性．
2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题．
【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明．
【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．
【学习过程】
【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题：
（一）情景导入：观看赵州桥视频。聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？
（二）自主探究：先自主探究，后小组交流。
探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？
我发现：
（1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆 ．
（2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有 条对称轴．
探究二：请同学们按下面的步骤做一做：
第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD；
第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E是两条折痕的交点，即垂足；
第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：
（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？

（2）你能用一句话概括上述结论吗？

（3）请作出图形并用符号语言表述这个结论．
练习： 如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？

【交流学】先独立完成，后小组交流。
1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O  ②CD⊥AB    结论： ③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如① ③作为题设， ② ④ ⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？
注意分情况讨论：
（1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？
（2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？
思考：你能用一句话概括上述结论吗？
推论：
如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？
发现：
2.解决问题：同学们，现在能求出赵州桥所在圆的半径了吗？
如图，用表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是AB 的中点，CD 就是拱高．你能求出半径R吗？

C
O
E
D
A
B

3．典型例题：
如图，D是⊙O的弦BC的中点，A是⊙O上一点，OA与BC
交于点E，已知AO=8，BC=12.
（1）求线段OD的长；
（2）当EO=BE时，求ED的长.

【学后思】
（一）课堂小结：同学们，通过本节课的学习,你有哪些收获?
（二）巩固练习
1．判断下面的论述是否正确（在相应的题号后面正确的标“√”错误的标或“×” ）
①垂直于弦的直线平分这条弦（ ）
②平分弦的直线，平分弦所对的这条弧（ ）
③垂直于弦的直径平分这条弦（ ）
④平分弦的直径垂直于这条弦（ ）
2.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

【师生评】
（一）课后作业：
1.教材89页习题24.1第9、12题
2.拓展练习：
(1) 教材89页习题24.1第10题
(2)直线AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB ．AC
与BD相等吗？说说你的理由．
（二）课后反思