第一讲数与式.doc

衡南三中高中数学衔接课
第一讲 数与式
1.1 数与式的运算
1. １.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，
零的绝对值仍是零．即
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．
练 习
1．填空：
（1）若，则x=_________；若，则x=_________.
（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
3． 化简：|x－5|－|2x－13| （x＞5）．

1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：．

例2 已知，，求的值．

练 习
1．填空：
（1）（ ）；
（2） ；
(3 )　 ．
2．选择题：
（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式
一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，，等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等． 一般地，与，与，与互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式的意义
例1将下列式子化为最简二次根式：
（1） ； （2）； （3）．

例2计算：．

例3 试比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和.

例4　化简：．

例 5 化简：（1）； （2）

例 6 已知，求的值 ．

练习
1．填空：
（1）＝__ ___；
（2）若，则的取值范围是_ _ ___；
（3）__ ___；
（4）若，则______ __．
2．选择题：
等式成立的条件是 （　　 ）
（A） 　 （B）　　 （C）　　 （D）

3． 若，求的值．

4．比较大小：2－ －（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式
1．分式的意义
形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．
上述性质被称为分式的基本性质．
　2．繁分式
像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
例1　若，求常数的值．

例2　（1）试证：（其中n是正整数）；
（2）计算：；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．

例3　设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．

练习
1．填空题：
对任意的正整数n， ()；
2．选择题：
若，则＝　　 （　 　）
　　（A）１ （B）　 （C）　 （D）
3．正数满足，求的值．
4．计算．

习题1．1
1．解不等式：
(1) ； (2) ；
(3) ．
２．已知，求的值．
3．填空：
（1）＝________；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）________．

1．2 分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）； （4）．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有
－1
－2
x
x
图1．2－1
－1
－2
1
1
图1．2－2
－2
6
1
1
图1．2－3
－ay
－by
x
x
图1．2－4
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的
两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得
＝
－1
1
x
y
图1．2－5
（4）＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1） ； （2）．

3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.
例3　把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1） ； （2）．

练 习
1．选择题：
多项式的一个因式为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4）．

习题1．2
1．分解因式：
　（1） ； （2）；
（3）； 　 （4）．
2．在实数范围内因式分解：
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
3．三边，，满足，试判定的形状．

4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

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