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第三讲 导数的运算及应用
【基础回顾】
一、知识梳理：
1．导数的概念：
（1）设函数在区间上有定义，，当无限趋近于0时，比值：无限趋近于一个常数A，则称在点处可导，并称常数A为函数在处的导数，记作．
（2）导数的几何意义：曲线在点处的切线的斜率．
2. 几种常见函数的导数：
（1）0（C为常数）； （2）（为常数）；
（3）) ， ；
（4）) ， ；
（5），．
3. 导数运算法则（和、差、积、商的导数）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
（5）复合函数的求导法则：或（理科用）
4．利用导数研究函数的单调性：
利用导数研究函数单调性的一般步骤：
（1）确定函数的定义域； （2）求导数；
（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式或；
②若已知的单调性，则转化为不等式或在单调区间上恒成立问题求解．
5．利用导数研究函数的极值：
利用导数研究函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）①求极值，则先求方程的根，再检验在方程根左右两侧的符号，求出极值（当根中有参数时要注意分类讨论）；
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程的根的大小或存在情况，从而求解．
6．利用导数求函数的最值：
求在上的最大值与最小值的步骤：（1）求在上的极值；（2）将第一步中求得的极值与比较得到在区间上的最大值与最小值．
二、基础达标：
1. 函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝________.
2．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是 ．
3．已知函数的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为 ．
4．函数在区间上的最小值是 ．
5．(2009·湖北理)已知函数，则的值为________．
【典型例题】
例题1：已知函数.．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程(e＝2.718…)；
(2)求函数的单调区间．

例题2：已知函数
（1）当a=2时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数，求函数的单调递减区间；
（3）当a=1时，求证：


例题3：已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)．(1)求F(x)的单调区间；
(2)若以y＝F(x)(x∈(0,3])图像上任意一点为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；
(3)是否存在实数m，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

例题4：设函数.
(1)若求的单调区间；(2)若时,求的取值范围.

【巩固练习】
1．直线y＝2x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝____________.
2．函数在处取得极值，则 ．
3．（2011年湖南卷）曲线在点M处的切线的斜率为 ．
4．（2010年江苏卷）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________．
5．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则a、b、c 的大小关系是 ．
6．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),若函数f(x)在区间[-1,0]上是单调减函数，则a2+b2的最小值为 ．
7．函数，其中是两两不相等的常数，则= ．
8．已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值，若关于x的方程f(x)＝－x＋b在区间(0,2)有两个不等实根，则实数b的取值范围是 ．
9．在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值为 ．
10．是定义在R上的偶函数，当时，且，则不等式的解集为　　　　　 　　 ．
11．（2011江西卷）设.
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.

12． 已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果当x＞0且x≠1时，f(x)＞＋，求k的取值范围．

13．设函数f(x)＝lnx－ax2－bx，(1)当a＝b＝时，求f(x)的最大值；
(2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(0<x≤3)，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a＝0，b＝－1，方程2mf(x)＝x2有唯一实数解，求正数m的值．

14．已知，
　 （1）求函数在上的最小值；
　 （2）对一切的恒成立，求实数的取值范围；
　 （3）证明对一切，都有成立．

【拓展提高】
★1．设，函数，若对任意的，都有 成立，则实数的取值范围为 .
★2．设函数．（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．

【总结反思】

第三讲 导数的运算及应用
【基础达标】
1．； 2．； 3．，0； 4．1； 5．1．
【典型例题】
例题1：解：(1)当时，，，
∴，，
所以当时，曲线在 处的切线方程为.
(2)函数的定义域为，
，
①当时，2ax－1<0，在(0,1)上，在(1，＋∞)上，
所以此时f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
②当0<a<时，
在(0,1)和上，在上，
所以此时f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减；
③当a＝时，在(0，＋∞)上且仅有，
所以此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
④当a>时，在和(1，＋∞)上，在上，
所以此时f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
例题2解：（1）当a=2时，，
∴，令，则，
x

(,)

(,e)
e

-
0
+

↘

↗

又∵ ， ∴，
（2）∵，∴，
当时，，∴函数的单调递减区间是，
当时，令，得，∴函数的单调递减区间是．
（3）当a=1时，，，
∴时，，∴函数在上单调递增，∴当时，，
即，∴当时，，
，，
∴.
例题3解：(1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋(x>0)，F′(x)＝－＝(x>0)，
∵a>0，由F′(x)>0⇒x∈(a，＋∞)，∴F(x)在(a，＋∞)上单调递增．
由F′(x)<0⇒x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a)上单调递减．
∴F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．
(2)F′(x)＝(0<x≤3)，k＝F′(x0)＝≤(0<x0≤3)恒成立，a≥max.
∵当x0＝1时，－x02＋x0取最大值，∴a≥，∴amin＝.
(3)若y＝g＋m－1＝x2＋m－的图像与y＝f(1＋x2)＝ln(x2＋1)的图像恰有四个不同交点，即x2＋m－＝ln(x2＋1)有四个不同的根，亦即m＝ln(x2＋1)－x2＋有四个不同的根．
令G(x)＝ln(x2＋1)－x2＋，则G′(x)＝－x＝＝，
x
(－∞，－1)
(－1,0)
(0,1)
(1，＋∞)
G′(x)
＋
－
＋
－
G(x)




由表格知：G(x)极小值＝G(0)＝，G(x)极大值＝G(1)＝G(－1)＝ln2>0，
画出草图可知，当m∈时，y＝G(x)与y＝m恰有四个不同的交点，
∴当m∈时，的图像与的图像恰有四个不同的交点．
例题4：解：（1）时，，.
当时，；当时，.
故在单调递减，在单调递增.
（2）
由（1）知，当且仅当时等号成立.故，
从而当，即时，，而，
于是当时，，由可得.
从而当时， ，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为.
【巩固练习】
1．b＝－ln2－1； 2．2； 3．； 4．21； 5．； 6．； 7．0；
8．ln3－1<b<ln2＋； 9．； 10．；
11．解：（1）；（2）.
12． (1)a＝1，b＝1；(2) (－∞，0]．

13． (1) ； (2) a≥；（3）.
14．（1）；（2）.
【拓展提高】
★1．；★2．（Ⅰ）当时，当且仅当，
令 ， 则
当时， 是增函数； 当时，是减函数；
于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当时，即
所以当x>-1时，
（Ⅱ）由题设 ，此时
当a<0时，若，则 不成立；
当a0时， 令 h(x)=axf(x)+f(x)-x ，则.当且仅当

⑴当时，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在是减函数，即
⑵当a>时，由⑴知x

当时，所以h(x)>h(0)=0，即
综上，a的取值范围是[0,.

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