第二单元《分数乘法》教材分析.doc

本单元在分数的意义和性质、分数的加法和减法等基础上编排，教学分数乘法的知识。通过本单元的教学，学生将进一步理解分数的意义，扩展原来的乘法概念，掌握分数乘法的计算，并且为学习分数除法作充分的准备。
分数乘法的知识主要有两块：一块是分数乘法的意义，另一块是分数乘法的计算。整数乘法是求几个相同加数和的简便运算，学生建立整数乘法的概念，掌握整数乘法的计算，就能高效地解决求若干个相同部分合并起来的实际问题。分数乘法可以求一个数的几分之几是多少，是在整数乘法基础上的一次很大的发展。学生理解分数乘法的意义，就能用乘法解决更多的实际问题，并且为以后应用百分数的乘法提供支持。分数乘法是小学计算教学的重要内容。解决分数乘法的实际问题离不开计算，分数除法也要转化成分数乘法才能进行。本单元教材把分数乘法的意义与计算结合起来同步教学，一共编排7道例题，具体安排见下表：
例1分数与整数相乘，求几个相同分数的和
例2分数与整数相乘，求一个数的几分之几是多少
例3求一个数的几分之几是多少的实际问题
例4、例5分数乘分数，分数乘法的计算法则
例6三个分数连乘
例7倒数的知识
单元整理与练习
在表格里可以看到，全单元内容以计算教学为主线编排，同步教学运算的意义，优化了结构。乘法运算的范围从整数、小数扩大到分数，其意义、算法以及实际应用都有较大的发展。教材以计算为主线，学生可以在研究算法的过程中体会运算意义的新内涵，又通过运算概念的发展来理解算法，不失是一种极好的结合。
从例题的编排可以看到，全单元知识发生与发展的线索清晰，前后联系紧密。先教学分数和整数相乘，后教学分数和分数相乘，符合简单到复杂的编排原则。分数和整数相乘，先求几个相同分数的和，在运算意义上和整数乘法一致，可以集中力量解决计算方法；再求一个数的几分之几是多少，在运算方法上仍然是分数与整数相乘，可以集中力量扩展乘法的意义。教学分数乘分数，得出分数乘法的计算法则，能够涵盖分数与整数相乘的计算，体现了计算法则的高度概括性。安排例题教学分数连乘，能够提高学生计算分数乘法的能力。
（一） 例1着重教学分数与整数相乘的算法
首次教学分数乘法，教材除了从实际问题引出，还尽量与整数乘法靠近，引导学生利用已有的乘法知识和经验，建构新运算的意义与算法。
例1的第（1）题求3个相同分数的和。在表示1米绸带的直条图上，已经表示出做1朵绸花用的绸带3/10米，要求学生继续涂色表示做3朵绸花所用的米数。通过涂色，体会数学问题是“求3个3/10是多少”，并在图上看到3朵绸花用的绸带是9/10米，从而激活已有的乘法概念以及同分母分数加法等知识。于是，一些学生会列出加法算式3/10+3/10+3/10，另一部分学生会列出乘法算式3×3/10或3/10×3。比较加法算式和乘法算式，就能实现原有运算概念的迁移：求几个相同分数相加的和，用乘法算比较简单。分数乘法算式和整数乘法算式一样，不区分被乘数与乘数，求3个3/10是多少，列算式3×3/10或3/10×3都可以。教材让学生探索分数乘整数的算法，把“分子相加、分母不变”加工成“分子与整数相乘、分母不变”，从而获得新的计算方法。学生在教材设计的方框里填数，经历了“分子相加”转化成“分子与整数相乘”的过程，也就实现了新的计算方法的主动建构。
