第二章第十二节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．函数f(x)＝2x4－3x2＋1在区间[，2]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．21，－　　　　　　　　B．1，－
C．21,0 D．0，－
答案：A
2．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减
D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增
解析：f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．
答案：A
3．f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能的是图中的(　　)

解析：∵x∈(－∞，－2)∪(0，＋∞)时f′(x)<0，
∴在(－∞，－2)和(0，＋∞)上f(x)是减函数，排除B、C、D.
答案：A
4．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是(　　)
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
解析：f′(x)＝3x2＋6x＋4＝3(x＋1)2＋1>0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点．
答案：C
5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即：a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.
∴a≤3，故amax＝3.
答案：D
6．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a<b，则必有(　　)
A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
解析：∵xf′(x)＋f(x)≤0，
又f(x)≥0，∴xf′(x)≤－f(x)≤0，
设y＝，则y′＝≤0，
故y＝为减函数或常函数．
又a<b，∴≥，
而a，b>0，则af(b)≤bf(a)．
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．
解析：得x>1，得0<x<1.
∴f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝－ln1＝.
答案：
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意即
得a＝4或a＝－3.
但当a＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在极值，
∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18.
答案：18
9．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)
①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；
③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.
解析：对于①，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，x∈(0，)时，
f″(x)<0恒成立；
对于②，f″(x)＝－，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；
对于③，f″(x)＝－6x，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；
对于④，f″(x)＝(2＋x)·ex在x∈(0，)时f″(x)>0恒成立，
所以f(x)＝xex不是凸函数．
答案：④
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y＝f(x)的极大值．
解：(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－b，
∴由题意可知：f′(1)＝－4且f(1)＝－，
即解得
∴f(x)＝x3－x2－3x，
f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
由此可知，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗

∴当x＝－1时，f(x)取极大值.
11．已知函数f(x)＝xlnx.
(1)求f(x)的最小值；
(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
X

f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗

所以，f(x)在(0，＋∞)上最小值是f＝－.
(2)当x∈时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；
当x∈时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是.
下面讨论f(x)－m＝0的解：
当m<－时，原方程无解；
当m＝－或m≥0时，原方程有唯一解；
当－<m<0时，原方程有两个解．
12．(2010·辽宁高考)已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设a<－1.如果对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1<a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝ .
则当x∈(0, )时，f′(x)>0；
x∈( ，＋∞)时，f′(x)<0.
故f(x)在(0, )上单调递增，在( ，＋∞)上单调递减．
(2)不妨假设x1≥x2.而a<－1，
由(1)知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
从而∀x1，x2∈(0，＋∞)，
|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于∀x1，x2∈(0，＋∞)，f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.①
令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4.
①等价于g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
即＋2ax＋4≤0在(0，＋∞)上恒成立．
从而a≤＝＝－2.
故a的取值范围为(－∞，－2]．