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二次根式的知识点汇总
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1.    二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.    二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

二次根式测试题（一）
1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A．b>3 B．b<3 C．b≥3 D．b≤3
3．若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3
4．若x<0，则的结果是（ ）
A．0 B．—2 C．0或—2 D．2
5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．如果，那么（ ）
A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数
7．小明的作业本上有以下四题：①；②；
③；④。做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．化简的结果为（ ）A． B． C． D．
9．若最简二次根式的被开方数相同，则a的值为（ ）
A． B． C．a=1 D．a= —1
10．化简得（ ）A．—2 B． C．2 D．
11．① ；② 。
12．二次根式有意义的条件是 。
13．若m<0，则= 。
14．成立的条件是 。
15．比较大小： 。
16． ， 。
17．计算= 。
18．的关系是 。
19．若，则的值为 。
20．化简的结果是 。
21．求使下列各式有意义的字母的取值范围：
（1） （2） （3） （4）

22．化简：
（1） （2） （3） （4）

23．计算：
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

24．若x，y是实数，且，求的值。
二次根式测试题（二）
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则a<0 B． C． D． 5的平方根是
2．二次根式的值是（ ）
A． B． C． D．0
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．若是二次根式，则a，b应满足的条件是（ ）
A．a，b均为非负数 B．a，b同号 C．a≥0，b>0 D．
5．已知a<b，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
6．把根号外的因式移到根号内，得（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．当时，二次根式的值为，则m等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则x等于（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
11．若不是二次根式，则x的取值范围是
12．已知a<2，
13．当x= 时，二次根式取最小值，其最小值为
14．计算： ；
15．若一个正方体的长为，宽为，高为，则它的体积为
16．若，则
17．若的整数部分是a，小数部分是b，则
18．若，则m的取值范围是
19．若
20．已知a，b，c为三角形的三边，则=
21 22 23

24 25

26已知：，求的值。

27已知：

28.阅读下面问题：；

试求：⑴的值；⑵的值；⑶（n为正整数）的值。
二次根式（一）
1．C 2．D 3．B 4．D 5．A 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A
11．①0.3 ② 12．x≥0且x≠9 13．—m 14．x≥1 15．<
16． 18 17． 18．相等 19．1 20．
21．（1） （2） （3）全体实数 （4）
22．解：（1）原式=；（2）原式=；
（3）原式=；（4）原式=。
23．解：（1）原式=49×；（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=；
（5）原式=；（6）原式=。
24．解：∵x—1≥0, 1—x≥0,∴x=1，∴y<.∴=.
二次根式（二）
1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C
11．x<5 12．2-a 13．—1 0 14．； 15．12
16．7 17．1 18．m≥3 19． 20．
21．解：原式=；
22．解：原式=；
23．解：原式=；
24．解：原式=
25．解：原式=； 26．解:

27．解：，∴。∴
原式=
28．解：登山者看到的原水平线的距离为，现在的水平线的距离为

29 ⑴= ⑵= ⑶=

二次根式
【知识回顾】
1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
（＞0）

（＜0）
0 （=0）；
（1）（）2= （≥0）； （2）
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
【典型例题】
1、概念与性质
例1下列各式1），
其中是二次根式的是_________（填序号）．
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
（1）；（2）
例3、 在根式1) ，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
例4、已知：
例5、 （2009龙岩）已知数a，b，若=b－a，则 (   )
A. a>b        B. a<b    C. a≥b           D. a≤b
2、二次根式的化简与计算
例1. 将根号外的a移到根号内，得 (   )
A. ；   B. －；      C. －；      D.
例2. 把（a－b）化成最简二次根式
例3、计算：
例4、先化简，再求值：
，其中a=，b=．
例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简 ：

3、在实数范围内分解因式
例. 在实数范围内分解因式。（1）；                （2）
4、比较数值
（1）、根式变形法
当时，①如果，则；②如果，则。
例1、比较与的大小。

（2）、平方法
当时，①如果，则；②如果，则。
例2、比较与的大小。

（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3、比较与的大小。

（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、比较与的大小。

（5）、倒数法
例5、比较与的大小。

（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
例6、比较与的大小。

（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①；②
例7、比较与的大小。

（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：
①； ②
例8、比较与的大小。

5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程：
  ， 验证：；
验证:.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.
例2. 已知，则a_________

发展：已知，则a______。
例3、化简下列各式：
（1）　　　　　　　　　　　　　　（2）

例4、已知a>b>0，a+b=6，则的值为（ ）A． B．2 C． D．
例5、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：
甲：==；
     乙：=。 其中，（  ）。
A. 甲、乙都正确                    B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确                 D. 只有乙正确

【基础训练】
1．化简：（1）__ __； （2）___ __； （3）___ _；
（4）___ _； （5）。
2.(08，安徽)化简=_________。
3.（08，武汉）计算的结果是
Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4
4. 化简：
（1）（08，泰安）的结果是 ； （2）的结果是 ；
（3）(08，宁夏)= ； （4）（08，黄冈）5-2=_____ _；
（5）（08，宜昌）＋（5－）=_________； （6） ；
（7）(08，荆门)＝________；（8） ．
5．（08，重庆）计算的结果是
A、6 B、 C、2 D、
6．（08，广州）的倒数是 。
7. (08，聊城)下列计算正确的是
A． B． C． D．
8.下列运算正确的是
A、 B、 C、 D、
9．（08，中山）已知等边三角形ABC的边长为，则ΔABC的周长是____________；
10. 比较大小：３　　　　。
11．（08，嘉兴）使有意义的的取值范围是 ．
12.(08，常州)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是
A.x>-5 B.x<-5 C.x≠-5 D.x≥-5
13. (08，黑龙江)函数中，自变量的取值范围是 ．
14.下列二次根式中，的取值范围是≥2的是
A、 B、 C、 D、
15.（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是
A. B. C. D.
16．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是
A． B． C． D．
17．（08，常德）下列各式中与是同类二次根式的是
A．2 B． C． D．
18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是
A． B． C． D．
19.(08，乐山)已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是
A、5 B、6 C、7 D、8
20．（08，大连）若，则xy的值为
A． B． C． D．
21.（08，遵义）若，则 ．
22．（08，遵义）如图，在数轴上表示实数的点可能是
A．点 B．点 C．点 D．点
23.计算：
（1） 　 （2）

（3）（08，上海）． （4）（08，庆阳）．
（5）
24.先将÷化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。

25.( 08，济宁)若，则的取值范围是
A． B． C． D．
26.(08，济宁)如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是
A． B． C． D．

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