例1的第（2）题求做5朵这样的绸花一共要用绸带几分之几米，不再从分数加法过渡到分数乘法，而是直接列出乘法算式，并用分数乘整数的方法计算。这是把第（1）题的学习成果作为第（2）题的教学资源，有利于学生进一步体验应用分数乘整数解决相同分数连加的问题比较简便，巩固运算的意义与算法。“萝卜”卡通先按“分子和整数相乘，分母不变”计算，再把积约分化简，代表了多数学生的算法。“白菜”卡通告诉学生“可以先约分，再计算”。教材写出“分子与整数相乘，分母不变”的式子以后，先把整数与分母约分，然后相乘求出积的分子，得到的结果是最简分数。学生计算分数加、减法，总是先按照法则计算，最后才化简结果。这种习惯会带进分数乘法的计算里。其实，在分数乘法里“先约分、再相乘”，是为了计算简便，容易得出最简分数的积。教学应指导学生理解并喜欢这样的算法，因为这对下面继续教学分数乘法十分重要。
“练一练”第1题，让学生在给定的长方形里涂色表示4个3/16，并计算4×3/16的积。把运算意义和计算方法有机结合，有加强概念和培养运算能力的作用。第2题着重练习计算。给出的四道算式中有分数乘整数，如2/7×3，也有整数乘分数，如4×5/6。都要按“分子与整数相乘、分母不变”的法则计算，大多数题可以“先约分、再相乘”。练习五第3~5题都是求几个相同分数相加的和的实际问题，让学生及时应用学到的新知识解决身边可能出现的问题。
（二） 例2着重教学用分数乘法求一个数的几分之几是多少
例题创设的问题情境是10朵绸花的1/2是几朵？10朵绸花的2/5是几朵？这些问题在三年级初步认识分数时曾经解决过。那时的解题是通过分实物的操作活动和10÷2、10÷5×2这些整数乘、除运算进行的。例2教学这些实际问题，目的是要应用分数乘法的知识进行解答，帮助学生形成“求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算”的认识，并且用来解决其他求一个数的几分之几是多少的问题。
在教学例2之前，乘法只用于求几个相同加数的和；在教学例2以后，乘法还可以求一个数的几分之几是多少。这是乘法概念十分重要的扩展，例2的教学重点就在这里。为了帮助学生理解乘法的新含义，教材编写注意了三点：一是联系分数的意义体会分数乘法的含义。教材把10朵花平均分成2份，其中1份是红花，对10朵花的1/2作出具体而形象的解释。一方面让学生在体会“10朵的1/2”的意义时想到10÷2这种算法，另一方面又利用10÷2促进对10的1/2的理解。类似地，教学10朵的2/5时，利用把10朵花平均分成5份，其中2份是绿花的实物图，以及10÷5×2的计算，帮助学生体会10的2/5的含义。二是直接介绍新知识。教材说“求10朵的1/2是多少，可以用乘法计算”，并且写出算式10×1/2。还说“求10朵的2/5是多少，也可以用乘法计算”，列出了算式10×2/5。在这两个实例的基础上，引导学生概括出“求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算”这个结论，扩展了原来的乘法概念，使乘法有了新的应用领域。三是加强比较，沟通新旧算法的联系，帮助学生理解分数乘法。“豆荚”卡通提出的问题“10×1/2和10÷2有什么联系？10×2/5和10÷5×2有什么联系？”引导学生体会10×1/2和10÷2都是求10的1/2是多少，都是把10平均分成2份，求其中的一份是多少。两个算式虽然运算不同，意义却是一致的。同样，算式10×2/5和10÷5×2都是把10平均分成5份，求这样的2份是多少，都可以理解为求10的2/5是多少，它们也是算式不同、意义相同。
