第八章第八节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．(2010·河西模拟)方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是(　　)
A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线
C．两个点 D．以上答案都不对
解析：由条件得∴或.
答案：C
2．(2010·余姚调研)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
解析：由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．
答案：D
3．如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是(　　)

A．圆　　　　　　　　　　　　B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝R(R为圆的半径)且R>|OA|，故E的轨迹为椭圆．
答案：B
4．(2010·青岛一中期末)动点P(x，y)到定点A(3,4)的距离比P到x轴的距离多一个单位长度，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2－6x－10y＋24＝0
B．x2－6x－6y＋24＝0
C．x2－6x－10y＋24＝0或x2－6x－6y＝0
D．x2－8x－8y＋24＝0
解析：本题满足条件|PA|＝|y|＋1，即＝|y|＋1，当y>0时，整理得x2－6x－10y＋24＝0；当y≤0时，整理得x2－6x－6y＋24＝0，变为(x－3)2＋15＝6y，此方程无轨迹．
答案：A
5．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1  D．(x＋)2＋y2＝
解析：设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)，
∵A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，
即(2x－3)2＋4y2＝1.
答案：C
6．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(　　)
A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1(y≥1)
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
解析：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．
答案：A
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．
解析：设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x2－4y2＝1，即为所求．
答案：x2－4y2＝1
8．(2010·福州质检)直线＋＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是__________．
解析：(参数法)设直线＋＝1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2－a)，A、B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.
答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)
9．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，则动点C的轨迹方程是____________________________________________．
解析：动点C(x，y)满足＝2，则B(0，y)，A(3x,0)，根据题意得9x2＋y2＝9，即x2＋y2＝1.
答案：x2＋＝1
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
∵P点在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
11．已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1,0)，动圆M过点F2且与圆F1相内切．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若过原点的直线l与(1)中的曲线C交于A，B两点，且△ABF1的面积为，求直线l的方程．
解：(1)由题意可知：|MF2|为动圆M的半径．
根据两圆相内切的性质得：4－|MF2|＝|MF1|，
即|MF1|＋|MF2|＝4.
所以点M的轨迹C是以F1、F2为左、右焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
则2a＝4，c＝1，故b2＝a2－c2＝3，
所以点M的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)当直线l为y轴时，S△ABF1＝，不合题意．
故直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx，A(x1，y1)，y1>0，则B(－x1，－y1)，

由△ABF1的面积为知：y1＋y1＝，
所以y1＝，x1＝±，
即点A的坐标为(，)或(－，)．
所以直线l的斜率为±.
故所求直线l的方程为x±2y＝0.
12．(2010·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，
由题意得·＝－，
化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
(2)若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)．
则|PA|·|PB|sin∠APB＝|PM|·|PN|sin∠MPN.
因为sin∠APB＝sin∠MPN，
所以＝.
所以＝.
即(3－x0)2＝|x－1|，解得 x0＝.
因为x＋3y＝4，所以y0＝±.
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为(，±)．