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不等式的证明方法和技巧
威远中学 谭勇军

摘 要：不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支学科，而不等式的证明是数学教学中的难点，又是竞赛命题的热点。因此本文通过一些典型的例子对不等式的证明方法与技巧进行探讨和总结。在新课改高中数学里面，证明方法较多，应用较广，首先，主要有基本技巧，构造法，转化法，其中转化法又包含了反证法，数学归纳法等等。在这些证明方法中体现了证明不等式的种种技巧。其次还可以用定理、均值不等式等来证明不等式。而每种方法具有一定的适用性，因此要掌握其中的要领，加以灵活运用。
关键词：初等数学;不等式;证明方法;技巧
在高中数学里证明不等式的方法有很多，在所证不等式两端同乘以一个常数；1的代换；利用函数的单调性，等等。不等式证明的技巧，本人的理解有如下三个方面：
一．基本技巧．
1.比较法
比较法是两个实数大小和运算性质的直接应用。它又可以分为作差比较法和作商比较法。
（1）作差比较法
作差比较法在证明不等式的各种方法中是最基本、最重要的方法。其依据是根据不等式公理：若，则；若，则。利用不等式两边的差是正数或负数来证明不等式，一般的步骤是：作差→变形→判断符号→得出结论，其中“变形”是证明的关键，它与一般的化简有所不同。变形的方法很多，最常用的有配方法、因式分解法、通分法等，总之能够判断出差的符号即可，不需要考虑差的具体值是多少。
（1）作商比较法
作商比较法与作差比较法类似，当时，要比较的大小就可以比较与的商跟1的大小，即：
若。它的步骤与作差比较法完全类似。
我用一个例子很简单的把两种方法都给大家展现出来，大家可以比较一下两种方法有什么相同和不同的地方。
例1 已知，求证：
分析 因所证不等式两端是同底的对数、单项式，故“作差比较”、“作商比较”均可以。
解 （作差比较）
（1）当时，因，所以

（2）当时，因，所以

综合以上可知，所证不等式成立。
（作商比较）
因，所以，，

所以，
本题虽是一道很简单的不等式证明题，也显示出了证明不等式的技巧性，合理选择方法，可以回避讨论。
2.分析法
分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判断那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。分析法有两种情况：
（逆求式即倒蕴含式）
（等价式）
上面是要求证的不等式，是某些不等式或不等式组；是已知的或已证明过的不等式，分析证法以逆求式为主要形式（等价式可以并用）
例2：已知
证明：用分析法证明如下：

（已知）

这种证题法模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。
3.综合法
综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，
借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推演出“结论”。这种证题法的基本逻辑蕴含式是：，这里（） 是某些不等式或不等式组，为已知不等式，是要求证明的不等式，即从已知逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论。这类证法技巧较多，下面我举几个说明来说明，因为前面提到的比较法也是综合法，下面就不再介绍。
4. 放缩法
放缩法是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再用不等量大、小的传递性，从而使原不等式得证。放缩法的难点是放缩的合理与适度，它需要较强的技巧性。因此此法难度较大。用放缩法证明不等式的常见技巧有：
（1）将分式的分子和分母放大（或缩小）
（2）各项都用最大项（或最小项）代替,
（3）用不等式,进行放缩。
例3：求证：
证明：

（少放一项，达到目的）
以上说明放缩时须注意放缩的“度”要适合，否则达不到目的。
二．构造法
不等式证明中的构造法，主要是指根据不等式的结构特点，通过引进合适的函数、方程、恒等式、特殊概念、图形及变量代换等辅助手段，促使命题转化，从而使不等式得以方便证明。此法技巧要求较高，重点是对不等式结构的分析，突破不等式本身，以更高姿态全面关注不等式所反映的实质和意义。下面举例来谈谈用构造法证明不等式的几种常见类型。
1.构造重要不等式证明不等式：
构造重要不等式的结构，再利用相关的重要不等式来证明不等式。
例4 .设，且，证明

可利用均值不等式构造三个同向不等式相加来进行证明，也可以将所证不等式进行等价转化。
证明：因，所以
①
②
③
以上三式相加可得：
上述不等式都是在时取等号.
所以，当且仅当时原不等式取等号.
2. 构造函数证明不等式
构造函数证明不等式，主要是引进一个函数，建立初等函数模型与不等式“外型”的对应关系，使不等式各部分为相应的函数值。
例5：已知a,b,m都是正数，并且a<b,求证：
分析：把，则函数结构呼之欲出。
证明：设
由于
而, 即
用构造法证明不等式，并不仅仅局限于这几种情形，有时还可以构造方程、复数、来证明，在此不一一列举。。
三．转化法
1.反证法
在证明一些“惟一性”命题及“无限性”命题时，往往直接去证明比较棘手，就可以使用反证法进行证明。用反证法应注意几个问题：（1）如果肯定命题的假设而否定其结论，就会导致矛盾，由此论证原结论是正确的证明方法就是反证法的中心思想。（2）应把“反设”看作是在证明过程中新增加的条件，同时在证明过程中，必须要使用这个新增加的条件，否则无法引出矛盾。（3）导出矛盾的结果，通常是指出现下列矛盾之一：①与已知相矛盾；②与已知的公理相矛盾；③与已知定义相矛盾；④与已知定理、公式、性质相矛盾；⑤与“反设”相矛盾；⑥由“反设”推出的结果自相矛盾。其步骤为：否定结论→推理论证→导出矛盾→肯定原结论。
例6. 实数
满足且
求证：
分析 这是一道数学竞赛题，直接证明比较困难，因此，可考虑运用反证法证明。
证明： 设中有个非负数，记为，有个负数，
记为，其中，且
不妨设，即.
因，
又，
则
所以
因为
所以
又因为 ，
所以

，
所以都为非负数.
即因而，这与相矛盾，
即假设不成立，所证结论：成立.
反证法的实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾。运用“正难则反”的策略，是证明不等式中常见技巧。
2．数学归纳法
如果求证的不等式与自然数n有关，证明时往往采用数学归纳法。数学归纳法有多种形式，常用在初等数学中的属第一类型，即命题P（n）是有关自然数n的命题（1）P（1）真；（2）若P（k）真P（k+1）也真。则命题P（n）对一切自然数n都成立。这是因为由P（1）真重复使用（2），由相邻的左边依次推出右边，以至无穷：P(1)P(2)P(3)P(k)
数学归纳法这两个步骤，是缺一不可的。如果有（1）无（2），即有特殊性，无传递性，那就属于不完全归纳法。因而论断的普遍性是不可靠的。反之，如果有（2）无（1），则（2）中的假设就失去了传递基础。但运用数学归纳法证题的主要关键在于第二步，而第二步的关键又在于合理应用归纳假设，并为引用归纳假设创造条件。
例7．设，满足：
a.
b.,
证明：
证明 （1）当时，
当时，，，则

所以
假设时命题成立.
那么，当时，设，由条件，
，，有

下面用反证法证明以上结论.
假设，则有

+
+
, 矛盾.
所以，当时，原不等式成立.

归纳法证明问题时，有时在第二步由（或）去推证时，要用到反证法，或分析法。
以上是在高中数学范围内总结出证明不等式的一些常用方法。除了上面列举的还有柯西不等式等也可用来证明不等式。不等式的证明在发展学生的数学思维，培养逻辑思维能力方面发挥着重要的作用。但是有关不等式的证明却没有固定的模式，证法也因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须了解这些基本方法。

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