“练一练”第1题要求先图画表示数学问题的含义，再用乘法计算，目的是加强对分数乘法新意义的理解。如“1/2的1/3是多少”这个数学问题可以理解为：把1/2平均分成3份，求1份是多少。所以，画图时把1/2个圆平均分成3份，给其中1份涂色。计算时对1/2和3的“约分”，就体现了分数乘法的意义。第2题用图画给出1根小棒长8米，求1/2根长多少米，3/4根长多少米。可以先从直观图形里找到求8米的几分之几是多少的数学问题，再用分数乘法解决数学问题。这个过程加强了分数乘法意义的教学，培养了良好的思考习惯，应该在教学中得到重视和落实。

练习五第6～9题配合例2安排。第6题的各个问题，都能根据数量关系“1瓶饮料的毫升数×瓶数＝几瓶饮料的毫升数”列出算式，只是饮料瓶数有时是整数，有时是分数。当瓶数是整数时，求几个900毫升（1瓶饮料的净含量）是多少；当瓶数是分数时，求900毫升的几分之几是多少。这些内容既体现了分数乘法和整数乘法的不同，也反映了分数乘法与整数乘法有内在的一致性。应该在学生独立解题以后，组织他们比较几个问题的数量关系，解释列出的算式的意思，及时调整自己的认知结构。第8题里的两个分数都以花坛里花的总棵数为单位“1”，根据数量关系“花的总棵数×1/6或2/3=月季花（或杜鹃花）的棵数”能解决两个所求问题。由于两个分数有相同的单位“1”，而2/3又大于1/6，所以杜鹃花的棵数比月季花多。在解答这道题时，可以出现分数乘法的数量关系式。第9题通过“参加长跑的人数×有关的倍数或分数=参加相应项目的人数”，把求一个数的几倍是多少和求一个数的几分之几是多少组织在一道题里，也有许多可以比较异同的内容，应该挖掘和利用。
例2和“练一练”列出的算式都是整数乘分数，它们的计算方法在例1里已经教过。在例2里没有算法的教学内容，因此只要提醒学生先约分，尽量使计算过程简便，并形成这样的习惯。
（三） 例3教学用分数乘法解决求一个数的几分之几是多少的实际问题
解决求一个数的几分之几是多少的实际问题，从例2就开始了。学生在练习五里也解答了许多道简单的分数乘法问题。例3继续教学一步计算的实际问题。因为“比一个数多（少）几分之几”是较难理解的数量关系，而这样的关系又普遍存在于现实生活的实际问题里，人们经常会碰到，所以单独编排一道例题教学。
解答例3的关键是理解红花比黄花“多1/10”、绿花比黄花“少2/5”的含义。求红花比黄花多多少朵、绿花比黄花少多少朵，虽然仍是一步计算的分数乘法问题，但数量关系比较难懂，这自然成为例题的教学重点。教材用条形图呈现三种颜色花的朵数，借助图的格子直观表达数量关系。表示黄花朵数的直条刚好是10格，表示红花朵数的直条比黄花多1格，形象地表达了“红花朵数比黄花多1/10”的含义。这个数量关系把黄花朵数作为单位“1”的数量，平均分成10份，红花比黄花多这样的1份。教材通过“玉米”卡通的提问，引导学生关注数量关系，明白红花比黄花多1/10的意思是“红花比黄花多黄花朵数的1/10”，或者解释为“红花比黄花多的朵数是黄花朵数的1/10”。从红花比黄花多50朵的1/10，得出求红花比黄花多多少朵就是求“50的1/10是多少”，从而列出算式50×1/10来解决问题。
绿花朵数比黄花少2/5的含义，既要在条形图里看出，也要仿照红花的朵数比黄花多1/10那样分析、推理得出。在条形图里，表示绿花朵数的直条比黄花的直条少4格，少的格数正好是黄花（10格）的2/5，这表明绿花比黄花少的朵数是黄花朵数的2/5。在绿花比黄花少2/5这句话里，黄花朵数是作为单位“1”的数量，平均分成5份，绿花少这样的2份，这表明绿花比黄花少的朵数是50朵的2/5。教材要求学生提炼出求绿花比黄花少多少朵的数学问题，根据“50的2/5是多少”列式计算。
“练一练”看着6个△，思考○的个数比△多1/3的意思；看着8个○，思考□的个数比○少3/4的意思。这些都是数学概念的练习，图形直观有利于学生正确理解、正确分析数量关系。教学时，应该要求学生完整且清楚地说出自己是怎样想的，用数学语言调控和表达数学思考。
练习五里的习题，十分重视引导学生理解一个数比另一个数多（少）几分之几的含义，因为这是分析数量关系的关键。第10题要求把一个数比另一个数多（少）几分之几的数量关系用数学式子表示，要求学生先说说各个分数的意义，再把数量关系式补充完整。如皮球的个数比足球多2/5，应该把足球个数看作单位“1”的数量，平均分成5份，皮球比足球多的个数相当于这样的2份。由此得出，皮球比足球多的个数是“足球个数×2/5”，数量关系式很自然地形成了。数量关系式可以视为一种数学模型。从解题角度看数量关系式，它有助于列出算式或方程；从思维角度看数量关系式，它精简了文字叙述数量关系的语言，压缩了思维过程；从教学的角度看数量关系式，它能加深对概念的理解，及时暴露认知的偏差。如果学生对比一个数多（少）几分之几的理解不正确，一定会在写的数量关系式上表现出来。仍然以皮球个数比足球多2/5为例，如果写出“足球个数×2/5＝皮球个数”则表明理解是错误的。解答第11～1/5题都要以正确的数量关系式为前提，教材编排这些问题的意图是很清楚的。
（四） 例4和例5教学分数乘法的计算法则
分数乘分数的计算方法并不复杂，学生记住和应用算法也不难。但是，理解为什么可以分子相乘作积的分子、分母相乘作积的分母，却很不容易。教材编排两道例题教学分数乘分数，充分发挥图形直观的作用，引导学生开展推理，探索计算法则，体会算法的合理性。
分数乘法的计算法则，应该适宜分数乘法的各种情况，既能算分数乘分数，也能算分数与整数的乘法。这部分教材先教学分数乘分数的算法，然后将分数乘整数作为分数乘法的特殊情况，纳入分数乘分数的算法中，形成更有概括性的计算法则。
学生在例4中首次接触分数乘分数，需要感知它的意义和算法。例题先在长方形纸上涂色表示它的1/2，再画斜线分别表示1/2的1/4和1/2的3/4，让学生在直观图上体会数量关系，明白1/2的1/4和1/2的3/4都把1/2作为单位“1”，把1/2平均分成4份，表示这样的1份和3份。在理解数量关系的基础上列出算式，感悟运算的含义，同时借助直观看出结果。例题依次安排三项教学活动：第一项活动是分别说出两个长方形里画斜线部分各占1/2（涂色部分）的几分之几，引出新的数量关系。学生能够看出每个长方形里都把1/2平均分成4份，斜线画了其中的1份和3份，得出这样的1份是1/2的1/4，这样的3份是1/2的3/4，发展了对一个数的几分之几的认识。第二项活动根据1/2的1/4、1/2的3/4列出相应的算式。例题要求每个长方形里画斜线部分各是这张纸的几分之几，数学问题分别是1/2的1/4是多少、1/2的3/4是多少。根据初步的分数乘法概念，从“求一个数的几分之几是多少，用分数乘法计算”推理得出1/2的1/4可以用1/2×1/4计算，1/2的3/4可以用1/2×3/4计算。学生在写两道乘法算式时，体会“一个数”不仅可以是整数，而且可以是分数，这就进一步完善了分数乘法的概念。第三项活动从图画里看出两道算式的积。因为1/2的1/4是长方形纸的1/8，1/2的3/4是长方形纸的38，所以1/2×1/4＝1/8、1/2×3/4＝3/8。在看图写出积的过程中，初步感知分子相乘的得数是积的分子，分母相乘的得数是积的分母。
例5继续研究分数乘分数的计算方法。教材直接给出两道算式2/3×1/5、2/3×4/5，还在两个长方形里涂色表示了2/3。第一项学习活动在长方形里画斜线，以得出两道算式的积。画斜线前应该先想乘法算式的意义。算式2/3×1/5是求2/3的1/5是多少，要把表示2/3的那个涂色部分平均分成5份，并用斜线画出其中的1份。这1份刚好占长方形的2/15，所以2/15就是2/3×1/5的积。类似地，2/3×4/5是求2/3的4/5是多少，要把表示2/3的涂色部分平均分成5份，用斜线画出其中的4份，由此得到2/3×4/5的积是8/15。第二项活动要求在教材里写出两道乘法算式的积，感受积的分子是两个乘数分子的乘积，积的分母是两个乘数分母的乘积。
例4和例5都是教学分数乘分数的计算，它们的教学线索不同，学生的认知程度也不同。学生在例4中经历“看图——写式——求积”的过程，感受“分子相乘、分母相乘”的可能性；在例5中通过“看式——画图——求积”体验“分子相乘、分母相乘”的合理性。两道例题都让学生感受分数乘分数的算法，有助于他们形成计算法则。
为了得出分数乘分数的计算法则，教材安排学生回顾例4、例5里的四道乘法算式以及相应的积，体会它们的共同特点：都是分数乘分数的乘法；两个乘数分子相乘的积刚好是积的分子，两个乘数分母相乘的积刚好是积的分母。于是归纳出分数乘分数的一般算法“用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”。
配合例5的“试一试”里有两个内容。第1题应用法则计算分数乘分数。要求学生写出“分子相乘作分子”“分母相乘作分母”这一步，帮助他们消化法则里的算法，提示他们“先约分、再计算”，使计算简便些。第2题用分数乘分数的方法计算分数与整数的乘法。如果把整数看成分母是1的分数，整数与分数相乘就能改写成分数乘分数的形式。教材让学生写出这样的转化，感受分数乘分数的算法完全适用于分数与整数的乘法，从而使“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”成为涵盖所有分数乘法的计算法则。
“练一练”是在得出了分数乘法计算法则以后进行的，但教材不希望学生用法则计算，而是要求他们结合图形直观，再次体会分数乘分数的意义与算法。例如，左图里的涂色部分是长方形的1/3，画斜线部分是涂色部分的1/4。求画斜线部分占长方形的几分之几，就是求1/3的1/4是多少。图形下面算式1/3×1/4的意义，可以理解为“求1/3的1/4是多少”，和画斜线部分的图意完全一致。在图形里能够看到，1/3的1/4是1/12，按法则计算1/3×1/4的得数也是1/12，这就又一次验证了计算法则的正确性。
（五） 例6教学分数连乘的算法与技巧，培养运算能力
三个或者多个整数连乘，通常从左往右依次计算。若干个分数连乘，固然也可以按整数那样的顺序计算，但也可以把各个乘数的分子与各个乘数的分母同步交叉约分，使计算快捷、方便。例6主要教学分数连乘的算法以及交叉约分的技巧。教学分两段进行：先通过解决实际问题，引出分数连乘的算式；再示范分数连乘计算时的交叉约分，教学连乘的算法。
例6用线段图表示数量关系，帮助学生整理解题思路。先画两条线段分别表示六年级一班和二班做的绸花朵数，由于二班做的朵数是一班的8/9，所以把表示一班朵数的线段平均分成9份，便于画出表示二班朵数的线段。学生根据“三班做的朵数是二班的3/4”，画表示三班做花朵数的线段，需要分析3/4在这里的具体含义。理解把二班做的朵数看作单位“1”，也就是把表示二班做花朵数的线段平均分成4份，其中3份与三班做的朵数同样多。在列算式时，应该先算二班做了多少朵绸花，才能接着算三班做的朵数。
例题按学生的思路，先分步列式解答，再列综合算式解答。教学要以综合算式为主，因为在综合算式上面才能讲分数连乘的计算方法。关于分数连乘主要有两点内容：一是各个乘数分子连乘的得数是积的分子，各个乘数分母连乘的得数是积的分母。二是尽量先约分、再相乘。就是说，要把分子、分母之间能够进行的约分都完成以后，相乘就简单了。两点内容学生都能接受，他们把分数乘法的计算法则应用于分数连乘，一般不会有困难。他们有计算结果应该是最简分数的认识，能够理解计算过程中要尽可能地约分。不过，在初学分数连乘时，学生可能不太习惯分子与分母的交叉约分。教学要清楚地展示这个过程。如135×8/9×3/4中，整数135和分母9之间的约分，分子8和分母4之间的约分。在“练一练”里还要指导学生进行不相邻的分子与分母的约分，如22/27×5/11×9/10中的分母27与分子9的约分，以帮助他们逐渐掌握交叉约分的技巧。
练习六里有许多道分数连乘的实际问题。部分学生能列出综合算式，但不一定清楚其中的数量关系。为此，要适当注意让学生说说算式的具体含义。如第7题，先根据“六年级1/54人”和“五年级人数是六年级的10/11”，列出算式1/54×10/11，求出五年级的人数；再根据求得的五年级人数和“四年级人数是五年级的4/5”，求出四年级人数，算式是1/54×10/11×4/5。又如第8题，数量关系是“要植树的棵数×2/3=第一天植的棵数”，“第一天植的棵数×2/5=六年级植的棵数”。已知要植树1/20棵，求六年级植树的棵数，算式是1/20×2/3×2/5。
（六） 例7教学倒数的知识，为下单元的分数除法作准备
分数除法一般转化成分数乘法进行计算。这里的转化需要倒数的知识。本单元最后一道例题教学倒数的知识，是为即将教学的分数除法作准备。
有关倒数的知识主要包括两点：一点是倒数的意义，另一点是求倒数的方法。学生建立倒数的概念以后，求一个数的倒数就容易了。因此，例7十分重视概念的形成以及对概念的准确把握。
教学从寻找乘积是1的两个分数开始。在给出的8个分数中，学生能够找到三对乘积是1的分数。这项貌似游戏的活动凸显了“倒数”是乘积为1的两个数之间的关系，这正是建立倒数概念必须充分注意的内涵。教材在三对乘积是1的分数基础上，指出“乘积是1的两个数互为倒数”。学生准确理解这句话的意思，不仅要知道互成“倒数”的两个数的乘积是1，还要明白两个数是“互为倒数”的。教材里三个卡通的交流，说的都是两个分数的乘积是1。下面的文字叙述强调两个数“互为倒数”，还以3/8和8/3为例，引导学生体会“甲数是乙数的倒数，乙数也是甲数的倒数”。
求已知数的倒数分三个层次教学：先求3/5、2/3等分数的倒数，然后求5、1等整数的倒数，最后是0没有倒数。在第一个层次里，要求学生观察互为倒数的两个分数，发现它们的分子、分母刚好互换位置，一方面进一步体会互为倒数的两个数的乘积是1，另一方面找到了写出一个数的倒数的方法。第二个层次写出整数的倒数。可以从概念出发，寻找与这个整数相乘等于1的数。如果把整数看成分母是1的分数，就能像分数那样直接写出它的倒数。第三个层次理解0没有倒数，并要求作出相应的解释。这是因为0和任何数相乘的积都是0，不存在与0相乘能够得到1的数。
练习六第16~19题配合例7的教学。第16、17两题强化倒数的概念，第1/8题巩固求倒数的方法。第19题要求写出四组数的倒数。其中第（1）组数都是真分数，它们的倒数都是假分数；第（2）组数都是假分数，它们的倒数都是真分数；第（3）组数的分子都是1，它们的倒数都是整数；第（4）组数都是非0整数，它们的倒数都是几分之一的数。教材要求学生发现这些规律，丰富对倒数的体验，掌握求倒数的方法。如果从这四组数及其倒数里，得出“大于1的数的倒数都小于1”“小于1的数的倒数都大于1”，对数感也很有好处。